1、湖南省娄底市2025届高三下学期4月教学质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A=7,3,1,5，B=x|y=lg(x+2)，则AB=()A. 7,3B. 5C. 3,1,5D. 1,52.已知z=2+(a2)ii(aR)为纯虚数，则a=()A. 1B. 2 2C. 2D. 43.已知向量m=(1,5)，n=(4,6)，则m(nm)=()A. 60B. 45C. 34D. 654.某同学参加跳远测试，共有3次机会.用事件Ji(i=1,2,3)表示随机事件“第i(i=1,2,3)次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为()A. J1J2B. J2J3C. J1J2J3D. J1J2J35.tan5sin25+sin10=()A. 34B. 1C. 65D. 436.长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，其当地美食也独具特色.某个假期期间，一名游客前往长沙旅游打卡，现要每天分别从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油粑粑这6种美食中随机选择2种品尝
2、(选择的2种美食不分先后顺序)，若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为()A. 90B. 120C. 150D. 1807.已知正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的各个顶点都在半径为R的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球半径为r.若AB=2，则当Rr最小时，该正六棱柱的体积为()A. 36B. 42C. 48D. 248.设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，其中点A位于第一象限，当l斜率为正时，x轴上存在三点D，E，H满足AF=AD，BEEF，EBH=EFB，则|EH|DF|=()A. 4B. 8C. 12D. 16二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=cos2x，则()A. f(x)的图象关于直线x=4对称B. f(x)在区间2,0上单调递增C. f(x)的最小正周期为2D. f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=110.化学课上,老师带同学进行酸碱平衡测量实验,由于物质的量浓度差异等因素,测量酸碱度pH值时会造成一定的误差,甲小组实验数据的误差X和乙
3、小组实验数据的误差Y均符合正态分布,其中XN(0.3,0.0001),YN(0.28,0.0004).已知正态分布密度函数f(x)=1 2e(x)222,记X和Y所对应的正态分布密度函数分别为f1(x),f2(x),则（）A. f1(0.3)f2(0.28)B. 甲小组实验数据的误差相对于乙小组更集中C. P(X0.28)+P(X0.32)=1D. P(Y0.31) P(X0.31)11.已知函数f(x)的定义域为D，若m，nD，且(m+n)D，都有f(m)+f(n)f(m+n)，则称f(x)是次可加函数，则()A. f(x)=lnx(0x2)是次可加函数B. f(x)=sinx(x0)是次可加函数C. 若D=N，f(0)=0，f(1)=1，则次可加函数f(x)可以是周期函数D. 若D=Z，f(0)=0，f(1)=1，则次可加函数f(x)的表达式不唯一三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知椭圆C:x2m+y29=1上一动点到其两个焦点的距离之和为2m，则m=13.某小区公园内有4条同心圆环步道，其长度依次构成公比为2的等比数列，若最长步道与最短步道的长度之差为840
4、m，则最长步道的长度为m.14.幻方是一种数学游戏，具有悠久的历史，其要求每行每列以及两条对角线的数字之和均相等，且每格的数字均不相同.现将116填入44幻方，部分数据如图所示，则m的取值集合是1312111m169四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知双曲线C:x2y2b2=1的左顶点为A，右焦点为F，P，Q是C上的两点，线段PQ的中点为R.当PFAF时，|PF|=|AF|(1)求C的离心率;(2)若R(12,32)，求直线PQ的一般式方程16.(本小题15分)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，bsinC+csinB=bcosC+ccosB.(1)求ABC的面积;(2)若ABAC=1，求bc的值17.(本小题15分)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，BC=2 2，CC1=2，E，F分别为棱AB，A1D1的中点(1)过点C，E，F的平面截该长方体所得的截面多边形记为S，求S的周长;(2)设T为线段D1C1上一点，当平面CEF平面A1DT时，求平面TCF与平面CEF夹角的余弦值18.
5、(本小题17分)记Sn为数列an的前n项和，且2nann为等差数列，ann(n+1)为等比数列，a1=1(1)求a2的值，并求an的通项公式;(2)探究an是否存在唯一的最大项;(3)证明：Sn0)(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)已知A(x1,y1)，B(x2,y2)为曲线y=f(x)上任意两点，且A，B关于点(0,b)对称()求b的取值范围;()若(x1x2)(y1y2)0，求a的取值范围参考答案1.D2.C3.A4.C5.B6.A7.A8.B9.BD10.ABC11.ABD12.313.96014.1415.解：(1)当PFAF时，|PF|=|AF|，故P的横坐标为c，代入C的方程，得y2=b2c2b2，因为c2=1+b2，所以y2=b4，故y=b2，所以c+1=b2，故c2=c+2，解得c=2，故C的离心率为ca=2(2)由(1)知C:x2y23=1，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，因为P，Q是C上的两点，故x12y123=1x22y223=1两式相减得：x12x22y12y223=0，整理得y1y2x1x2=3(x1+x2)y1+y2，因为R(12,32)是
6、线段PQ的中点，所以x1+x2=1，y1+y2=3，则y1y2x1x2=kPQ=3(x1+x2)y1+y2=1，所以直线PQ的方程为y=(x12)+32=x+1，其一般式方程为xy+1=0，经检验此时该直线与双曲线有两个交点，满足题意16.解：(1)对右边等式，由余弦定理知bcosC+ccosB=a2+b2c22a+a2+c2b22a=a，设BC边上的高为，则bsinC+csinB=absinCa+acsinBa=+=2，因为bsinC+csinB=bcosC+ccosB，所以2=a，解得=1，所以ABC的面积为12a=1(2)由ABAC=bccosA=b2+c242=1，解得cosA=1bc，b2+c2=6，由(1)知，bsinC=1，故bc=csinC，由正弦定理得，csinC=asinA，所以sinA=2bc，又因为sin2A+cos2A=1，所以bc= 517.解：(1)如图，步骤1:延长DA，CE交于点P，连接PF交AA1于点G，连接GE;步骤2:延长GF，DD1交于点Q，连接CQ交C1D1于点H，连接FH，多边形CEGFH即为所求截面，由E为AB中点，可得A为DP中点，从而
7、APG与A1FG相似，所以A1GAG=A1FAP=12，又F为A1D1中点，从而D1FQ与A1FG全等又D1HQ与C1HC相似，所以D1HHC1=QD1C1C=A1GA1A=13，所以CE= 22+(2 2)2=2 3，GE= 22+(43)2=2 133，GF= (23)2+( 2)2= 223，FH= (1)2+( 2)2= 3，CH= (3)2+(2)2= 13，故所求截面多边形的周长为9 3+5 13+ 223(2)当T为线段D1C1中点时，平面CEF平面A1DT，理由如下;易得EF2=22+22+( 2)2=10，CE2=22+(2 2)2=12，CF2=42+22+( 2)2=22，故EF2+CE2=CF2，所以EFCE.又A1T/CE，故EFA1T.取CD中点M，连接D1M，TM，EM.因为E，M分别为AB，CD中点，故EM/FD1，所以E，F，D1，M四点共面，易知四边形DD1TM为正方形，故DTD1M.又FD1平面DCC1D1，DT平面DCC1D1，故FD1DT，而FD1D1M=D1，FD1，D1M平面EFD1M，故DT平面EFD1M.因为EF平面EFD1M，所以EF
8、DT.又A1TDT=T，A1T，DT平面A1DT，所以EF平面A1DT，而EF平面CEF，故平面CEF平面A1DT以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C(0,4,0)，E(2 2,2,0)，F( 2,0,2)，T(0,2,2)，则TC=(0,2,2)，TF=( 2,2,0)设平面TCF的法向量m=(x1,y1,z1)，则mTC=2y12z1=0mTF= 2x12y1=0,可取m=( 2,1,1).又CE=(2 2,2,0)，FE=( 2,2,2)，设平面CEF的法向量n=(x2,y2,z2)，则nFE= 2x2+2y22z2=0nCE=2 2x22y2=0,可取n=(2,2 2,3 2).则|cosm,n|=|mn|m|n|=|2 2+2 2+3 2| 4 30=72 15=7 1530故平面TCF与平面CEF夹角的余弦值为7 153018.解：(1)因为2nann为等差数列，取前3项知2，2a2，83a3成等差数列，即4a2=83a3+2，因为ann(n+1)为等比数列，取前3项知12，a26，a312成等比数列，即2a22=3a3，代入4a2=83a3+2得4a2=169a22+2，即8a2218a2+9=0，也即(2a23)(4a23)=0，所以a2=34或32，若a2=34，那么2nann=5n2，所以an=n(5n)2n+1，但ann(n+1)=5n(n+1)2n+1不为等比数列，与题干不符，则a2=32，得an=n(n+1)2n，经检验得符合题意，故an=n(n+1)2n(2)由(1)可得2nann=2+(n1)，即an=n(n+1)2n，令anan+1，解得nan+1，解得n2，且a2=32，a3=32所以a1a4a5an，即最大值不唯一(3)证明：因为an=n(n+1)2n=n2+3n+42n1(n+1)2+3(n+1)+42n=n2+3n
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