1、2024-2025学年湖北云学名校联盟高一下学期4月期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=y|y=3x，B=x|y=ln(x1)，则AB=()A. (0,+)B. (0,1)C. (1,+)D. (,0)2.若复数z满足z+iz=2i，其中i为虚数单位，则|z|=()A. 10B. 5C. 102D. 53.已知向量a=(2,2)，b=(12,1)，则向量b在向量a上的投影向量为()A. (14,14)B. (4,4)C. (14,14)D. (4,4)4.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形ABCD，已知AB=4，CD=2，则四边形ABCD的面积是()A. 3B. 12 2C. 8D. 6 25.在ABC中，点D为线段BC的中点，点O在线段AD上，且AO=2OD，若BO=BA+BC，则+=()A. 43B. 23C. 32D. 346.设ABC的面积为S，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinC= 2sinB，若ACAB=2S，则此三角形的形状为()A. 等腰三角形B. 直
2、角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形7.已知，都是锐角，tan=17，sin= 1010，则tan(+2)=()A. 1B. 35C. 43D. 348.法国数学家皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120;当三角形有一内角大于或等于120时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C的对边，且b2=(ac)2+8，2bsin(A+6)=a+c，若点P为ABC的费马点，则PAPB+PBPC+PAPC=()A. 6B. 4C. 3D. 2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知i为虚数单位，则下列说法正确的是()A. 若复数zR，则zRB. 若复数z2R，则zRC. 若复数m2+3m4+(m22m24)i=0，则实数m=1或m=4D. 若复数z=x+yi(x,yR)满足|z+1|=|zi|，
3、则x+y=010.已知ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cb2acosB=0，则下列选项正确的是()A. 若a=3，则BC边上高的最大值为3 32B. 若bcosC+ccosB=3，则ABC周长的最小值为9C. 若ABC的角平分线AD长为23，且SABC= 3，则a=4 6D. 若ABC是锐角三角形，且a=3，则b+c的取值范围是(3 3,611.已知函数f(x)=(12)|x+1|1(x0)x2+12x(x0)，若方程f(x)=m有三个不相等的实根x1，x2，x3(x1x2x3)，则下列选项正确的有()A. 12x2+x31 B. 32x1+x2+x31C. 0x1x2x32 D. 方程f(x)=f(m)有三个不相等的实数根三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(1,x)，b=(x,4)，且a/b，则x=;13.在ABC中，已知B=30，b= 2，且满足条件的三角形有两个，则边a的取值范围是;14.在ABC中，边BC长为4，D为BC的中点，AD长为2 2，点G、O分别为ABC的重心和外心，则AGAO=四、解答题：本题共5小题，共77分。解
4、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知复数z1=(m2m12)+(m+3)i，z2=1i.(其中i为虚数单位，mR)(1)若z1为纯虚数，求m的值;(2)若z2是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p，q的值16.(本小题15分)已知a=(sinx+cosx,2cosx)，b=(sinxcosx, 3sinx)，函数f(x)=ab(1)求函数f(x)的对称中心及单调减区间;(2)若f(6+2)=2 33，且343，求sin的值17.(本小题15分)在ABC中，已知AB=1，AC=2，BAC=60.M，N分别是BC，AC上的点，且BM=2MC，AN=NC，AM与BN相交于点P，AP=PM(1)求实数的值;(2)求MPN的余弦值18.(本小题17分)如图，四边形ABCD中，AB=BC，AD=DC，AC=2，BAC=，DAC=，且tan+tan+ 3tantan= 3(1)求BAD;(2)求BD的取值范围;(3)求四边形ABCD周长的最小值19.(本小题17分)已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形
5、，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a= 3，以ABC的边BC，CA，AB分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为A1，B1，C1，记R为ABC的外接圆半径(1)若R= 3，求B1AC1的值;(2)在(1)的条件下，求A1B1C1边长的最大值;(3)若A1B1C1的面积为 3，且R 62, 3，求ABC面积的取值范围参考答案1.C2.C3.A4.D5.B6.D7.A8.B9.AD10.ACD11.BCD12.213.( 2,2 2)14.415.解：(1)因为z1=(m2m12)+(m+3)i(mR)，而z1为纯虚数，所以m2m12=0m+30，解得m=4，即m的值为4(2)因为z2是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，且p、q为实数，所以z2也是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，因此p=z2+z2=2，q=z2z2=216.解：f(x)=ab=(sinx+cosx)(sinxcosx)+2cosx 3sinx=sin2xcos2x+2 3sinxcosx=cos2x+ 3sin2x=2( 32sin2x1
6、2cos2x)=2sin(2x6)令2x6=k，kZ，解得x=k2+12，kZ，所以函数f(x)的对称中心为(k2+12,0)，kZ，令2k+22x62k+32，kZ，解得k+3xk+56，kZ。所以函数f(x)的单调减区间为k+3,k+56，kZ.(2)f(6+2)=2sin(2(6+2)6)=2sin(+6)=2 33，则sin(+6)= 33。因为343，所以2+632，可得cos(+6)= 1sin2(+6)= 1( 33)2= 63，所以sin=sin(+6)6)=sin(+6)cos6cos(+6)sin6= 33 32( 63)12=12+ 66= 63617.解：如图：因为BM=2MC，所以BM=23BC=23ACAB，因此AM=AB+BM=AB+23ACAB=13AB+23AC因为AP=PM，所以AP=1+AM=1+13AB+23AC=31+AB+231+AC因为AN=NC，所以AN=12AC因为B，P，N三点共线，所以AP=1tAB+tAN=1tAB+t2AC，因此31+AB+231+AC=1tAB+t2AC，而AB与AC不共线，所以31+=1t231+=t2，解得
7、=32，即实数的值为32(2)因为AB=1，AC=2，BAC=60，所以AB=1，AC=2，=60，因为BN=ANAB=12ACAB，AM=13AB+23AC，所以BN2=12ACAB2=14AC2+AB2ACAB=14AC2+AB2ACABcos=1+12cos60=1，AM2=13AB+23AC2=49AC2+19AB2+49ACAB=49AC2+19AB2+49ACABcos=169+19+89cos60=219，BNAM=12ACAB13AB+23AC=13AC213AB212ACAB=13AC213AB212ACABcos=431312=12，因此cosMPN=cos=BNAMBNAM=121 213= 211418.解：(1)已知tan+tan+ 3tantan= 3，则tan+tan= 3(1tantan)，则tan+tan1tantan= 3，即tan(+)= 3.因为0+，所以+=3，即BAD=3.(2)因为AB=BC，AD=DC，BD为公共边，所以ABDCBD设AC与BD相交于点O，则ACBD，AO=12AC=1.在ABO中，BO=tan，在ADO中，DO=tan.所以BD=BO+DO=tan+tan由=3，得BD=tan+tan(3)=sincos+sin(3)cos(3)= 32coscos(3)，又coscos(3)=12cos2+ 32sincos=14+14cos2+ 34sin2=14+12sin(2+6)因为03，所以656，所以1214+12sin(2+6)342 33BD 3，所以BD的取值范围是2 33, 3)(3)四边形ABCD的周长L=2AB+2AD，AB=1cos，AD=1cos，=3L=21cos+1cos(3)令t=6，则6t6， 32cost1，1cos+1cos(3)=1cos(t+6)+1cos(t6)= 3costcos2t14=4 34cost1cost4 334cost1cost3，4 334 34cost1cost3，所以四边形ABCD周长L的最小值为8 3319.解：(1)由asinA=2R得sinA=12，因为ABC为锐角三角形，所以A=30，由题知B1AC=C1AB=30，故B1AC1=90；(2)设B1C1=x，且AB1=23 32b= 33b，同理AC1= 33
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