2024-2025学年河南省部分名校高三（下）第三次月考数学试卷（4月份）（含答案）

1、2024-2025学年河南省部分名校高三（下）第三次月考数学试卷（4月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=xN|1x5，B=x|x1|2，则AB=()A. x|1x3B. 0,1,2,3C. 1,2,3D. 32.若复数z满足(1+2i)z=11+i，则z的虚部是()A. 310B. 310iC. 310D. 310i3.在ABC中，向量AB=(x,1),BC=(3,2x)，若ABC为锐角，则实数x的取值范围为()A. (12,3)(3,+)B. (1,3)(3,+)C. (12,+)D. (,12)4.已知f(x)为定义在(4,4)上的奇函数，若f(x)在0,4)上单调递减，则满足不等式f(a+1)+f(1a2)0的实数a的取值范围是()A. ( 5,+)B. ( 5,2)C. ( 5,1)(2, 5)D. ( 5,1)(1, 5)5.已知3sin(2+)cos=3cos(2+)sin+1，且(4,2)，则tan(+4)=()A. 4B. 2 2C. 2D. 26.某校学生会有男生2n人，女生3n人，现从

2、男生中选出(11n)人，从女生中选出(6n13)人参加志愿活动，则不同的选法种数为()A. 48B. 96C. 144D. 1927.已知函数f(x)=(xa1)ex(x2a)bx是R上的增函数，则ab的最小值是()A. eB. eC. 1eD. 1e8.与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，两个垂足之间的线段叫做公垂线段，已知任意两条异面直线有且仅有一条公垂线段，且公垂线段是分别连接两条异面直线上两点的线段中最短的一条.如图，在四面体ABCD中，AD是异面直线AB和CD的公垂线段，r为四面体ABCD的内切球半径，则()A. rABCD2(AB+CD)B. rABCD4(AB+CD)C. rABCDAD2(AB+CD+AD)D. rABCDAD6(AB+CD+AD)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知正数x，y满足2x+y=1，则()A. xy116B. 1x+2y8C. 2x+ y 2D. x2+y21510.已知函数f(x)=3sin(2x+3)+2，则下列结论正确的是()A. 直线x=12是f(x)的图象的一条对

3、称轴B. y=f(x6)+2为奇函数C. f(x)在区间(0,)内有两个零点D. 若f(x1)f(x2)=5且f(x1)0,b0)的焦距为8，点P为双曲线右支上一点(位于第一象限)，且PF1PF2，Q为F1PF2的平分线上一点，满足OQ/PF2，|OQ|=2，则()A. |OP|=4B. |PF2|=2 22C. 离心率e=2D. F1PF2的面积为12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知数列an满足an+1=21an(nN),bn是公差为4的等差数列，若a3=139,b1=a1，则bn的通项公式为bn= _13.在对某中学高三年级学生体重(单位：kg)的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高三年级学生体重的方差为_14.已知实数a，b满足 a4b=a2 b，记a的取值集合为M，则M中的整数有_个.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在ABC中

4、，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinBasinA=(ca)sinC()求B；()若D为AC边的中点，BD=3，ac=6，求b16.(本小题15分)已知点A是圆x2+y2=1上的动点，点A在x轴上的射影为B，点P满足PB=2AB，记动点P的轨迹为E()求E的方程；()若斜率为2的直线l与y轴交于点D，与E交于M，N两点，证明：|DM|2+|DN|2为定值17.(本小题15分)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB/CD，AD=2，BAD=3,AB=AS=BS=4,SD=2 3()求证：ADBS；()求二面角ABSC的正弦值18.(本小题17分)已知函数f(x)=2(x1x)alnx(aR)，设f(x)的图象在x=1处的切线为l：y=kx+b()若a=1，证明：当x0时，f(x)kx+b；()若f(x)有三个零点x1，x2，x3(x1x23a19.(本小题17分)将n个正整数构成的数列a1，a2，an变为1，2，a11，a1，1，2，a21，a2，1，2，an1，an的操作称为一次“扩展”.现对数列1，2，3，n扩展m次()若n=3，m=2，写出扩展后的数

5、列；()设扩展m次后得到的数列所有项之和为S(n,m)，证明：S(n,m)=Cm+n+1m+2；()从第2025次扩展后的数列中任取一项，求取到数字t(1tn)的概率Pt参考答案1.B2.A3.A4.C5.D6.B7.C8.D9.BCD10.AC11.ACD12.4n+113.3614.315.解：()已知bsinBasinA=(ca)sinC，由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R(R为ABC外接圆半径)，可得b=2RsinB，a=2RsinA，c=2RsinC，将其代入原式得：(2RsinB)2(2RsinA)2=(2RsinC2RsinA)2RsinC，化简后为b2a2=c2ac即a2+c2b2=ac，根据余弦定理cosB=a2+c2b22ac，把a2+c2b2=ac代入可得cosB=ac2ac=12，因为B(0,)，所以B=3；()因为D是AC中点，则有BD=12(BA+BC)，两边平方得BD2=14(BA2+2BABC+BC2)，即|BD|2=14(c2+2accosB+a2)，已知BD=3，ac=6，B=3，所以cosB=12，代入上式可得：9=14(a2+c2

6、+2612)，即9=14(a2+c2+6)，等式两边同时乘以4得：36=a2+c2+6，移项可得a2+c2=30，根据余弦定理b2=a2+c22accosB，把a2+c2=30，ac=6，cosB=12，代入得：b2=302612=306=24，所以b=2 616.解：()设P(x,y)，A(x0,y0)，因为B为A在x轴上的射影，所以B(x0,0)，因为PB=2AB，则(x0x,y)=2(0,y0)，所以x0x=0y=2y0，即x0=xy0=y2，又因为A(x0,y0)在圆x2+y2=1上，将x0=xy0=y2代入圆方程得x2+(y2)2=1，所以E的方程为x2+y24=1；()证明：因为直线l的斜率为2，则设直线l的方程为y=2x+m，则D(0,m)，联立y=2x+mx2+y24=1，消去y得8x2+4mx+m24=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+x2=m2，x1x2=m248|DM|2=x12+(y1m)2=x12+(2x1)2=5x12，|DN|2=x22+(y2m)2=x22+(2x2)2=5x22所以|DM|2+|DN|2=5(x12+x22)=5(x1+

7、x2)22x1x2=5(m2)22m248=5m24m24+1=5，所以|DM|2+|DN|2为定值517.解：()证明：连接BD，因为底面ABCD是等腰梯形，AB/CD，AD=2，BAD=3，AB=4，由余弦定理可得BD2=AB2+AD22ABADcos3=16+424212=12，所以AD2+BD2=AB2，则ADBD，因为AD=2，SD=2 3，AS=4，所以AD2+SD2=AS2，则ADSD，因为SDBD=D，SD、BD平面SBD，所以AD平面SBD，因此BS平面SBD，所以ADBS()在SBD中，SD=BD=2 3，SB=4，由余弦定理可得cosSDB=SD2+BD2SB22SDBD=12+121622 32 3=13，因为BAD=3，ADBD，则ABD=6，因为四边形ABCD为等腰梯形，且AB/CD，则ABC=3，ADC=23，所以BDC=ADCADB=6，CBD=ABCABD=6，故BCD为等腰三角形，且CD=BC=AD=2，因为AD平面SBD，以点D为坐标原点，DA、DB所在直线分别为x、y轴，平面SBD内过点D且垂直于BD的直线为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则

8、A(2,0,0)，B(0,2 3,0)，C(1, 3,0)、S(0,2 33,4 63)，设平面ABS的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，AB=(2,2 3,0)，BS=(0,4 33,4 63)，所以mAB=2x1+2 3y1=0mBS=4 33y1+4 63z1=0，取y1= 2，可得m=( 6, 2,1)，设平面BCS的一个法向量为n=(x2,y2,z2)，BC=(1, 3,0)，所以nBC=x2 3y2=0nBS=4 33y2+4 63z2=0，取y2= 2，可得n=( 6, 2,1)，所以cosm,n=mn|m|n|=333=13，所以sin= 1cos2= 1(13)2=2 23，因此，二面角ABSC的正弦值为2 2318.()证明：当a=1时，f(x)=2(x1x)lnx，f(1)=2(11)ln1=0对f(x)求导得f(x)=2(1+1x2)1x，则f(1)=2(1+1)1=3，所以切线l的方程为y=3x3，即k=3，b=3，令g(x)=f(x)(3x3)=2(x1x)lnx3x+3=lnxx2x+3对g(x)求导得g(x)=1x1+2x2=x2x+2x2=(x+2)(x1)x2，当x(0,1)时，g(x)0，g(x)单调递增；当x(1,+)时，g(x)0时，f(x)kx+b(2)(i)解：f(x)=2(x1x)alnx，显然有f(1)=2(11)alnl=0，f(x)=2(1+1x2)ax=2

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