2024-2025学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷（含答案）

1、2024-2025学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(2,4)，b=(1,x)，若a/b，则|b|=()A. 52B. 5C. 2 5D. 4 52.已知复数z满足(1i)z=2，则z=()A. 1iB. 1+iC. 1iD. 1+i3.在ABC中，若tanB+tanC+ 3tanBtanC= 3，则A=()A. 6B. 3C. 23D. 564.在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=(ab)2+4 3，且C=3，则ABC的面积为()A. 3 3B. 9 32C. 3D. 3 325.若sin(+)=23，sin()=15，则tantan=()A. 713B. 713C. 137D. 1376.2cos40sin70cos70=()A. 33B. 33C. 3D. 37.已知正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，则A1A4A1A7=()A. 2B. 2 2C. 4+2 2D. 4+ 28.如图，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，

2、在山顶P处测得三点的俯角分别为=60，=45，=30，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，已知BC=150m，AD=30m，EB=20m，则隧道DE的长度为()A. 100+100 3mB. 150+100 3mC. 150 2+150 6mD. 100 2+100 6m二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知z1，z2是复数，则下列说法正确的是()A. 若z2=z1，则z1z2RB. 若z2=z1，则z1z2=|z1|2C. 若|z1|=|z2|，则z1=z2D. 若1z1R，则z1R10.已知|OM|=|ON|=2，OM与ON夹角为3，若|OP|=2且OP=xOM+yON(x0,y0)，则下列说法正确的是()A. 当y=0时，OP在ON上的投影向量为 32ONB. 当x=y时，OPMN=0C. OPOM的最小值为2D. PMPN的最大值为011.在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知ab90C. 存在唯一的ABC，使得C=2AD. 不存在ABC，使得C=3A三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在ABC

3、中，H为BC的中点，M为AH的中点.若AM=AB+AC，则+的值为_13.若是第一象限角，且sin=45，则1tan21+tan2的值为_14.设向量，的夹角为，定义=|sin，若平面内互不相等的两个非零向量a，b满足：|a|=1，(ab)与b的夹角为135，则ab的最大值为_四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)设x为实数，已知复数z=(x2)+(x29)i(1)若z对应的点在第一象限，求x的取值范围；(2)若m为实数，且z与复数m5i相等，求m的值16.(本小题15分)在ABC中，已知|AB|=2，|AC|=4，AB和AC的夹角为，且cos=14(1)若D为AB的中点，求ABCD；(2)已知BE=BC，若|AE|= 152，求实数的值17.(本小题15分)已知向量m=(cosx,sinx)，n=( 3sinx+2cosx,sinx)，函数f(x)=mn+12(1)若x0,2，求f(x)的最小值；(2)若x0,3，f(x)=1，求cos(2x+12)的值18.(本小题17分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.

4、已知cos2Bcos2A=2sinBsinC(1)若B=C，求A；(2)求ab的取值范围；(3)设D是边BC上一点，若B=12，tanCAD= 312，记ABD，ADC的面积分别为S1，S2，求S1S2的值19.(本小题17分)正弦型函数被广泛运用于信号处理领域.不同周期的正弦型函数叠加，是构建复杂信号的重要方式，在诸多领域(如音频处理、图像处理、通信系统等)中发挥着关键作用已知函数fn(x)=sinx+sin3x3+sin5x5+sin(2n1)x2n1，nN，x(0,2)(1)求f1(x23)+f1(x)+f1(x+23)的值；(2)设函数F(x)=f1(x)f2(x)，求F(x)的值域；(3)本小题你有两个选择，请选择其中一个作答：判断函数y=f3(x)的零点个数，并说明理由；判断函数y=fn(x)的零点个数，并说明理由(注：选择解答的总分比选择解答的总分少2分)参考答案1.B2.D3.C4.C5.D6.C7.C8.A9.BD10.BCD11.ACD12.1213.1314.12+ 2215.解：x为实数，已知复数z=(x2)+(x29)i(1)z对应的点在第一象限，可得x20x

5、290，解得x3，故x的取值范围为x|x3；(2)m为实数，且z与复数m5i相等，可得m=x25=x29，解得x=2m=0或x=2m=4故m=0或416.解：(1)ABC中，已知|AB|=2，|AC|=4，AB和AC的夹角为，且cos=14则ABAC=2414=2，又D为AB的中点，则ABCD=AB(ADAC)=12AB2ABAC=22=0；(2)已知BE=BC，则AE=AB+BE=AB+(ACAB)=(1)AB+AC，又|AE|= 152，则4(1)2+4(1)+162=154，即=1817.解：(1)由题意，f(x)= 3sinxcosx2cos2x+sin2x+12= 32sin2x21+cos2x2+1cos2x2+12= 3(12sin2x+ 32cos2x)= 3sin(2x23)，因为x0,2，所以2x2323,3，因此当2x23=2，即x=12时，y= 3sin(2x23)取得最小值 3；(2)因为f(x)=1，所以 3sin(2x23)=1，即sin(2x23)= 33，因为x0,3，所以2x2323,0，若2x+323,2，则sin(2x+3) 32，不合题意，所以

6、2x23(2,0，故cos(2x23)0，所以cos(2x23)= 1sin2(2x23)= 63，则cos(2x+12)=cos(2x23+34)= 22cos(2x23) 22sin(2x23)= 62 3618.解：(1)因为cos2Bcos2A=2sinBsinC，所以(12sin2B)(12sin2A)=2sinBsinC，即sin2Asin2B=sinBsinC，由正弦定理得，a2b2=bc，若B=C，则b=c，所以a2=b2+c2，故A=2(2)由(1)知a2b2=bc，由余弦定理知，cosA=b2+c2a22bc=c2bc2bc=cb2b，所以b=c2bcosA，由正弦定理知sinB=sinC2sinBcosA，而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，所以sinB=sinAcosB+cosAsinB2sinBcosA=sinAcosBcosAsinB=sin(AB)，因为A，B(0,)，所以B=AB，即A=2B，由正弦定理得，ab=sinAsinB=sin2BsinB=2cosB，因为C=3B0，所以0B3，所以cosB(12,1)，所以ab的

7、取值范围是(1,2)(3)由B=12，A=2B，知A=6，C=34，所以S1S2=12cADsinBAD12bADsinCAD=csinBADbsinCAD=sinCsinBADsinBsinCAD= 22sin(6CAD) 6 24sinCAD=( 3+1)12cosCAD 32sinCADsinCAD=( 3+1)(12tanCAD 32)=( 3+1)(1 31 32)= 3+1219.解：(1)因为f1(x)=sinx，所以f1(x23)+f1(x)+f1(x+23)=sin(x23)+sinx+sin(x+23)=0；(2)因为sin3x=sin(2x+x)=2sinxcos2x+(12sin2x)sinx=3sinx4sin3x，所以F(x)=f1(x)f2(x)=sinx(sinx+sin3x3)=sinx(sinx+sinx43sin3x)=2sin2x43sin4x，令t=sin2x，则0t1，即F(x)=2t43t2=43(t34)2+34，所以F(x)值域为0,34；(3)选择：f3(x)的零点个数为1，理由如下：f3(x)=sinx+13sin3x+15sin5

8、x，因为sin3x=3sinx4sin3x，cos3x=4cos3x3cosx，所以sin5x=sin3xcos2x+cos3xsin2x=(3sinx4sin3x)(12sin2x)+2(4cos3x3cosx)sinxcosx=sinx(34sin2x)(12sin2x)+2(4cos2x3)cos2x=sinx(16sin4x20sin2x+5)，因此f3(x)=sinx+3sinx4sin3x3+sinx(16sin4x20sin2x+5)5=sinx15(48sin4x80sin2x+45)又48t280t+45=0的0，令f3(x)=0，则sinx=0，又x(0,2)，所以f3(x)的零点为，即f3(x)的零点个数为1；选择，fn(x)的零点个数为1，理由如下：因为fn(x+)=sin(x+)+sin(3x+3)3+sin(2n1)x+(2n1)2n1=fn(x)，故只要关注0x时，f(x)的零点个数，根据和差化积公式可得2sinxsin(2n1)x=cos(2n2)xcos2nx，2sinxfn(x)=cos0cos2x+13(cos2xcos4x)+12n1cos(2n2)xcos2nx=1+(131)cos2x+(1513)cos4x+(12n112n3)cos(2n2)x12n1cos2nx，由0x，得cosx

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