2024-2025学年江苏省南京市五校联盟高二下学期4月期中数学试卷（含答案）

1、2024-2025学年江苏省南京市五校联盟高二下学期4月期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知平面的法向量为a=(1,2,2)，平面的法向量为b=(2,4,k)，若，则k=()A. 4B. 5C. 4D. 52.已知(2+x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0a1+a2a3+a4a5为()A. 1B. 1C. 32D. 2433.已知函数fx=e2x+3，则f2=()A. 1eB. eC. 2eD. 2e4.某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有()种排法？A. 12B. 24C. 36D. 725.2424+2被5除的余数为()A. 1B. 2C. 3D. 46.已知点A1,1,1，直线l过原点且平行于向量a=(0,1,2)，则点A到直线l的距离为()A. 305B. 355C. 2 55D. 17.若函数fx=12x2x+alnx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为()A. 0,14B. 0,14C. ,14D. ,148.如图，在直三棱柱ABCA1

2、B1C1中，ACAB,AC=AB=CC1=1，E是线段AB的中点，在A1BC内有一动点P(包括边界)，则|PA|+|PE|的最小值是()A. 2 333B. 332C. 333D. 336二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别为棱B1C1、B1B的中点，则下列结论正确的为()A. B1D1AC=0B. AD1=2FEC. DF=2D. DF不是平面ACD1的一个法向量10.现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是()A. 若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为C52A44B. 不同安排方案的种数为54C. 若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为C53C21+C52C32A33D. 若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为C41C42A33+C42A3311.已知直线y=kx与曲线y=lnx相交于不同两点M(x1,y1)，

3、N(x2,y2)，曲线y=lnx在点M处的切线与在点N处的切线相交于点P(x0,y0)，则()A. 0k1eB. y1+y2=1+y0C. x1x2=ex0D. y1y21三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.方程C142x=C14x4的解为 13.九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑如下图，四面体PABC为鳖臑，PA平面ABC，ABBC，且PA=AB=BC=1，则直线PB与平面PAC所成角的大小为 14.已知1+x2x210=a0+a1x+a20x20，则a3= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知10道试题中有4道选择题，甲、乙两人依次不放回地抽取1道，求：(1)甲抽到选择题的概率；(2)在甲抽到选择题的情况下，乙抽到选择题的概率16.(本小题15分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1= 3，AC=2，ABAC，D为A1C1的中点(1)证明：AB1平面A1BD；(2)求点A到平面BCD的距离17.(本小题15分)已知

4、在2x1 xnnN的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是25(1)求展开式中的常数项，并指出是第几项；(2)求展开式中的所有有理项18.(本小题17分)如图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面AA1D1D平面ABCD，A1A=D1D= 17，点P是棱DD1的中点，点Q在棱BC上(1)若BQ=3QC，证明：PQ/平面ABB1A1；(2)若二面角PQDC的正弦值为5 2626，求BQ的长19.(本小题17分)已知函数fx=x2+alnx，aR(1)若曲线fx在x=1处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，求a的值；(2)讨论fx的单调性；(3)当x1e,e时，fxa+2x，求a的取值范围参考答案1.B2.B3.C4.D5.C6.A7.B8.D9.ABD10.AD11.ABD12.613.614.6015.解：设事件A为“甲抽到选择题”，事件B为“乙抽到选择题”(1)10道试题中有4道选择题，甲、乙两人依次不放回地抽取1道，甲抽到选择题的概率为：P(A)=410=25(2)P(AB)=41039=215在甲抽到选择题的情况下，乙抽到选择题的概率

5、为：P(B|A)=PABPA=1316.解：(1)证明：由直三棱柱的性质可知AA1平面ABC，因为AB,AC平面ABC，所以AA1AB，AA1AC，又因为四边形AA1B1B为平行四边形，AB=AA1，所以四边形AA1B1B为正方形，所以AB1A1B，因为AA1AC，ABAC，AA1AB=A，AA1,AB平面AA1B1B，所以AC平面AA1B1B，因为AB1平面AA1B1B，所以ACAB1，因为A1D/AC，所以AB1A1D，又因为A1BA1D=A1,A1B,A1D平面A1BD，所以AB1平面A1BD；(2)以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AC=2，则A0,0,0，B 3,0,0，C(0,2,0)，D(0,1, 3)，所以AC=(0,2,0)，BC=( 3,2,0)，CD=(0,1, 3)，设平面BCD的一个法向量为n=x,y,z，则nBC=0nCD=0，所以 3x+2y=0y+ 3z=0,取x= 3，则y=32，z= 32，所以n=( 3,32, 32)，设点A到平面BCD的距离为d，则d=ACnn=3 3+94+34= 6

6、2，所以点A到平面BCD的距离为 6217.解：(1)依题意可得第2项的二项式系数为Cn1，第3项的二项式系数为Cn2，所以Cn1Cn2=25，即nn(n1)21=25，则n26n=0，n=6或n=0(舍去)，n=6；所以(2x1 x)6展开式的通项为：Tr+1=C6r(2x)6r(x12)r=(1)r26rC6rx632r(0r6,rN)，令632r=0，解得r=4，所以T5=22C62x0=60为常数项，所以常数项为60，为第5项；(2)由(1)知Tr+1=(1)r26rC6rx632r(0r6,rN)，令632rZ，则r=0，2，4，6，当r=0时T1=26C60x6=64x6，当r=2时T3=24C64x3=240x3，当r=4时T5=22C62x0=60，当r=6时T7=20C66x3=x3，故有理项为64x6，240x3，60，x318.(1)证明：取AA1的中点M，连接MP，MB，在四棱台ABCD一A1B1C1D1中，四边形A1ADD1是梯形，A1D1=2，AD=4，又点M，P分别是棱A1A，D1D的中点，所以MP/AD，且MP=A1D1+AD2=3，在正方形ABCD中，

7、BC/AD，BC=4，又BQ=3QC，所以BQ=3，从而MP=/BQ，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以PQ/MB，又因为MB平面ABB1A1，PQ平面ABB1A1，所以PQ/平面ABB1A1(2)在平面AA1D1D中，作A1OAD于O，因为平面AA1D1D平面ABCD，平面AA1D1D平面ABCD=AD，A1OAD，A1O平面AA1D1D，所以A1O平面ABCD，在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，因为ODAB，ON/AB所以ONOD，又因为ON，OD平面ABCD，A1O平面ABCD，所以OA1，ON，OD两两垂直以ON为x轴，OD为y轴，OA1为z轴建立空间直角坐标系，因为四边形AA1D1D是等腰梯形，A1D1=2，AD=4，所以AO=1，又A1A=D1D= 17，由勾股定理可得A1O=4，故各点坐标为B(4,1,0)，D(0,3,0)，C(4,3,0)，D1(0,2,4)，P(0,52,2)，所以DC=(4,0,0)，DP=(0,12,2)，CB=(0,4,0)，设CQ=CB=(0,4,0)(01)，所以DQ=DC+CQ=(4,4,0)，设平面PDQ的法向量为m

8、=(x,y,z)，由mDP=0mDQ=0，得12y+2z=04x4y=0，令z=1，可得m=(4,4,1)，而平面DCQ为xoy平面，故z轴与平面DCQ垂直，可取平面DCQ的一个法向量为n=(0,0,1)设二面角PQDC为，则|cos|=|cos|=|mn|m|n|=1 (4)2+17，又由sin=5 2626，所以|cos|=1 (4)2+17=1 26，解得=34(由于Q点在CB之间故舍去为负的情况)，因此CQ=344=3，BQ=1，所以当二面角PQDC的正弦值为5 2626时，BQ的长为119.解：(1)因为fx=x2+alnx，所以fx=2x+ax，所以f1=2+a，又fx在x=1处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，所以f123=1，即2+a=32，所以a=12(2)fx=2x+ax=2x2+ax，x0当a0时，fx0，所以fx在0,+上单调递增当a0，所以x= a2当x0, a2时，fx0，fx单调递增综上，当a0时，fx在0,+上单调递增；当a0，则gx=11x=x1x，令gx=0，得x=1，当x0,1时，gx0，gx单调递增，所以gxg1=10，即xlnx0，则ax22xxlnx在1e,e上恒成立令x=x22xxlnx，x1e,e，则x=2x2xlnxx22x11xxlnx2=2x1xlnxx2x1xlnx2=x1x+22lnxxlnx2因为x1e,e，所以lnx1，则x+22lnx

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