广东省广州市2025年普通高中毕业班综合测试（二）（广州二模）数学参考答案

1、启用前注意保密试卷类型：B2025年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数 学一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.1. 设集合 ,则 的元素个数为A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】B【解析】 , 3 个元素,选 B.2. 已知复数 满足 ,则 的最小值为A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】 【解析】令 ,则 ,则 (x, y)在(0,2)为圆心1为半径的圆上, ,选 C.3. 声强级 (单位: )由公式 给出,其中 为声强(单位: ).轻柔音乐的声强一般在 之间,则轻柔音乐的声强级范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,则 , ,选 C.4. 的展开式中 的系数为A. 24 B. -24 C. -36 D. -40【答案】D【解析】 展开式第 项 ,即 系数 -40,选 D.【点评】二项式展开的经典题,易错在分项相乘时的遗漏。拆解(x+1/x)(1-2x)是关键,部分同学可能只计算 项或 项中的一项而漏解。需注意:展开时必须穷举所有可能的乘积组合,尤其是交叉项的系数叠加。本

2、题训练多项式乘法中的系统性思维。5. 已知 ,则 ,则 A. B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】 ,选 A.【点评】三角恒等式与方程结合的难题。通过 与 的公式转化,关键在分子分母的因式分解技巧。部分同学可能在化简 2tan/(1-tan)=cos/(1+sin2)时迷失方向,建议引入辅助变量 简化计算。此题考验三角恒等变形的熟练度和代数运算的耐心。6. 已知函数 若函数 恰有 2 个零点,则实数 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】 时, 无解. ,则 有两正根, 矛盾, 当 时, 有且仅有一个根,则 即 有且仅有一个正根,成立, ,选 B.【点评】 分段函数零点问题, 用参数分离法分析图像交点, 更需注意分段讨论的逻辑严谨性。 当 a 0 时,需分别讨论指数函数和对勾函数的零点个数,部分同学可能忽略 x 0 和 x 0 区间的不同性质,误判交点数量。此题检验分段函数分析和数形结合能力。7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,过 的直线与 相交于 两点,且 ,则 的离心率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ,则 ,选 D.【点评】椭圆几何性质的深度应

3、用。通过设边长利用余弦定理,关键在椭圆定义与焦半径性质的综合应用。8. 已知函数 在 上的所有极值点从小到大依次记为 ,则 A. -32 B. -16 C. -8 D. -4【答案】B【解析】 在 上有 4 个变号零点 在 上有 8 个极值点,且由 关于(0, - 2)中心对称知 ,选: B. 【点评】极值点与对称性的综合题。利用导数求零点,核心在于中心对称性的观察。部分同学可能陷入求导后解三角方程的复杂计算,忽略 关于(0,-2)对称的本质。记住:对称性可极大简化求和问题。此题训练高阶函数的整体性质分析能力。二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.9. 一组成对样本数据 的散点位于一条直线附近,它的样本相关系数 (其中 ),由最小二乘法求得经验回归方程 (其中 ,则A. 若 ,则 B. 若 ,则成对数据 的样本相关系数 等于 C. 若 ,则成对数据 的样本相关系数 大于 D. 若 ,则成对数据 的经验回归方程 【答案】ABD【解析】 ,则 ,则 , A 对.

4、 相关系数不变, B 对. 错. 对,选 .【点评】统计概念辨析题。正确识别相关系数与回归系数的关系,需强调数据线性变换对统计量的影响。部分同学可能误认为 选项中系数扩大会影响相关系数,实则 仅度量线性关系的强度,不受尺度影响。此题检验统计概念的精确理解。10. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”. 若 的三个顶点坐标分别为 , , ,其 “欧拉线” 为 ,圆 ,则A. 过 作圆 的切线,切点为 ,则 的最小值为 4B. 若直线 被圆 截得的弦长为 2 ,则 C. 若圆 上有且只有两个点到 的距离都为 1 ,则 D. 存在 ,使圆 上有三个点到 的距离都为 1【答案】BC【解析】 中点 的外心与垂心都在 上,其欧拉线 方程为 .对于 ( 时可取 ), 错.对于 ,说明 过圆心 正确.对于 ,当 与圆相交或相切时,显然均满足, ,当 与圆相离时,有 , , 正确.由对 的分析知,圆 上至多有两个点到 的距离为1, 错,选: .【点评】欧拉线与圆的综合题。通过几何构造分析,关键在动态距离与圆位置关系的讨论。 部分

5、同学可能误判选项 D,需注意:当圆 M 与欧拉线距离恰好为 1 时,最多有两个点满足条件,不可能存在三个点。此题考验几何直观与代数推理的结合。11. 已知 是球 的球面上两点, 为该球面上的动点,球 的半径为 , 二面角 的大小为 ,则A. 是钝角三角形B. 直线 与平面 所成角为定值C. 三棱锥 的体积的最大值为 D. 三棱锥 的外接球的表面积为 【答案】ABD【解析】取 中点 ,过 作 平面 于点 ,连接 , , ,延长 至点 ,使 , , ,而 ,而 , 在图中以 为圆心, 上方以 为弦的一段劣弧上运动 (不含 ), 为钝角, 是钝角三角形, A 正确.对于 ,设 与平面 所成角为 为定值, 正确.对于 ,C 错.对于 为 的外心, 三棱锥 的外接球球心 一定在 上,设外接球半径为 ,由 正确,选:ABD.【点评】 空间几何与球体的难题。利用向量投影和球面几何, 需注意外接球半径的构造逻辑。部分同学可能误用勾股定理直接计算,忽略三棱锥外接球球心的位置分析。此题对空间想象和立体几何定理的应用要求高。三、填空题: 本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.12. 若函数 是偶函

6、数,且 ,则 _. 【答案】 【解析】 为偶函数,则 , , , .13. 一个袋子里有大小和质地相同的 4 个球,标号为 1 , 2 , 3 , 4 ,从中有放回地随机取球, 每次取1个球,共取 4 次,把每次取出的球的标号排成一列数,则这列数中恰有 3 个不同整数的概率为_.【答案】 【解析】有放回取 4 次球,共有 个结果.3 个不同的整数,则有1个整数未出现 3 个不同的整数有1 个整数出现两次 4 个数排顺序 .【点评】有放回取球的概率题。可以用排列组合分步计算,其实更高效的是分步乘法原理: 先选未出现的数字(4 种),再分配重复数字的位置(C(4,2)种),最后排列剩余两个数字(2 种)。部分同学可能混淆排列与组合的使用场景。14. 在平面四边形 中, , , ,若 的面积是 的面积的 2 倍,则 的长度为_.【答案】 【解析】方法一:设 . , .方法二: 设 ,分别过 作 于点 于点 设 .【点评】平面几何与三角恒等式的综合题。通过面积比建立方程,关键在角度的引入与三角恒等式转化。部分同学可能设角不当导致方程复杂化,建议优先考虑几何构造(如作高线或利用余弦定理)。此题检

7、验几何问题代数化的能力。四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (13 分) 设 为数列 的前 项和,且 是 和 8 的等差中项.(1)求数列 的通项公式； (2)令 ,数列 的前 项和为 ,证明: .【解析】(1)方法一:因为 是 和8的等差中项,所以 ,即 .当 时, ,得 .当 时, ,-得 ,得 ,即 所以数列 是以首项为 8 ,公比为 2 等比数列.所以 .方法二: 因为 是 和 8 的等差中项,所以 ,即 .当 时, ,得 . 当 时, ,得 .当 时, ,得 .猜想: . (下面用数学归纳法证明) 当 时,可知猜想成立； 假设 时,猜想成立,即 ,依题意,得 ,得 ,又 ,得 ,则 ,得 . 即当 时,猜想也成立.(2)证明:因为 ,得 ,所以 .由于 ,得 ,得 ,所以 .【点评】 数列与裂项求和的经典题。可以使用递推与数学归纳法,部分同学可能在证明通项公式时忽略归纳步骤的严谨性。注意:已知 与 的关系时,必须验证 的初始条件。 此题训练数列通项推导与求和技巧。16. (15 分) 如图,直四棱柱 的底面 是菱形, 为

8、锐角, 分别为棱 的中点,点 在棱 上,且 ,点 在直线 上.(1)证明: 平面 ；(2)若直四棱柱 的体积为 ,当直线 与平面 所成角的正弦值最大时,求 的长.(1)证明:取 的中点 ,连接 ,因为 为 的中点,所以 ,且 .又 ,且 ,则 ,且 .所以四边形 是平行四边形,所以 .因为 ,则 为 的中点.又 为 的中点,则 ,所以 .因为 平面 , 平面 ,所以 平面 .(2)方法一:由于直四棱柱 的体积为 ,得 ,得 ,由于 为锐角,则 . 分别以直线 为 轴,以 的 边上的高线为 轴,建立空间直角坐标系 .则 ,设 ,设平面 的法向量为 ,直线 与平面 所成角为 ,由 即 取 ,则平面 的一个法向量为 .则 当 时, 取得最大值.此时 ,此时 的长为 .方法二: 由于直四棱柱 的体积为 ,得 ,得 ,由于 为锐角,则 .连接 ,设 ,连接 ,设 ,以 为原点,分别以直线 为 轴,建立空间直角坐标系 ,则 ,设 ,即 ,则 .设平面 的法向量为 ,直线 与平面 所成角为 ,则 即 令 则 .则平面 的一个法向量为 .则 .当 时, 取得最大值,此时 .所以 的长为 .方法三: 由于直四棱柱 的体积为 ,得 ,得 ,由于 为锐角,则 .由( 1 )知 平面 且点 在直线 上,则点 到平面 的距离为定值 .设直线 与平面 所成角为 ,则 .当 最小时, 取得最大值.如图,过 作 ,交 的延长线于点 ,连接 ,由于 ,则 平面 .又 平面 ,则 . 则 为所求.在 中,

《广东省广州市2025年普通高中毕业班综合测试（二）（广州二模）数学参考答案》由会员yanj****uan分享，可在线阅读，更多相关《广东省广州市2025年普通高中毕业班综合测试（二）（广州二模）数学参考答案》请在金锄头文库上搜索。