1、2024-2025学年江苏省南通市高一下学期4月期中调研数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.cos15sin75sin15cos75=()A. 12B. 32C. 12D. 322.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a= 3，B=45，C=75，则b=()A. 22B. 1C. 2D. 6 223.已知三点A(1,0)，B(1,2)，C(2,1)，若AB和CD是相反向量，则D点坐标为()A. (0,1)B. (4,3)C. (1,1)D. (1,3)4.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=2，A=30，若满足条件的ABC有两个，则b的取值范围是()A. (0,4)B. (2,4)C. (2,4 33)D. (2,+)5.已知向量a=(1, 3)，|b|=3，且向量a在向量b上的投影向量为13b，则|ab|=()A. 1B. 2C. 7D. 196.已知sin=2 2cos(+4)，则sincos3sin=()A. 27B. 37C. 23D. 237.已知020，则向量a，b夹角
2、为锐角B. 若a=4b，则a|a|=b|b|C. 若|a|=|b|=|a+b|，则a与ab的夹角是30D. 若a/b，则(bc)a=(ac)b10.已知0，sin+cos=13，则()A. sin2=89B. sincos= 173C. cos2cos(+4)= 23D. tan(+4)=4311.在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sinA=cosB，则()A. ABC为锐角三角形B. 若a=1，则b=tanBC. 2tanB+tanC的最小值为 3D. 1cosA+cosB+cosC54三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在ABC中，三边长分别为4，6，8，则ABC为三角形.(选填“锐角”、“直角”、“钝角”)13.使得(sin11cos11)tan=sin11+cos11成立的的一个值为.14.蜜蜂将窝造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择，旨在最大化资源的利用，同时确保蜂巢的结构稳定性和功能性.小明作出它的部分平面图(三个全等的正六边形)，若AL=xAB+yAF，则x+y=;若|AB|=2，则ALID=四、解答题：本题共5小
3、题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量a=(m,1)，b=(1,2)，c=(3,1)(1)若ab，求(a2b)c的值;(2)若(4a+c)/b，求实数m的值16.(本小题15分)已知锐角，满足sin= 1010，cos2=35(1)求sin()的值;(2)求+的值17.(本小题15分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2b=c+2acosC.(1)求A;(2)若a=3，sinC=2sinB，A的平分线交BC于点D，求AD18.(本小题17分)已知函数f(x)= 3sinxcosxcos2x+12(1)若为锐角，f(2)= 63，求cos的值;(2)在ABC中，若f(A)=1，BC= 13，D是BC的中点，且AD=3，求ABC的面积;(3)若关于x的不等式f(2x3)+mf(x)+20在(12,2上恒成立，求实数m的取值范围19.(本小题17分)某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)，沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角
4、形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角ABC中，BC=4，其外接圆O的半径为87 7，且三条圆弧沿ABC三边翻折后交于点H(1)求sinHCA;(2)若点T为劣弧BHC上一动点，求TBTC的最小值;(3)若BOAC=10，求HA+HB+HC的值参考答案1.B2.C3.A4.B5.C6.D7.C8.A9.BCD10.AC11.BCD12.钝角13.12414.7；215.解：(1)因为ab，所以ab=m(1)+12=0，即m+2=0，解得m=2，所以a=(2,1)，则2b=2(1,2)=(2,4)，那么a2b=(2(2),14)=(4,3)，又因为c=(3,1)，所以(a2b)c=43+(3)(1)=12+3=15;(2)已知a=(m,1)，则4a=4(m,1)=(4m,4)，又c=(3,1)，所以4a+c=(4m+3,4+(1)=(4m+3,3)，因为(4a+c)/b，b=(1,2)，根据向量平行的性质，有(4m+3)2(1)3=0，即8m+6+3=0，解得m=9816.解：(1)由sin= 1010，为锐角，所以cos= 1sin2= 1( 1010)2=3 1010因为
5、cos2=35，所以2cos21=35，即cos2=45，因为为锐角，所以cos=2 55，所以sin= 1cos2= 1(2 55)2= 55所以sin()=sincoscossin= 10102 553 1010 55= 210(2)由(1)知，tan=sincos=13，tan=sincos=12所以tan(+)=tan+tan1tantan=13+1211312=1因为，都是锐角，所以0+，所以+=417.解：(1)在ABC中，由余弦定理得，cosC=a2+b2c22ab，所以2b=c+2acosC，即为2b=c+2aa2+b2c22ab化简得b2+c2a2=bc所以cosA=b2+c2a22bc=12因为0A，所以A=3;(2)在ABC中，由正弦定理得，bsinB=csinC，由sinC=2sinB，可得c=2b，因为a=3，由(1)知，b2+c2a2=bc，所以b2+4b29=2b2，解得b= 3，所以c=2 3，又在ABC中，AD是A的平分线，由SABD+SACD=SABC，得12ABADsin6+12ACADsin6=12ABACsin3，即 34AD+ 32AD=3
6、32，解得AD=218.解：由题意可得f(x)= 3sinxcosxcos2x+12= 32sin2x12cos2x=sin(2x6).(1)所以f(2)=sin(6)= 63，因为为锐角，所以663，所以cos(6)= 1sin2(6)= 33所以cos=cos(6)+6=cos(6)cos6sin(6)sin6= 33 32 6312=3 66(2)在ABC中，f(A)=sin(2A6)=1，因为0A，所以62A6116，所以2A6=2，即A=3，因为AD是ABC的中线，所以AD=12(AB+AC)，所以AD2=14(AB2+AC2+2ABAC)，因为AD=3，所以AB2+AC2+2ABAC=36又因为BC= 13，所以BC2=(ACAB)2=AC2+AB22ABAC=13，得4ABAC=23，即ABAC=234而ABAC=|AB|AC|cos3=234，所以|AB|AC|=232，所以ABC的面积S=12ABACsin3=23 38(3)不等式f(2x3)+mf(x)+20即为sin(4x56)+msin(2x6)+20.因为x(12,2，所以2x6(0,56，所以0d2+R22dR=(Rd)2，所以TDRd当O，D，T三点共线时，TD=Rd，因为d=6 77，所以TDmin=2 77，所以TBTC的最小值为247(3)设AC中点为E，则BOAC=(BE+EO)AC=BEAC=12(BC+BA)(BCBA)，即BC2BA2=20因为BC=4，所以BA=6，由BAsinC=2R，得sinC=3 78，所以cosC=18所以cosB=cos(AC)=cos(A+C)=(cosAcosCsinAsinC)=3418+ 743 78=916，因为HA=ABcosAsinC=2RcosA，同理HB=2RcosB，HC=2RcosC，所以HA+HB+HC=2R(cosA+cosB+cosC)=167 7(34+18+916)=237 7第8页，共8页
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