1、2024-2025学年河南省南阳市部分学校（新未来联考）高一下学期4月质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列与46角终边相同的角为()A. 314B. 314C. 396D. 2262.在ABC中，A=3，AC=2，且ABC的面积为 32，则AB=()A. 1B. 3C. 2D. 33.已知向量a=(m+1,2)，b=(1,m).若ab，则m的值为()A. 1B. 2C. 13D. 134.若向量a，b满足a=2，b= 3，且ab=1，则向量b与ba夹角的余弦值为()A. 1515B. 2 1515C. 55D. 2 555.已知f(x)=tanx+1tanx，则f(x)的最小正周期为()A. 4B. 2C. D. 26.若非零向量a，b满足a=ab，则a+2b在b方向上的投影向量为()A. 52bB. 2bC. 32bD. b7.若将f(x)=cosx的图象进行变换，使得其与g(x)=sin2x+4的图象重合，则下列变换正确的是()A. 先将f(x)的图象向右平移38个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短
2、到原来的12B. 先将f(x)的图象向左平移4个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的12C. 先将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，再将图象向左平移78个单位D. 先将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，再将图象向右平移4个单位8.如图，在等腰梯形ABCD中，DC=2DA=2AB=6，E，F分别为AB，BC的中点，DF与CE交于点O，则CODA=()A. 2B. 2C. 1D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是()A. 若是第一象限角，则是锐角B. 3=60radC. 若sin0,0)，则下列结论正确的是()A. 若=2且=4，则x=8是f(x)的一条对称轴B. 若=3且点4,0是f(x)的一个对称中心，则的最小值为4C. 若=6且f(x)在区间0,2上单调递增，则的取值范围为0,23D. 若=3，且方程f(x)=12在(0,上恰有一解，则的取值范围为12,116三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知某扇形的半径为 3，圆心角为3，则该扇形的面积为13.若O为ABC的外心
3、，AB=2，则BOBA的值为14.已知函数f(x)=cos(x+3)(0)在区间0,内既有最大值也有最小值，则的取值范围是四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知O为坐标轴原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，且终边过点P(3m,4m)(m0)(1)求与OP同向的单位向量e；(2)求cos92+sintan2sin2cos32+的值16.(本小题15分)已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB=bsinA(1)求角B；(2)若b= 3，a= 2，求ABC的面积S17.(本小题17分)已知a，b为单位向量，且a与b的夹角为60(1)若2a+b与tab共线，求实数t的值；(2)求a+3b的值；(3)若向量2ab与ab的夹角为锐角，求实数的取值范围18.(本小题15分)如图，某大风车的半径为2米，按逆时针方向匀速转动，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面0.5米.风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t秒后与地面的距离为米.(1)求函数=f(t)的关系式；(2)求转动一周(0t12)，A点距离地面不超过1.5米
4、的时长19.(本小题17分)在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，记ABC的面积为S，且4S= 3b2a2c2(1)求角B的大小；(2)若b=3，BD，BE分别为ABC的中线和角平分线(i)若ABC的面积为 32，求BD的长；(ii)求BE长的最大值参考答案1.B2.A3.D4.B5.C6.A7.C8.D9.BD10.BC11.BCD12.213.214.56,53116,+15.(1)e=OPOP=(3m,4m)(3m,4m)=(3m,4m) 9m2+16m2=(3m,4m)5m=35,45；(2)因为角的始边与x轴的非负半轴重合，且终边过点P(3m,4m)(m0)，所以tan=4m3m=43，cos92+sintan2sin2cos32+=sin+sinsin2cos2cossin=sin+sincossincossin=sin+coscossin=tan+11tan=43+1143=716.(1)因为acosB=bsinA，据正弦定理可得sinAcosB=sinBsinA，且A、B(0,)，则sinA0，可得cosB=sinB，解得：B=4；(2)由余弦定理，可知c2
5、+a22accosB=b2，代入数值，可得c2+22 2 22c=3(c0)，解方程可得c=1+ 2，则S=12acsinB=12 2(1+ 2) 22=1+ 2217.(1)因为2a+b与tab共线，则存在唯一实数k，使得tab=k2a+b，所以t=2k1=k，解得k=1t=2,所以t=2；(2)因为a，b为单位向量，且a与b的夹角为60，所以ab=1112=12，则a+3b= a+3b2= a2+9b2+6ab= 1+9+3= 13；(3)因为向量2ab与ab的夹角为锐角，所以2abab0且向量2ab与ab不共线，由2abab0，得2a22+2ab+b20，即2122+2+0，解得2 72+ 7，当向量2ab与ab共线时，则存在唯一实数，使得2ab=ab，所以2=，解得= 2，因为向量2ab与ab不共线，所以 2，综上所述，实数的取值范围为2 7, 2 2,2+ 718.(1)解：如图所示，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则圆心为O(0,2.5)，圆的半径为r=2，因为每12秒旋转一周，可得每秒6弧度，则t秒后转6t弧度，即AOB=6t，又因为大风车的半径为2米，最低点O离地面
6、0.5米，过点A作ABOO，可得|AM|=BO所以运动t秒后与地面的距离为=|AM|=OO|OB|=2.52cos6t，即函数=f(t)的关系式为f(t)=2.52cos6t,t0(2)解：由(1)知f(t)=2.52cos6t,t0，令f(t)1.5，即2.52cos6t1.5，可得cos6t12，解得3+2k6t3+2k,kZ，所以2+12kt2+12k,kZ，因为0t12，当k=0时，可得0t2，时长为2秒；当k=1时，可得10t12，时长为2秒；所以转动一周A点距离地面不超过1.5米的时长为2+2=4秒.19.(1)因为4S= 3b2a2c2，所以2acsinB=2 3accosB，所以tanB= 3，又因为B0,，所以B=23；(2)(i)由S=12acsinABC= 34ac= 32，得ac=2，由余弦定理得b2=a2+c22accos23=a2+c2+ac，所以a2+c2=7，因为BD为ABC的中线，所以BD=12BA+BC，则BD2=14BA+BC2=14BA2+BC2+2BABC=14c2+a2ac=54，所以BD= 52；(ii)由余弦定理得b2=a2+c22accos23=a2+c2+ac=(a+c)2ac，所以ac=(a+c)29，因为BE为ABC的角平分线，所以ABE=CBE=3，由S=SABE+SACE，得 34ac= 34BEc+ 34BEa，所以BE=aca+c=(a+c)29a+c=(a+c)9a+c，因为b2=(a+c)2ac(a+c)2(a+c)24=3(a+c)24，所以a+c2 3，当且仅当a=c= 3时取等号，因为函数y=x,y=9x在(0,+)上都是增函数，所以函数y=x9x在(0,+)上是增函数，所以当a+c=2 3时，BE=(a+c)9a+c取得最大值2 392 3= 32，即BE长的最大值为 32第7页，共7页
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