1、2024-2025学年浙江省金砖高中联盟高一下学期4月期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=(1i)2，则z的虚部为()A. 2B. 2iC. 2D. 2i2.已知A=x|1xx+20，B=x|12x|b|且a与b同向，则abD. 已知a=(3,2)，b=(1,k)，若a与a+b的夹角为钝角，则k的取值范围为(8,+)10.设z为复数，下面四个命题中，真命题的是()A. 若|z1|=|z+1|，则z为纯虚数B. zz=|z|2C. 若1|z1+i|2，则点z的集合构成的图形的面积为D. 若复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2= 3+i，则|z1z2|=2 311.如图，正方体ABCDA1B1C1D1边长为2，E，F分别是CC1，C1D1中点，平面AEF截正方体与棱A1D1，BC分别交于点G，H，下列选项正确的是()A. EF，DD1，AG三线交于一点B. P是多边形AGFEH边上的动点，AHAP的最大值是203C. 正方体被截面AGFEH分成上下两部分的体积之比为47:25D. 棱
2、锥FABCD的外接球的表面积为12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数y=2x22x+2，则它的值域是13.衢州是孔子后裔的世居地和第二故乡，素有“东南阙里、南孔圣地”的美誉，孔子雕像坐落于孔子文化公园内.如图，选取与孔子雕像底部O在同一平面内的三个测量基点A，B，C，且在A，B，C处测得雕像顶点P的仰角分别为6，4，3，AB=BC=10米，则孔子雕像高OP为米.14.已知菱形ABCD的边长为2，设AM=AD+DB(R)，若|AM|1恒成立，则菱形ABCD面积的取值范围是四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知复数z满足zi和z2+i均为实数(1)求复数z;(2)若z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p，q的值16.(本小题15分)已知平面向量a=(1,2)，b=(1,x)，c=(4,5x)(1)若(a+b)a，求a与b的夹角;(2)若(a+b)/c，求向量a在向量b上的投影向量17.(本小题15分)已知函数f(x)=x2mx+4，mR，g(x)=f(x)x(1)当m=2时，求关于x的
3、不等式f(2x+3)f(4x+1)的解;(2)若对任意的x11,1，存在x21,3，使得f(x1)g(x2)成立，求实数m的取值范围18.(本小题17分)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC+(c+2a)cosB=0(1)求cosB;(2)若ABC的面积为 3，D为边AC上的一点，若BDBC，a=1，求AD长若CD=2AD，求BD长的最小值：19.(本小题17分)我国古代南北朝数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等(1)如图1，左边是半径为R的半球，右边是底面半径和高都等于R的圆柱，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，求新几何体的体积(2)如图2，一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫做“球台”.该球台下底半径为10cm，上底半径为6cm，上下底面间的距离为8cm.根据祖暅原理，求该球台的体积(3)如图3，一个球体被平面截下的部分叫做球缺
4、.截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高.根据祖暅原理，推导半径为R，高为H的球缺的体积公式参考答案1.A2.C3.A4.B5.D6.A7.C8.D9.ABD10.BD11.ABC12.2,+)13.5 614.(0,415.解：(1)设z=x+yi(x,yR)，zi=x+(y1)i为实数，所以y=1，z=x+i，z2+i=x+i2+i=15(x+i)(2i)=15(2x+1)+15(2x)i为实数所以x=2，故z=2+i；(2)由求根公式可知，若z和z是关于x的方程x2+px+q=0的两个根，由韦达定理，z+z=4=pp=4，zz=5=qq=5，即p=4，q=516.解：(1)a+b=(2,2+x)，因为(a+b)a，所以(a+b)a=2+(2)(2+x)=62x=0，解得x=3，此时b=(1,3)，ab=11+(2)(3)=5，|a|= 12+(2)2= 5，|b|= 12+32= 10，所以cos=ab|a|b=5 5 10= 22，又因为a，b0,，所以向量a与b的夹角=34(2)a+b=(2,2+x)，(a+b)/c，所以2(5x)=4(2+x)
5、，解得x=3，投影向量等于ab|b|2b=510(1,3)=(12,32).17.解：(1)当m=2时，f(x)=x22x+4，对称轴为x=1，f(x)在1,+)上单调递增2x+33，4x+11，f(2x+3)f(4x+1)2x+34x+1，4x2x20(2x2)(2x+1)0.2x+10，2x20x1，所以不等式f(2x+3)f(4x+1)的解为：xx1;(2)根据题意，对任意的x11,1，存在x21,3，使得f(x1)g(x2)成立，即f(x1)ming(x2)min，g(x)=f(x)x=x+4xm，当x=4x，即x=2时，g(x)取到最小值，g(x)min=g(2)=4mf(x)=x2mx+44m对x1,1恒成立，即x2m(x1)，当x=1时，上式显然成立，当x1,1)时，x10，mx2(x1)，令t=x12,0)，m(t+1)2t=t+1t+2对t2,0)成立，m(t+1t+2)max=0，实数m的取值范围:mm018.解：(1)根据正弦定理将原式化简为，sinBcosC+(sinC+2sinA)cosB=0展开可得sinBcosC+sinCcosB+2sinAcosB=si
6、n(B+C)+2sinAcosB=0，A+B+C=，sin(B+C)=sin(A)，sinA+2sinAcosB=0，sinA0，cosB=12(2)ABC的面积为S=12acsinB= 34ac= 3ac=4，由a=1，可得c=4，由BDBC，可得CBD=90，ABD=30，在ABD中，由正弦定理可知，ADsin30=ABsinADBAD=2sinADB，sinADB=sin(C+90)=cosC，在ABC中，由余弦定理可知，AC= AB2+BC22ABBCcos120= 16+1241(12)= 21在ABC中，cosC=a2+b2c22ab=1+211621 21= 217，sinADB= 217AD=2sinADB=27 21=23 21若CD=2AD，可得BD=13BC+23BA，|BD|= (13BC+23BA)2= 19a2+49c2+49ac(12)= 19a2+49c289，ac=4，19a2+49c22 19a249c2=49ac=169，当且仅当19a2=49c2，即a=2c时，等号成立|BD|= 19a2+49c289 16989=2 23BD长的最小值为2 2
7、319.解：(1)依题意该几何体的体积：V=V圆柱V圆锥=R2R13R2R=23R3；(2)如图所示，作出“球台”的轴截面，设球心为O，过O作OEAB交AB于点E，交CD于点F，依题意AB=10cm，CD=6cm，EF=8cm，设球的半径为Rcm，EO=cm，则R2=CF2+OF2且R2=BE2+OE2，R2=2+102=(8)2+62=0，R=10，即O，E重合，球的半径为10cm，作一个高与底面半径都为10cm的圆柱，用距离上底面距离为的平面去截球台和圆柱，球台的截面面积图形为圆，半径为 1022，所以面积为(1022)，圆柱的截面面积图形为圆环，大圆半径为10，小圆半径为，所以面积为(1022)，可得两截面的面积相等由祖暅原理可知，球台的体积等于右边高为8的圆柱OO1体积减去一个圆锥OO1体积，圆锥的底面半径为8，V球台=V圆柱V圆椎=102813828=18883(3)如图所示，上部分的球缺类似于图一左边半球的上面部分，因此它的体积等于圆柱的体积减去圆台的体积，圆柱高为H，圆台的两个底面分别为R，RH，V球缺=V圆柱V圆台=R2H13(R2+(RH)2+R(RH)H=R2H3H(R2+R22RH+H2+R2RH)=R2H3H(3R23RH+H2)=3H2(3RH)，同理，下半部的球缺体积等于球的体
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