1、2024-2025学年新疆乌鲁木齐二十三中高二（下）3月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知某质点的位移y(单位：m)与时间x(单位：s)满足函数关系式y=x4+3x2，则当x=1时，该质点的瞬时速度为()A. 10B. 9C. 8D. 72.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f(x)的图象如图所示，则该函数的大致图象是()A. B. C. D. 3.函数f(x)=2sinxx在区间0,2上的最大值为()A. 0B. 22C. 33D. 164.已知函数f(x)=13x3+ax2+x在(0,+)上单调递增，则实数a的取值范围为()A. (,1B. 1,1C. 1,+)D. 1,+)5.若函数f(x)=x+4x与函数g(x)=aexx有相等的极小值，则实数a=()A. 12B. e3C. 2D. 1e26.把一个周长为6的长方形铁皮围成一个无盖无底的圆柱，当圆柱体积最大时，该圆柱底面半径和高的比值为()A. 2B. 1C. 1D. 7.已知曲线y=ex1与曲线y=alnx+a(a0)
2、只有一个公共点，则a=()A. 1eB. 1C. eD. e28.已知函数f(x)=ex(lna+lnx)，若存在x0，使得f(x)1a，则实数a的取值范围是()A. (0,1e)B. (1e,+)C. (0, e)D. (e,+)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列求导运算正确的是()A. (e)=eB. (2x3)=6x2C. sin(cosx)=sinxcos(cosx)D. (lnx+1x1)=2x2110.直线y=ax+b与曲线y=bx3+x2+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A. B. C. D. 11.如图，由函数f(x)=exe+1与g(x)=ln(x+e1)的部分图象可得一条封闭曲线，则()A. 函数f(x)和g(x)的图象对称B. 上任意一点到原点的距离d 2C. 函数(x)=f(x)g(x)有两个零点x1，x2，且x1+x21D. 直线x+y=t被截得弦长的最大值为 2(e2)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.定义在(0,+)上的可导函数f(x)满足：xf(x)0的解集为_13.已知实数
3、a(0,6)，记f(x)= x(xa).若函数y=f(x)在区间0,2上的最小值为2，则a的值为_14.若函数f(x)=ex+ax3在(0,+)上存在极值，则a的取值范围为_四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数f(x)=13x3ax2+(a21)x+1(aR)(1)若x=1为f(x)的极大值点，求实数a的值；(2)若a=1，求f(x)在区间3,3上的最值16.(本小题15分)已知函数f(x)=alnx(2a+1)x+x2(1)试讨论f(x)的单调性；(2)当a=1时，求g(x)=xf(x)x3的单调区间17.(本小题15分)已知函数f(x)=xlnx()求曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；()已知函数g(x)=f(x)x+2x2，求g(x)的单调区间；()若对于任意x1e,2e，都有f(x)axe(e为自然对数的底数)，求实数a的取值范围18.(本小题17分)已知函数f(x)=(x2)ex(1)求函数f(x)的极值，并在坐标系中画出函数f(x)的简图(要含有必要的说明和体现必要的图象特征)；(2)讨论方程f
4、(x)=a(aR)的实数解的个数(3)证明：ex3lnx119.(本小题17分)设函数f(x)=ex+1x2kx(1)若f(x)在区间1,+)上单调递增，求k的取值范围；(2)当k=0时，求曲线y=f(x)过点(0,1)处的切线方程；(3)当x1时，f(x)f(1)，求k的取值范围答案解析1.【答案】A【解析】解：函数关系式y=x4+3x2，则y=4x3+6x，则y|x=1=4+6=10故选：A求函数y=x4+3x2在x=1时的导数值本题主要考查导数的定义，属于基础题2.【答案】A【解析】解：由图可知，f(x)为奇函数，所以f(x)为偶函数，故只需考虑x2,0时的情况，当x2,0时，f(x)0，所以f(x)在2,0上单调递增，下面分析增长的快慢：当x2,1时，f(x)的值逐渐增大，所以f(x)的图象在2,1上增长速度越来越快，排除选项B和C，当x(1,0时，f(x)的值逐渐减小，所以f(x)的图象在(1,0上增长速度越来越慢，排除选项D故选：A根据函数的奇偶性，只需考虑x2,0时的情况，再分x2,1和x(1,0两类，讨论f(x)的图象增长快慢，即可得解本题考查函数的图象与性质，原函数的
5、图象与导函数图象之间的联系，熟练掌握函数的奇偶性与单调性，导函数的几何意义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题3.【答案】C【解析】解：f(x)=2sinxx，f(x)=2cosx1，令f(x)=2cosx1=0，得cosx=12，x0,2，由cosx=12，得x=3，当x0,3)时，f(x)0，f(x)递增；当x(3,2时，f(x)0，f(x)递减；当x=3时，f(x)=2sinxx在0,2上的最大值是2sin33= 33故选：C由f(x)=2sinxx，知f(x)=2cosx1，令f(x)=2cosx1=0，得当x=3时，f(x)=2sinxx在0,上的最大值是f(3).本题考查利用导数求函数的最大值，解题时要认真审题，注意导数的合理运用4.【答案】D【解析】解：因为函数f(x)=13x3+ax2+x，则f(x)=x2+2ax+1，因为f(x)在(0,+)上单调递增，故f(x)0在(0,+)上恒成立，即x2+2ax+10在(0,+)上恒成立，即2axx21，即ax212x，设(x)=x212x，x(0,+)，(x)=x212x=(x2+12x)2 x212x=1，当
6、且仅当x2=12x，即x=1时等号成立，所以a1故选：D由题设可得f(x)0在(0,+)上恒成立，分离参数后利用基本不等式可求实数a的取值范围本题考查了函数单调性的应用，考查了函数思想，属于中档题5.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用导数根据极值或极值点求参，是中档题利用“对勾函数”的单调性求得f(x)的极小值，可得g(x)的极小值，然后结合导数求极值可得a的值【解答】解：由f(x)=x+4x，利用“对勾函数”的单调性，可知其极小值为4；则函数g(x)=aexx有极小值为4，由g(x)=aexx，得g(x)=aex1，当a0时，g(x)=aex10时，由g(x)=aex10，得x0，得xln1a，g(x)的单调减区间为(,ln1a)，单调增区间为(ln1a,+)函数的极小值为gln1a=aeln1aln1a=1ln1a=4，解得a=e3故选：B6.【答案】B【解析】解：一个周长为6的长方形铁皮围成一个无盖无底的圆柱，设圆柱的底面半径为r，高为x，由题意可得22r+2x=6，可得r=3x2，圆柱的体积V=(3x2)2x=14(9x6x2+x3)，(0x3)，V=14(912x+3x2
7、)=34(34x+x2)，令V=0，解得x=1或x=3，所以当x(1,3)时，V0，V为增函数；当x=1时，V取得极大值，也是最大值，此时高为1，半径为1，底面半径和高的比值为1故选：B设圆柱的底面半径为r，高为x，表示出体积关于高的函数，求导分析即可本题主要考查圆锥的性质以及导数知识的应用，属于中档题7.【答案】B【解析】解：f(x)=ex1alnxa(x0)，则f(x)=ex1ax，令g(x)=f(x)，则g(x)=ex1+ax20，所以f(x)在(0,+)上单调递增，若a=1，则f(1)=0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，所以f(x)min=f(1)=0，即f(x)只有一个零点，符合题意；若a1，f(1)0，因为f(x)在(0,+)上单调递增，所以存在x0(0,+)，使得f(x0)=0，即f(x)在(0,x0)上小于零，在(x0,+)上大于零，所以f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+)上单调递增，而f(1)=0，所以f(x0)0)，求导后，再令g(x)=f(x)，分a=1和a1两种情况，讨论f(x)的单调性，即可得解本题主要考查了导数与单调性的应用，利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题8.【答案】D【解析】解：由题意可知，a0，x0，f(x)1a，可化为lna+lnxexa=exlna，即x+lnxexlna+xlna=exlna+lnexlna，令g(x)=x+lnx，其中x0，则g(x)=1+1x0，所以，函数g(x)在(0,+)上为增函数，由x+lnxexlna+lnexlna可得g(x)g(exlna)，则xexlna=exa，可得aexx，令(x)=exx，其中x0，则(x)=ex(x1)x2，当0x1时，(x)1时，(x)0，即函数(x)在(1,+)上递增，所以，a(x)min=(1)=e，即实数a的取值范围是(e,+)故选：D将已知不等式变形为x+lnxexlna+lnexlna，构造函数g(x)=x+lnx，其中x0，分析函数g(x)的单调性，可得出g(x)g(exlna)，进而可得xexlna=exa，由参变量分离法得出aexx，利用导数求出函数(x)=exx在(0,+)上的最小值，即可得出实数a的取值范围本题考查利用参变量分离法求解
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