1、2024-2025学年安徽省临泉县田家炳实验中学高三（下）4月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知z为纯虚数，且|2+z+3i|=2 5，则z=()A. 2 11B. 1或7C. i或7iD. i或7i2.已知向量a=(1,1+t)，b=(1t,2)，若ab，则t=()A. 13B. 13C. 3D. 33.直线y=kx+3与圆x2+(y1)2=1相交的充分不必要条件可以是()A. k23B. k22D. 0k0,b0)，过点P(2c,0)(2c为C的焦距)作直线l与C的一条渐近线平行，直线l与C交于A点，若点A到y轴的距离为3 55a，则C的离心率为()A. 3B. 5C. 52D. 1538.如图，这是一张圆形纸片，其半径R=2 3，剪掉周围的白色部分，将阴影部分折起，使得点Pi(i=1,2,6)重合于点P，得到正六棱锥PABCDEF，则该六棱锥体积的最大值是()A. 384 5125B. 192 5125C. 192 525D. 96 525二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有
2、多项符合题目要求。9.已知sin+cos=a，sincos=b(b0)，则()A. a2+b2=2B. cos2=abC. tan(+4)=abD. sin=a3+b342ab10.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2,BC=1,AA1= 3,ABC=120，则()A. 平面AB1C1平面A1B1BAB. AC1的长为 10C. 异面直线AC1与A1B1所成角的余弦值为 104D. 直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的表面积为37311.已知定义在R上的函数f(x)满足f(3x+2)是偶函数，且f(x+3)+f(x1)=0.当x1,2时，f(x)=axa2x14(a0且a1)，则()A. f(31)=12B. f(x)在区间6,7上是减函数C. f(x)在区间8,10上是减函数D. i=115|f(i)|=72三、填空题：本题共3小题，共15分。12.已知集合A=x|x+10，B=x|2xb0)的左、右焦点分别为F1( 5,0),F2( 5,0)，直线l与x轴的交点为M(3 5,0)，过点F1作F1Nl于点N，|F1N|=4，且F1N的中点P在椭圆C上，则椭圆C的方程为_四、
3、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)为了估计一个小池塘中鱼的条数m，池塘主人先从中打捞出20条鱼，做好记号后放回池塘，再从中打捞出10条鱼，发现有记号的鱼有4条(1)试估计m的值；(2)对于(1)中的估计值m，若在这m条鱼中，A种鱼有8条，从m条鱼中打捞出3条，用X表示其中A种鱼的条数，求X的分布列和数学期望16.(本小题15分)在直三棱柱ABCA1B1C1中，点D在AC上，AD=23AC，E是CC1上的一点，BAC=30，AB=BC=2 3，AA1=4(1)若E是CC1的中点，求证：B1E/平面A1BD(2)在下面给出的三个条件中任选一个，证明另两个正确：三棱锥EA1B1C1的体积是3 3；截面ABE将三棱柱ABCA1B1C1分成的两部分的体积的比为1：11；平面A1BE与平面ACC1A1所成角的余弦值为 104注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分17.(本小题15分)已知数列an的前n项和为Sn，a4=2a1，Snnan2=32(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=an+1(n+1)an，记数列bn的前n项和
4、为Tn，求证：Tn=n2(n+2)+i=1n1i+118.(本小题17分)已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，过点F作圆M：(x+2)2+y2=1的切线，一条切线长为2 2(1)求抛物线C的方程；(2)若P是圆M上的动点，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，若直线AB的斜率为6 55，求直线AB在x轴上的截距19.(本小题17分)已知函数f(x)=ln(x+1)x22x12，g(x)=(1k)x+1(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若存在x00，当x(0,x0)时，f(x)+g(x)12，求实数k的取值范围参考答案1.D2.A3.C4.D5.A6.C7.C8.B9.AD10.BCD11.CD12.x|1xlog2313.16514.x29+y24=115.解：(1)已知小池塘中鱼的条数为m，由分层随机抽样方法得20m=410，解得m=50；(2)由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，所以P(X=0)=C423C503=4170，P(X=1)=C422C81C503=123350，P(X=2)=C421C82C503=350，P(X=3)=C83C503=13
5、50，所以X的分布列为：X0123P41701233503501350所以E(X)=04170+1123350+2350+31350=122516.证明：(1)在ABC中，因为BAC=30，AB=BC=2 3，所以AC=2ABcos30=6，AD=23AC=4，因为AA1=4，所以ADA1是等腰直角三角形，则可得DA1C1=45，在A1C1上取点F，使C1F=2，因为C1E=2，所以EFC1是等腰直角三角形，则EFC1=45，所以A1D/EF，连接DF，易知四边形BDFB1为矩形，所以BD/B1F，因为EF，B1F平面A1BD，所以EF/平面A1BD，B1F/平面A1BD，又因为EFB1F=F，EF，B1F平面B1EF，所以平面B1EF/平面A1BD，因为B1E平面B1EF，所以B1E/平面A1BD；(2)选证明正确，三棱锥EA1B1C1的体积为：V1=13SA1B1C1C1E=13126 3C1E= 3C1E=3 3，得C1E=3，所以CE=43=1，则三棱锥EABC的体积V2=13SABCCE=13126 31= 3，而三棱柱ABCA1B1C1的体积V=SABCAA1=126 34
6、=12 3，则V2VV2= 312 3 3=111，所以正确，由余弦定理可得B1F= B1C12+FC122B1C1FC1cos30=2，因为A1B1=2 3,AF=4，所以B1F2+A1B12=A1F2，所以A1B1B1F，又因为BB1平面A1B1C1，所以建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0,0,0),A1(2 3,0,0),B(0,0,4),E( 3,3,3)，设AC的中点为M，则M( 32,32,4)，所以A1B=(2 3,0,4)，A1E=(3 3,3,3)，设平面A1BE的法向量为m=(x,y,z)，则A1Bm=0A1Em=0，即2 3x+4z03 3x+3y+3z=0，取z= 3，可得m=(2, 3, 3)，易知平面ACC1A1的一个法向量为BM=( 32,32,0)，设平面A1BE与平面ACC1A1所成角为，则cos=|BMm|BM|m|=| 33 32| ( 32)2+(32)2 22+( 3)2+( 3)2= 104，所以正确，选证明正确，三棱柱ABCA1B1C1的体积V=SABCAA1=126 34=12 3，三棱锥EABC的体积V1=13SABCCE=131
7、26 3CE= 3CE，由V1VV1=111，得V1=112V，所以 3CE=11212 3，得CE=1，所以C1E=41=3，所以三棱锥EA1B1C1的体积为：V2=13SA1B1C1C1E=13126 3C1E= 3C1E=3 3，所以正确，的正确性，前面已证，此处略，选证明正确，由前面解法中，建立空间直角坐标系，则B1(0,0,0),A1(2 3,0,0),B(0,0,4)，设E( 3,3,a)，AC的中点为M，则M( 32,32,4)，所以A1B=(2 3,0,4)，A1E=(3 3,3,a)，设平面A1BE的法向量为m=(x,y,z)，则A1Bm=0A1Em=0，即2 3x+4z03 3x+3y+az=0，取z= 3，可得m=(2,a6 3, 3)，易知平面ACC1A1的一个法向量为BM=( 32,32,0)，设平面A1BE与平面ACC1A1所成角为，则cos=|BMm|BM|m|=| 3+32a6 3| ( 32)2+(32)2 22+( 3)2+(a6 3)2= 104，即|a8| 7+(a6 3)2= 102，解得a=33(舍去)或a=3，所以三棱锥EA1B1C1的体积V1=13SA1B1C1C1E=13126 3C1E= 3C1E=3 3，所以正确，又三棱锥EABC的体积V2=13SABCCE=13126 31= 3，而三棱柱ABCA1B1C1的体积V=SABCAA1=126 34=12 3，则V2VV2= 312 3 3=111，所以正确17.解：(1)数列an的前n项和为Sn，a4=2a1，Snnan2=32，由Snnan2=32得2Sn=n(an+3)，所以2Sn+1=(n+1)(an+1+3)由得2an+1=(n+1)an+1nan+3，即(n1)an+1=nan3，所以nan+2=(n+1)an+13由整理得an+2+an
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