1、2025年广西桂林市高考数学第一次跨市联考试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知|1+i|2z=3+4i，则z的虚部为()A. 32iB. 32C. 2iD. 22.已知各项均为正数的等比数列an，a7=4，则log2a3+log2a11=()A. 2B. 3C. 4D. 53.巴黎奥运会在2024年7月27日至8月12日举行，在这期间，中国视听大数据(CVB)显示，直播总观看户次超46亿，分天观看户次(亿)分别为：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08.则这组数据的第25百分位数为()A. 2.03B. 2.21C. 2.12D. 3.554.已知直线l的一个方向向量为a=(2,1)，则过点A(1,1)且与l垂直的直线方程为()A. x2y3=0B. x2y+1=0C. 2x+y3=0D. 2x+y1=05.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，BAD=BA
2、A1=DAA1=60，则直线DC1，B1C所成角的余弦值为()A. 216B. 76C. 314D. 3 21146.“xR，使ax24x30”的一个充分不必要条件是()A. a0B. a43C. a1D. a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与E的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若2F2A=AB，OAAB，则E的离心率为()A. 2B. 3C. 5D. 1028.函数f(x)=ln|1x|+ex22x，若a=f(23)，b=f(32)，c=f(log23)，则a，b，c的大小关系是()A. cbaB. bcaC. abcD. bac二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知(2x1x)n的二项式系数和为64，则()A. n=6B. 常数项是第3项C. 二项式系数最大值为20D. 所有项系数之和等于110.已知数列an满足a1=12，an+1=an2an+3，nN，则()A. a3=126B. 若1a1+1a2+1a3+1an=36，则n=3C. an=3n1D. 若数列bn满足bn3n=anan+1，记Sn为bn的前
3、n项和，则Sn=14123n+1211.已知抛物线E：x=14y2的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为M，过F的直线与E分别交于A，B两点，则以下选项正确的是()A. F坐标为(1,0)B. 当MAMB时，|AB|=4C. 若|AF|BF|=16，则SMAB=8 2D. 过点F作与AB垂直的直线与E交于C、D两点，则四边形ACBD面积的最小值为32三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=(1,2),b=(3,2)，则b在a上的投影向量为_(用坐标表示)13.已知正四面体PABC中，AB=2 3，则该四面体内半径最大的球的表面积为_14.已知函数fn(x)=sinnx+cosnx，其中n=2k，kN，记函数f2k(x)的最小值为ak，若0，kN，都有22t+2ak(2k1)，则t的取值范围为_四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2=(a+c)2ac(1)求B；(2)若b=3，求ABC的周长的最大值；(3)若ABC的面积为 3，D为AC的中点，且|AC
4、|=2 3，求BD的长16.(本小题15分)某所学校进行知识竞赛，最终甲乙同学进入决赛，争夺冠军，决赛一共有文化、科技、体育三个项目，比赛采取每个项目中回答对问题多的那个同学在该项目获胜并且获得20分，没获胜的同学得0分，三个项目比赛结束，总得分高的同学获得冠军，已知甲同学每个项目获胜的概率分别为45,12,23，比赛没有平局，且每个项目比赛相互独立(1)求乙同学总得分为40分的概率；(2)用X表示甲同学的总得分，求X的分布列与期望；(3)判断甲乙两名同学谁获得冠军的概率大17.(本小题15分)如图，梯形ABCD中，O为DC上一点，AB=2，AD=2，AO=2 3，且AOAD，AO/BC，将DAO沿着AO翻折至PAO所在位置，使得平面PAO平面ABCO，连接PB，PC，得到四棱锥PABCO，E为PB的中点 (1)若F为AO的中点，证明：EF/平面POC；(2)在线段PC上是否存在点M，使得OMAB，若存在，求直线BM与平面PAO所成角的正弦值，若不存在，请说明理由18.(本小题17分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)，F为C的右焦点，短半轴长为1，A为C上动点，|AF|的最
5、小值为2 3(1)求C的方程；(2)已知点M( 3,1)，点P为C外一点，直线PF交C于Q，R两点，(i)O为原点，若|OQ+OR|=|OQOR|，求直线PF的方程；(i)记直线MQ，MR，MP的斜率分别为k1，k2，k3，若k1k2k3k2=2，求PFM的面积19.(本小题17分)对x1，x2，xna,b，若函数f(x)在a,b有不等式f(x1+x2+xnn)f(x1)+f(x2)+f(xn)n，则称函数f(x)是在a,b上的“凹函数”，反之，若不等式f(x1+x2+xnn)f(x1)+f(x2)+f(xn)n，则称函数f(x)是在a,b上的“凸函数”，当且仅当x1=x2=xn时等号成立.也可理解为若函数f(x)在a,b上可导，f(x)为f(x)在a,b上的导函数，f(x)为f(x)在a,b上的导函数，当f(x)0时，函数f(x)是在a,b上的“凹函数”，反之，当f(x)0时，则称函数f(x)是在a,b上的“凸函数”(1)判断函数f(x)=ln(x+1)x(x0)的凹凸性；(2)若xi0(i=1,2,n),i=1nxi=1,令(x)=x1 1x1+x2 1x2+xn 1xn(n2)，
6、求(x)的最小值an；(3)an为(2)问所得结果，证明不等式：(n1)an2415，所以甲获胜概率更大17.(1)证明：在梯形ABCD中，AO/BC，所以四边形ABCO是平行四边形，所以BC=AO=2 3，取PC的中点G，连接EG，OG，因为E是PB的中点，所以EG/BC，EG=12BC，又AO/BC，且F为AO的中点，所以EG/OF，EG=OF，即四边形EFOG是平行四边形，所以EF/OG，又EF平面POC，OG平面POC，所以EF/平面POC(2)解：翻折前AOAD，BAO=AOD=6，翻折后PAAO，因为平面PAO平面ABCO，平面PAO平面ABCO=AO，PA平面PAO，所以PA平面ABCO，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B( 3,1,0)，C(3 3,1,0)，P(0,0,2)，O(2 3,0,0)，所以PC=(3 3,1,2)，OP=(2 3,0,2)，AB=( 3,1,0)，BP=( 3,1,2)，设PM=PC=(3 3,1,2)，0,1，则OM=OP+PM=(3 32 3,22)，因为OMAB，所以OMAB= 3(3 32 3)+=0，
7、解得=35，所以PM=35(3 3,1,2)，所以BM=BP+PM=(4 35,25,45)，易知平面PAO的一个法向量为n=(0,1,0)，设直线BM与平面PAO所成角为，则sin=|cos|=|BMn|BM|n|=|25| 4825+425+16251= 1717，故直线BM与平面PAO所成角的正弦值为 171718.解：(1)设椭圆半焦距为c，短半轴长为1，依题意有|AF|min=ac=2 3，则ac=2 3b=1a2=b2+c2，解得a=2c= 3，所以椭圆方程为x24+y2=1(2)(i)由(1)可得椭圆右焦点F( 3,0)，则设直线PF的方程为x=my+ 3，联立x=my+ 3x24+y2=1，消去x得(m2+4)y2+2 3my1=0，设点Q(x1,y1)，R(x2,y2)，则y1+y2=2 3mm2+4,y1y2=1m2+4，因为|OQ+OR|=|OQOR|，所以(OQ+OR)2=(OQOR)2，化简得OQOR=0，所以x1x2+y1y2=0，即(m2+1)y1y2+ 3m(y1+y2)+3=0，即(m2+1)m2+46m2m2+4+3=0，解得m= 112，则直线PF的方程为：x+ 112y
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