1、2025年湖北省宜昌市远安第一高级中学高考数学模拟试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x|log2x1，B=x|x0)的焦点为F，点M(x0,4)在抛物线上，点M到点F的距离与到直线y=p2的距离相等，则p=()A. 1B. 2C. 3D. 46.已知函数f(x)=ex1,x01ex,x0，则f(2x)+f(x3)0的解集是()A. (,1)B. (1,+)C. (,3)D. (3,+)7.已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4，则圆台上下底面面积之差的绝对值为()A. B. 2C. 4D. 88.已知02，则()A. sinsinB. tantanC. sin二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在二项式(1 x+ x2)n的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是()A. n=8B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为128C. 常数项为116D. 展开式中系数最大项为第3项和第4项10.已知F1，F2分别是椭圆C：x24+y23=1的
2、左、右焦点，O为坐标原点，P为C上异于左、右顶点的一点，H是线段PF2的中点，则()A. |OH|+|HF2|=2B. |OH|1C. OHF2内切圆半径的最大值为 36D. HF1F2外接圆半径的最小值为111.已知递增数列an的各项均为正整数，且满足aan=3n，则()A. aa1=3B. annC. a5=6D. a2025=81a25三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为_.(用数字作答)13.函数f(x)=|sinx|+cosx的最小值为_14.已知正四面体ABCD的棱长为2 2，动点P满足PA2+PB2=PC2+PD2，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为_四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为78，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为12.已知输入的问题表达不清晰的概率为15(1)求智能客服的回答被采纳的概率；(2)在某次
3、测试中输入了3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数.求X的分布16.(本小题15分)如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2，点P在线段BE上(1)求证：平面ACP平面ABF；(2)当直线AP与平面BCE所成角的正弦值为3 2114时，求BPPE17.(本小题15分)已知双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的离心率为 2，O为坐标原点，过C的右焦点的直线l交C的右支于P，Q两点，当lx轴时，|PQ|=2 2(1)求C的方程；(2)过P作直线x=1的垂线，垂足为N(i)证明：直线QN过定点；(ii)求OQN面积的最小值18.(本小题17分)已知a，bR，函数f(x)=exa xbx，x0,+)(1)当a=0时，求f(x)的极值；(2)若f(x)存在零点(i)当b=0时，求a的取值范围；(ii)求证：a2+b2219.(本小题17分)如图，已知给定线段B1C1长为2，以B1C1为底边作顶角为(090)的等腰三角形A1B1C1，取A1B1C1的腰A1B1的三等分点B2，C2(B2靠近A1)，以B2C2为底边向A1B1C1外部作
4、顶角为的等腰三角形A2B2C2依次类推，取An1Bn1Cn1的腰An1Bn1的三等分点Bn，Cn(Bn靠近An1)，以BnCn为底边向An1Bn1Cn1外部作顶角为的等腰三角形AnBnCn(n2)，得到三角形列AnBnCn. (1)用表示出A2B2C2的外接圆半径；(2)当=60时，证明：AnBnCn各顶点均在A1B1C1外接圆上或其内部；(3)若AnBnCn各顶点均在A1B1C1外接圆上或其内部，求cos的取值范围参考答案1.B2.A3.B4.C5.B6.A7.B8.D9.ABD10.ACD11.ABD12.3013.114.215.解：(1)根据题意，设A=“输入的问题表达清晰”，事件B=“智能客服的回答被采纳”，则P(A)=15，则P(A)=115=45，P(B|A)=78，P(B|A)=12，故P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=4578+1512=45，(2)根据题意，X可取的值为0、1、2、3，则XB(3,45)，则P(X=0)=C30(145)3=1125，P(X=1)=C3045(145)2=12125，P(X=2)=C30(45)2(145)=481
5、25，P(X=3)=C30(45)3=64125，故X的分布为：X0123P112512125481256412516.解：(1)证明：由正方形ADEF有AFAD，又平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCD=AD，所以AF平面ABCD，又AC平面ABCD，所以AFAC，过点A作AHBC，则BH=1，AH= 3，CH=3，所以AC=2 3，所以AB2+AC2=BC2，即ACAB，又ABAF=A，所以AC平面ABF，又AC平面ACP，所以平面ACP平面ABF；(2)由(1)知AF，AB，AC两两互相垂直，分别以AB，AC，AF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图：则有A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2 3,0)，E(1, 3,2)，设BPPE=(01)，则BP=PE，设P(a,b,c)，则有(a2,b,c)=(1a, 3b,2c)，解得a=21+，b= 31+，c=21+，得P(21+, 31+,21+)；所以BC=(2,2 3,0)，BE=(3, 3,2)，AP=(21+, 31+,21+)，设平面BCE的法向量为n=(x,y,z)，则有nBC=2x+
6、2 3y=0nBE=3x+ 3y+2z=0，令y=1，得n=( 3,1, 3)，设直线AP与平面BCF所成角为，所以sin=|cos|=|APn|AP|n|=|2 3(1+)1+ 824+4(1+)2 7|=| 3(1+) 1427+7|=3 2114，解得=12或=57，所以BPPE=12或5717.解：(1)由题设ca= 2且a2+b2=c2，则a=b,c= 2a，由lx轴时，|PQ|=2 2，不妨令P( 2a, 2)，代入双曲线得2a2a22b2=1，所以a2=b2=2，则所求方程为x22y22=1；(2)(i)证明：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则N(1,y1)，由l斜率不为0，设l：x=my+2，联立双曲线并整理得(m21)y2+4my+2=0，则m210，=8m2+80，所以y1+y2=4mm21，y1y2=2m21，由x21，直线NQ：y=y2y1x21(x1)+y1，根据双曲线的对称性，直线NQ所过定点必在x轴上，令y=0，则y2y1x21(x1)+y1=0x=y2y1x2y2y1，因为x2=my2+2，所以x=y2my1y22y1y2y1，而y1+y2y1y2
7、=2my1+y22=my1y2，则x=y2+y1+y222y1y2y1=32，所以NQ过定点M(32,0)；由SOQN=12|OM|y1y2|=34 (y1+y2)24y1y2=3 22 m2+1(m21)2，由(i)，m2108(m2+1)0y1y2=2m210，可得0m21时，x0,lnb)，f(x)0，函数f(x)单调递增，函数f(x)的极小值是bblnb，无极大值(2)(i)当b=0时，因为函数f(x)存在零点，故ex=a x有解，若x=0，此时无解，所以x0，g(x)=exa x有解，g(x)=exa2 x=2ex xa2 x，若a0，g(x)单调递增，g(x)g(0)=1，此时不存在零点；若a0，令(x)=2ex xa，(0)=a0，由零点存在定理可知存在x0(0,a2)，(x0)=0，所以g(x)在(0,x0)上为减函数，在(x0,+)上为增函数，故g(x)min=ex0a x0=a2 x0a x00，解得x012，故a 2e12= 2e，即a的取值范围是 2e,+)(ii)证明：因为函数f(x)存在零点，所以f(x)=exa xbx有解x0，其中x00，若x0=0，则1a0b0=0，该式不成立，故x00故a x0+bx0ex0=0，考虑直线a x0+bx0ex0=0， a2+b2表示原点与直线a x0+bx0ex0=0上的动点(a,b)之间的距离， a2+b2ex0 x02+x0，所以a2+b2e2x0x02+x0，x00时，要证a2+b22，只需证e2x0x02+x02，即证e2x02x022x00，令g(x)=e2x2x22x，x0，则g(x)=2e2x4x2=2(e2x2x1)，令(x)=(e2x2x1)，x0，故(x)=2(
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