5道微分方程计算练习题及答案B2

1、5道微分方程计算练习题及答案1.二阶常微分方程56y-195y=0的通解主要内容：本文通过一阶微分方程分离变量法、一阶齐次微分方程和二阶常系数微分方程通解计算，介绍二阶常微分方程56y-195y=0通解的计算步骤。主要步骤：.分离变量法由56y=195y有：56d(y)=195ydx=195dx,两边同时积分有：56=195dx，即：56d(lny)=195dx，56lny=195x+C0,对方程变形有：=e=C1e,再次积分可有：dy=C1，即：y=C1*=C1e+C2。.一阶齐次微分方程求解因为56 (y)-195y=0，即：(y)-y=0，按照一阶齐次微分方程公式有：y=e*(+C0)，进一步化简有：y=C0e，继续对积分可有：dy=C0，即：y=C0*=C1e+C2。.二阶常系数微分方程求解该微分方程的特征方程为56r2-195r=0，即：r(56r-195)=0，所以r1=，r2=0。此时二阶常系数微分方程的通解为：y=C1er1x+C2er2x=C1e+C2。2.微分方程y=的通解计算步骤主要内容：本文通过换元法，介绍计算微分方程y=的通解的计算过程。主要过程：根据题意有：

2、=，=.设=u，即y=xu，求微分为dy=udx+xdu,有：=u+x，代入微分方程有：u+x=,x=-u,微分方程右边通分得到：x=，x=-，=-,两边同时取积分得：=-,=-，=-ln|x|，ln|14u2+14u-10|+ln|x|=c1，x=ec1，x2(7u2+7u-5)=C，将u=代入方程得微分方程的通解为：x27()2+7-5=C,7y2+7xy-5x2=C。3.微分方程y+25y=8x+4sin6x通解的计算主要内容：根据二阶常系数非齐次线性方程的求解法则，介绍计算微分方程y+25y=8x+4sin6x通解的计算。解：微分方程y+25y=8x+4sin6x的特征方程为：r2+25=0，即：r=5i，则二阶常系数齐次线性微分方程y+25y=0的通解y1为：y1=C1cos5x+C2sin5x.y+25y=8x+4sin6x设所求微分方程的特解y2=a3x+a4cos6x+a5sin6x,则：y=a3-6a4sin6x+6a5cos6x,y=-36a4cos6x-36a5sin6x,代入微分方程得：-36a4cos6x-36a5sin6x+25a3x+25a4cos6x+2

3、5a5sin6x=8x+4sin6x，25a3x+(25-36)a4cos6x+(25-36)a5sin6x=8x+4sin6x，根据对应系数相等，得：25a3=8，a4=0，(25-36)a5=4,解出：a3=，a4=0，a5=-，所以微分方程的通解为：y=y1+y2=C1cos5x+C2sin5x+x-sin6x。4.微分方程y=(10x6-6)y7的计算主要内容：本文通过分离变量微分方程计算法，介绍微分方程y=(10x6-6)y7的主要计算步骤。主要步骤：因为y=(10x6-6)y7，所以=(10x6-6)y7,由微分方程分离变量计算有：=(10x6-6)dx,两边同时取积分，有：=-=10-6-=*x7-6x+C1，两边同时乘以42，则有：-7*y(-6)=60x7-42x+C将方程变形为：y6(60x7-42x+C)+7=0。5. 求微分方程(17x3+2y3)dx-12xy2dy=0的通解主要内容：本题主要通过微分方程的齐次方程通解计算方法，以及换元、分离变量等知识，介绍计算微分方程(17x3+2y3)dx-12xy5dy=0的通解步骤。主要步骤：解：对微分方程进行变形，同时除以xy有：17*()5+2*-12dy=0，设=u,则y=xu，求导有：dy=udx+xdu，代入方程有：(+2u)dx-12dy=0，(+2u)dx-12(udx+xdu)=0,(-10u)dx=12xdu,进一步对上述方程变形有：=-,两边同时积分有：=-,=-ln|x|+C1,ln(10u3-17)+ln|x|=C1,根据对数知识，上述函数化简为：x5*(10u3-17)2=C,再将u=代入有：(10y3-17x3)2=Cx,即为本题微分方程的通解。

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