5道微分方程计算练习题及答案B9

1、5道微分方程计算练习题及答案1.求微分方程(32x2+23y2)dx-47xydy=0的通解主要内容：本题主要通过微分方程的齐次方程通解计算方法，以及换元、分离变量等知识，介绍计算微分方程(32x2+23y2)dx-47xydy=0的通解步骤。主要步骤：解：对微分方程进行变形，同时除以xy有：(32*+23*)-47dy=0，设=u,则y=xu，求导有：dy=udx+xdu，代入方程有：(+23u)dx-47dy=0，(+23u)dx-47(udx+xdu)=0,(-24u)dx=47xdu,进一步对上述方程变形有：=-,两边同时积分有：=-,=-ln|x|+C1,ln(24u2-32)+ln|x|=C1,根据对数知识，上述函数化简为：x48*(24u2-32)47=C,再将u=代入有：(24y2-32x2)47=Cx46,即为本题微分方程的通解。2.已知曲线y=f(x)上任意一点处切线的斜率为10x+2y,且曲线过原点求函数y。解：根据导数的几何意义有：y =10x+2y,即：y -2y=10x,利用一阶非齐次线性微分方程的通解公式得：y=(+C),=(10+C),=-5+C,=(-

2、5x+5+C),=-5x-+C,=(-5x-+C),由于曲线经过原点，则x=0时，y=0，代入得：y=0=1*(0-+C)，即C =。所以函数y的特解为：y=(-5x-+)=-5x-+。3.微分方程y=的通解计算步骤主要内容：本文通过换元法，介绍计算微分方程y=的通解的计算过程。主要过程：根据题意有：=，=.设=u，即y=xu，求微分为dy=udx+xdu,有：=u+x，代入微分方程有：u+x=,x=-u,微分方程右边通分得到：x=，x=-，=-,两边同时取积分得：=-,=-，=-ln|x|，ln|7u2+32u-5|+ln|x|=c1，x=ec1，x2(7u2+32u-5)=C，将u=代入方程得微分方程的通解为：x27()2+32-5=C,7y2+32xy-5x2=C。4.计算微分方程y=的通解主要内容：根据一阶线性非齐次微分方程的通解计算公式，介绍微分方程y= 的通解的主要计算步骤。主要步骤：变形微分方程为非齐次方程如下：=,化简变形如下：-=-,以x应用一阶线性非齐次微分方程的通解，用公式如下：x=(+C)=(+C)=(+C)=(+C)=(-+C)=(-+C)=-+C。即为本题所求微分方程的通解。5.求解微分方程25x2+7x-y=0的通解主要步骤：解：根据题意，由不定积分分离变量法有：25x2+7x-y=0，25x2+7x=y，即：25x2+7x=,对微分方程变形有：(25x2+7x)dx=dy,两边同时对x积分有：=,x3+x2=y+C1,所以：y=x3+x2+C.

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