5道微分方程计算练习题及答案B8

1、5道微分方程计算练习题及答案1.已知曲线y=f(x)上任意一点处切线的斜率为20x+8y,且曲线过原点求函数y。解：根据导数的几何意义有：y =20x+8y,即：y -8y=20x,利用一阶非齐次线性微分方程的通解公式得：y=(+C),=(20+C),=-+C,=(-x+C),=-x-+C,=(-x-+C),由于曲线经过原点，则x=0时，y=0，代入得：y=0=0-+C，即C=。所以函数y的特解为：y=(-x-+)=-x-+。2.微分方程y+25y=10x+2sin9x通解的计算主要内容：根据二阶常系数非齐次线性方程的求解法则，介绍计算微分方程y+25y=10x+2sin9x通解的计算。解：微分方程y+25y=10x+2sin9x的特征方程为：r2+25=0，即：r=5i，则二阶常系数齐次线性微分方程y+25y=0的通解y1为：y1=C1cos5x+C2sin5x.y+25y=10x+2sin9x设所求微分方程的特解y2=a3x+a4cos9x+a5sin9x,则：y=a3-9a4sin9x+9a5cos9x,y=-81a4cos9x-81a5sin9x,代入微分方程得：-81a4co

2、s9x-81a5sin9x+25a3x+25a4cos9x+25a5sin9x=10x+2sin9x，25a3x+(25-81)a4cos9x+(25-81)a5sin9x=10x+2sin9x，根据对应系数相等，得：25a3=10，a4=0，(25-81)a5=2,解出：a3=，a4=0，a5=-，所以微分方程的通解为：y=y1+y2=C1cos5x+C2sin5x+x-sin9x。3.计算微分方程y=的通解主要内容：根据一阶线性非齐次微分方程的通解计算公式，介绍微分方程y= 的通解的主要计算步骤。主要步骤：变形微分方程为非齐次方程如下：=,化简变形如下：-=-,以x应用一阶线性非齐次微分方程的通解，用公式如下：x=(+C)=(+C)=(+C)=(+C)=(-+C)=(-+C)=-+C。即为本题所求微分方程的通解。4.微分方程28ydx+(4x2-9x)dy=0的通解计算主要步骤：解：由微分方程的分离变量积分法来求通解。因为28ydx+(4x2-9x)dy=0，所以(4x2-9x)dy=-28ydx，即：(4x2-9x)=-28y，进一步变形为：=28,两边同时对x积分得：=28=28,ln|y|=(-),右边进一步积分得：9ln|y|=28+C1,9ln|y|=28+lnC,所以该微分方程的通解为：y9=C()28.5.求解微分方程17x2+4x-6y=0的通解主要步骤：解：根据题意，由不定积分分离变量法有：17x2+4x-6y=0，17x2+4x=6y，即：17x2+4x=6,对微分方程变形有：(17x2+4x)dx=6dy,两边同时对x积分有：=6,x3+2x2=6y+C1,所以：y=x3+x2+C.

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