5道微分方程计算练习题及答案B1

1、5道微分方程计算练习题及答案1.微分方程y=(9x5-6)y3的计算主要内容：本文通过分离变量微分方程计算法，介绍微分方程y=(9x5-6)y3的主要计算步骤。主要步骤：因为y=(9x5-6)y3，所以=(9x5-6)y3,由微分方程分离变量计算有：=(9x5-6)dx,两边同时取积分，有：=-=9-6-=*x6-6x+C1，两边同时乘以4，则有：-2*y(-2)=6x6-36x+C将方程变形为：y2(6x6-36x+C)+2=0。2.已知曲线y=f(x)上任意一点处切线的斜率为7x+10y,且曲线过原点求函数y。解：根据导数的几何意义有：y =7x+10y,即：y -10y=7x,利用一阶非齐次线性微分方程的通解公式得：y=(+C),=(7+C),=-+C,=(-x+C),=-x-+C,=(-x-+C),由于曲线经过原点，则x=0时，y=0，代入得：y=0=1*(0-+C)，即C =。所以函数y的特解为：y=(-x-+)=-x-+。3.二阶常微分方程123y-151y=0的通解主要内容：本文通过一阶微分方程分离变量法、一阶齐次微分方程和二阶常系数微分方程通解计算，介绍二阶常微分方程1

2、23y-151y=0通解的计算步骤。主要步骤：.分离变量法由123y=151y有：123d(y)=151ydx=151dx,两边同时积分有：123=151dx，即：123d(lny)=151dx，123lny=151x+C0,对方程变形有：=e=C1e,再次积分可有：dy=C1，即：y=C1*=C1e+C2。.一阶齐次微分方程求解因为123 (y)-151y=0，即：(y)-y=0，按照一阶齐次微分方程公式有：y=e*(+C0)，进一步化简有：y=C0e，继续对积分可有：dy=C0，即：y=C0*=C1e+C2。.二阶常系数微分方程求解该微分方程的特征方程为123r2-151r=0，即：r(123r-151)=0，所以r1=，r2=0。此时二阶常系数微分方程的通解为：y=C1er1x+C2er2x=C1e+C2。4.微分方程y=的通解计算步骤主要内容：本文通过换元法，介绍计算微分方程y=的通解的计算过程。主要过程：根据题意有：=，=.设=u，即y=xu，求微分为dy=udx+xdu,有：=u+x，代入微分方程有：u+x=,x=-u,微分方程右边通分得到：x=，x=-，=-,两边同时取积

3、分得：=-,=-，=-ln|x|，ln|6u2+10u-1|+ln|x|=c1，x=ec1，x2(6u2+10u-1)=C，将u=代入方程得微分方程的通解为：x26()2+10-1=C,6y2+10xy-x2=C。5.微分方程y+100y=6x+9sin9x通解的计算主要内容：根据二阶常系数非齐次线性方程的求解法则，介绍计算微分方程y+100y=6x+9sin9x通解的计算。解：微分方程y+100y=6x+9sin9x的特征方程为：r2+100=0，即：r=10i，则二阶常系数齐次线性微分方程y+100y=0的通解y1为：y1=C1cos10x+C2sin10x.y+100y=6x+9sin9x设所求微分方程的特解y2=a3x+a4cos9x+a5sin9x,则：y=a3-9a4sin9x+9a5cos9x,y=-81a4cos9x-81a5sin9x,代入微分方程得：-81a4cos9x-81a5sin9x+100a3x+100a4cos9x+100a5sin9x=6x+9sin9x，100a3x+(100-81)a4cos9x+(100-81)a5sin9x=6x+9sin9x，根据对应系数相等，得：100a3=6，a4=0，(100-81)a5=9,解出：a3=，a4=0，a5=，所以微分方程的通解为：y=y1+y2=C1cos10x+C2sin10x+xsin9x。

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