1、苏科版初中数学七年级下册第11章一元一次不等式知识拓展与归纳01不等式的概念现实世界中的同类量，如长度与长度，时间与时间之间，有相等关系，也有不等关系我们知道，相等关系可以用“”表示，不等关系用什么符号来表示呢？不等号“”是表示“不相等”关系的符号，叫做不等号“”和“”的意义相反，在数学里也是经常用到的，例如a1a5此外，“、”表示“大于”和“小于”，例如53，20，ab，mn人们在表达不等量关系时，常把等式作为不等式的特殊情况来处理在许多场合下，要用到一个数（或量）大于或等于另一个数（或量）的情况，可以把“”“”这两个符号有机地结合起来，得到符号“”，读作“大于或等于”，有时也称为“不小于”同样，把符号“”读作“小于或等于”，有时也称为“不大于”例如，某天最低气温5，最高气温12换句话说，这一天的气温不低于5，不高于12如果用t代表那天的气温，上面的关系可表示为：5t12表面看来，两个符号和好像差不多，其实是有区别的同样，“”也有类似的情况因此，有人把形如ab，ba这样的不等式叫做严格的不等式，把形如ab，ba这样的不等式叫做非严格不等式现代数学中又用符号“”表示“不小于”，用“”表
2、示“不大于”有了这些符号，在表示不等量关系时，就非常得心应手了02不等式的定义用不等号（、）表示不等关系的式子叫不等式，记作f(x)g(x)，f(x)g(x)等等 用“”或“”号联结的不等式叫严格不等式；用“”或“”号联结的不等式叫非严格不等式03同向不等式、异向不等式对于两个不等式，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的两个不等式叫同向不等式如f(x)g(x)与S(x)T(x)是同向不等式，f(x)g(x)与S(x)T(x)也是同向不等式对于两个不等式，如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式叫异向不等式如f(x)g(x)与S(x)T(x)是异向不等式，f(x)g(x)与 S(x)T(x)也是异向不等式04绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式绝对不等式：如果不论用什么实数代替不等式中的字母，它都能够成立，这样的不等式叫绝对不等式条件不等式：如果只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母，它才能够成立，这样的不等式叫条件不等式矛盾不等式：如果不论用什么样的实数值代替不等式中的字母，不等式都不能成立，这样的不等式叫矛盾不等式如：a8a
3、1，a21为绝对不等式；3x52x6为条件不等式（只有当x1时不等式才能成立）；a26称为矛盾不等式05关于ab和ab的含义不等式ab应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“或者ab，或者ab”，等价于“a不大于b”，即若ab或ab之中，有一个正确，则ab正确不等式ab应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“或者ab，或者ab”，等价于“a不小于b”，即若ab或ab之中，有一个正确，则ab正确06不等式的三条基本性质不等式基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变（即原来较大的一边仍然较大，原来较小的一边仍然较小）不等式基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（即原来较大的一边仍然较大，原来较小的一边仍然较小）不等式基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变（即原来较大的一边反而较小，原来较小的一边反而较大）07不等式的解集观察x2和x2，容易看出，前者的解只有一个，即“2”，而后者的解是“大于2的一切数”，它有无限多个，事实上，随便说出一个比2大的数如3，4，5，6，10，100，1000等等，把它代
4、入x2中，都能使这不等式成立一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集为了直观地说明不等式的解是由无限多个数所组成的，可以利用数轴表示解集，如x2可以表示成下图的形式10123即表示2的点的右边的部分，显然x2的解，已经不只是一个数，而是那些大于2的所有数的集合因此，方程的解与不等式的解是不同的，一般地说，方程的解是确定的一个（或几个）数值，而不等式的解集是一个数值范围，它的数值可以有无数多个不等式解集的表示方法：（1）用不等式表示；（2）用数轴表示08不等式axb的解集的情况（1）若a0，则x（2）若a0，则x（3）若a0，则（i）b0时，0xb0，不等式无解（ii）b0时，0xb，不等式的解x为任意实数09跷跷板与不等式游乐场里的跷跷板，大个儿总是沉沉地压向一端，而小个儿总是被抬到高处，这与数学里的不等式是多么相像！游泳班的8个孩子，这时也在游乐场里玩跷跷板他们之中，有5个女孩子，3个男孩子女孩子的体重都是25 kg，男孩子的体重都是30kg他们要在跷跷板上比个高低，女孩子坐左边，男孩子坐右边只见女孩子坐上去一个，那边男孩子上去一个又
5、给压了下来连续3个女孩子坐在左边板上，3个男孩子那边又沉沉地压下来这时第4个女孩子再坐上去，左边胜利了，还剩一个女孩子没有机会再上去了正在这时，从别处跑来一个男孩子，他向着那3个男孩子，说：“我来帮你们”于是，第5个女孩子又上了左边，新来的男孩子上了右边，果然，男孩子这边反败为胜女孩子们不高兴了，说：“你太偏向了”于是，他们之间达成了一个协议：女孩子们下去3个，然后，这个男孩子坐在左边，与女孩子们在一道这样一变换阵式，却并没有改变女孩子们的境遇，那3个男孩子还是赢了试问：这个新来的男孩子的体重大概是多少？解答：假设：女孩子用y表示（体重为ykg）；男孩子用x表示（体重为xkg）；新来的男孩子用w表示（体重为wkg）那么，新男孩子来了以后，两次竞赛的结果可用两个不等式表示：5yw3x （1）w2y3x （2）由（1）式，得到：w5y3x （3）由（2）式，得到：w3x2y （4）由（3）式和（4）式，得到：5y3xw3x2y因为，x30kg，y25kg；所以，35kgw40kg新来的男孩子，他的体重在35kg到40kg之间10巧解一元一次不等式怎样才能正确而迅速地解一元一次不等式？现结合
6、实例介绍一些技巧，供参考1巧用乘法例1解不等式0.25x10.5分析：因为0.2541，所以两边同乘4要比两边同除以0.25来得简便解：两边同乘4，得x422巧用对消法例2解不等式16分析：因为，所以两边对消这一项可获得简解解：原不等式变为16，即16，故x243巧用分数加减法法则例3解不等式yy分析：注意到1可巧解本题解：移项，得yy，故 y14逆用分数加减法法则例4解不等式1解：原不等式化为（）（）1，整理，得0，即0，故x05巧用分数基本性质例5解不等式6.57.5分析：直接去分母较繁，观察发现本题有两个特点： 的分子、分母约去公因数2后，两边的分母相同；两个常数移项合并得整数解：原不等式为1，去分母，得46x0.01x0.01，即5x4，得x0.8例6解不等式分析：由分数基本性质，将分母化为整数和去分母一次到位可避免烦琐的运算解：原不等式为整理，得8x3025x412010x，即7x146，故x思考：例5可这样解吗？请不妨试一试6巧去括号去括号一般是内到外，即按小、中、大括号的顺序进行，但有时反其道而行之，即由外到内去括号往往能另辟捷径例7解不等式(1)2x2分析：注意到1，先
7、去中括号可明显地简化解题过程解：去括号得：13x2，即x6，故x87逆用乘法分配律例8解不等式278(x3)351(62x)463(3x)0分析：直接去括号较繁，注意到左边各项均含有因式x3，而逆用分配律可速解此题解：原不等式化为(x3)(2783512463)0，即 39(x3)0，故x38巧用整体合并例9解不等式32x13(2x1)35解：视2x1为一整体，去大、中括号，得3(2x1)9(2x1)95，整体合并，得6(2x1)14，即6x4，故 x9巧拆项例10解不等式30分析：将3拆为3个1，再分别与另三项结合可巧解本题解：原不等式变形为(1)(1)(1)0，即有：（x1）()0，得x10，故x111用口诀确定一元一次不等式组的解集口诀不等式组（ab）解集同大取大xa同小取小xb大小取中bxa两背为空空集用口诀确定一元一次不等式组的解集时，应当注意：1如果不等式组中有一个不等式的解集是空集，那么这个不等式组的解集也是空集；2“同大取大”是指x同时大于a和b，则取x大于a、b中较大的那一个数为解集“同小取小”的含义类似“大小取中”是指若x小于a、b中较大的，又大于a、b中较小的，这时，x取a、b之间的数为解集“两背为空”的含义是x大于a、b中较大的，同时x又小于a、b中较小的，这样的x是不存在，因此说此不等式组的解集是空集8
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