1、正比例学习目标1.结合“正方形的周长与边长，正方形的面积与边长，路程、时间与速度”等情境，经历正比例意义的建构过程，能从变化中看到“不变”，认识正比例。2.能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例，能举出生活中成正比例的实例，感受正比例在生活中的广泛应用。3.经历比较、分析、归纳等数学活动，提高分析比较、归纳概括能力，初步体会函数思想。编写说明学生已经学习过比和比例的有关知识，并结合具体情境体会了生活中常见的变量之间的关系，这些都为学生学习正比例奠定了基础。正比例在生活中有着广泛的应用，但对小学生来说正比例的意义的理解还是有一定难度的。因此，教科书密切联系学生已有的生活经验和学习经验，设计了系列情境，引导学生研究两个变量之间的关系，从变化中看到“不变”，经历从具体情境中抽象出正比例的过程。通过对具体问题的讨论，使学生初步理解正比例的意义，会根据正比例的特征，判断一些变量关系是否是正比例，体会正比例在生活中的广泛存在。下面是正方形周长与边长、面积与边长之间的变化情况，把表格填写完整，并说说你分别发现了什么。在前一节课“变化的量”的学习基础上，教科书提供了正方形周长与边长、面积
2、与边长两个表格，引导学生填表，观察分析正方形周长与边长、面积与边长之间的变化情况，发现每组中的两个量都在变化，而且两组变化有共同的特点，即“正方形的面积和周长都是随着边长的增加而增加的”。教科书选择这两个变量关系的例子，是学生熟悉的数学世界里的几何量之间的变化关系，是把学生已有的经验作为探究新知的基础。周长与边长、面积与边长之间的变化规律相同吗？在学生发现两组量的变化情况的基础上，引导学生发现两组量变化的不同点，从变化中发现“不变”，为理解正比例意义奠定基础。也就是要让学生认识到正方形的周长随边长的变化过程中，周长与边长的比值保持不变，而正方形面积随边长变化的过程中，面积与边长的比值也在变化。这是学生后续认识正比例的一个正例和一个反例，反例的存在有利于学生在对比中理解正比例的意义。一辆汽车以90千米/时的速度行驶，行驶的路程与时间如下。把下表填写完整，你从表中发现了什么？这是现实世界学生最熟悉的路程、时间与速度之间的数量关系。速度不变，就是路程随着时间变化而变化的过程中，路程与时间的比值保持不变，由此引入“路程与时间成正比例”，为学生理解正比例丰富了实例支撑。在上述两个情境讨论、发现的
3、基础上，教科书结合路程、时间与速度描述了正比例的意义，并让学生思考“在第1个问题中，正方形的周长与边长、面积与边长成正比例吗？”需要注意的是，根据小学生的年龄特征和学习特点，教科书没有给出抽象的正比例定义，而是给出了结合具体情境的描述性定义，因此，需要通过举一反三的方法，即通过一些实例来丰富对正比例的认识。本节教科书中提供了两个正例和一个反例，正是为了帮助学生认识正比例的意义。试一试在前面学生探索、初步理解正比例的基础上，“试一试”主要教学“根据正比例的意义，判断两个量是否成正比例”，关键是引导学生交流怎样思考和判断。圆的面积与半径成正比例吗？你是怎么想的？与同伴交流。引导学生用正比例的意义判断是否成正比例，关键是要让学生明白怎样去思考这样的问题。教科书呈现了学生可能出现的两种想法，第一种直接用公式想，第二种列个表通过举实际数据来试一试、想一想。这里要让学生学会第二种这样思考问题的方法。一是通过列举并用表格表示相关的两个变量之间的数值对应关系；二是计算两个变量每一对数值的比值；三是根据上述比值是否不变，来判断这两个变量是否成正比例。乐乐和爸爸的年龄变化情况如下，把表填写完整。他们的年龄
4、成正比例吗？为什么？乐乐和爸爸的年龄是否成正比例是反例，目的是加深学生对正比例意义的理解，克服思维定式：认为只要一个量随另一个量的增加而增加、减少而减少，两个量就成正比例。实际上，爸爸的年龄-乐乐的年龄=26，差相等，不成正比例。这样通过判断一个不成正比例的实例，既能加深正比例特征的认识，而且还能体会只要找出两个变量的两对对应值的比值不等，就可以确定这两个变量不成正比例。分别举一个成正比例和不成正比例的例子，与同伴交流。在上述辨析、判断的基础上，引导学生尝试举出成正比例和不成正比例的例子，加深对正比例的认识。教学建议下面是正方形周长与边长、面积与边长之间的变化情况，把表格填写完整，并说说你分别发现了什么。教学时，在学生把表格填写完整的基础上，让学生先针对正方形周长与边长的变化情况说说自己的发现。学生可能有如下发现：正方形的周长总是它边长的4倍；正方形的周长与它边长的比不变；正方形的边长每增加1cm，它的周长都增加4cm；正方形的边长扩大几倍，它的周长也扩大相同的倍数；正方形的周长随着边长的增加而增加。然后，针对正方形边长与面积的变化情况，再让他们说一说自己的发现。通过对比与思考，学生不
5、难发现面积与边长之间的对应关系，和周长与边长之间的对应关系有哪些相同和不同的特点。进而，让学生再思考：面积与边长、周长与边长之间有哪些相同的特点？当学生都认同面积和周长都是随边长的增加而增加时，就可以进入下面一个问题的讨论了。周长与边长、面积与边长之间的变化规律相同吗？顺着上面问题的讨论，学生可以根据下面任何一个“不同”说明周长与边长、面积与边长之间的变化规律是不同的：正方形的周长是边长的4倍，但面积与边长的倍数关系是不确定的；正方形周长与边长的比不变，但面积与边长的比是不相等的；正方形边长每增加1cm，周长都增加4cm，但面积增加的数量却不相等；正方形边长扩大2倍，周长也扩大2倍，但面积却扩大了4倍。上述相对是学生比较容易发现的，也要让学生自己去发现；与如果学生没有发现，教师也不必补充。倍数的角度与比值的角度，其实是等价的；当学生发现比值的角度有困难时，教师可以作一定的提示，引导学生写出两组量的对应的比，并求出比值，观察比值的特点，从变化中看到“不变”，从而发现规律。一辆汽车以90千米/时的速度行驶，行驶的路程与时间如下。把下表填写完整，你从表中发现了什么？建议先让学生把汽车行驶的时
6、间和路程表填完整，引导学生观察并思考：当时间发生变化时，路程怎样变化，变化有什么规律。教师要鼓励学生用自己的语言描述变化关系，如：时间是原来的几倍，路程也是原来的几倍；时间是原来的几分之一，路程也是原来的几分之一等。学生的语言只要合理都应鼓励。在此基础上，教师可以引导学生从比值不变的角度认识路程与时间的变化关系，即这个规律就是路程与时间的比值不变。在此基础上，教师引导学生结合情境认识正比例。在像教科书一样结合“路程与时间的比值不变”揭示正比例意义的基础上，教师要引导学生举一反三，分析判断“第1个问题中，正方形的周长与边长、面积与边长是否成正比例”。试一试圆的面积与半径成正比例吗？你是怎么想的？与同伴交流。建议先让学生独立思考，引导学生用自己的语言说说是怎样想的，与同学交流。再把全体同学不同的方法和观点呈现出来，组织全班交流讨论。特别是要引导学生通过举例列出几组相对应的数值来思考，发现“尽管圆的面积随着半径的变化而变化，但圆的面积与半径的比值在发生变化”，所以圆的面积与半径不成正比例。通过教学，让学生初步学会怎样判断两个量是否成正比例。乐乐与爸爸的年龄变化情况如下，把表填写完整。他们的年
7、龄成正比例吗？为什么？建议先让学生把表格填写完整，再引导学生观察、交流。引导学生发现：虽然乐乐的年龄增加，爸爸的年龄也增加，但是乐乐的年龄与爸爸的年龄的比值随着时间的变化发生变化，两者的比不是一个确定的值。所以，父子的年龄不成正比例。分别举一个成正比例和一个不成正比例的例子，与同伴交流。在上面两个问题讨论的基础上，引导学生自己举出生活中的例子，教师要关注学生所举实例的合理性，并注意引导学生说说自己是怎么想的。例如，一辆汽车每时行驶300km，汽车行驶的路程与时间成正比例。本例中学生给出的数量关系和得出的结论都是正确的，教师可以引导学生关注汽车每时行驶300km不合理。练一练练一练一共有4道题，其中第1题是配合第1课时内容的练习；第2，3题是配合第2课时试一试内容的练习；第4题是综合练习。“你知道吗”是拓展延伸阅读。第1题的三个问题配合着问题串，鼓励学生再次经历判断是否成正比例的过程，巩固正比例的认识。第2，3题巩固判断是否成正比例的练习，侧重判断的方法和思维的过程。第4题需要学生根据情境先填表，再判断是否成正比例。第1题本题是应用正比例意义判断两个量是否成正比例。这样的题，要求学生不仅
8、要写出结论，还要写出理由，但只要能用自己的语言描述即可，不求完全统一。答案：竹竿的高与竿影的长成正比例。因为竿影的长随着竹竿的高的变化而变化，而且竿影的长与竹竿的高的比值都等于0.4。第2题本题是应用正比例意义判断两个量是否成正比例。从表中可以很容易看出平行四边形的面积随高的变化而变化，且6:1=12:2=18:3=24:4=30:5=6，即平行四边形的面积与高的比值不变，所以平行四边形的面积与高成正比例。第3题本题也是应用正比例意义判断两个量是否成正比例，但因为没有具体数据，比前两题抽象些。组织交流时，教师要注意让学生交流思考的方法，并进行必要的指导。在尝试说明理由时，学生的语言只要合理即可。例如对于第（2）（3）小题，学生可以通过举例列出几组相对应的数值，说明它们不成正比例。答案：第（1）小题成正比例，第（2）（3）小题不成正比例。第4题本题先让学生独立填表，然后根据表中两个量相对应的比值，判断它们是不是成正比例。答案：应付的钱数随购买邮票枚数的变化而变化，并且钱数与枚数的比值不变（单价0.8元），所以应付的钱数与买邮票的枚数成正比例。你知道吗？这是阅读拓展题，通过阅读和思考，引导
9、学生体会“泰勒斯测量金字塔高度的方法”的道理，即身高与影长的比是1:1，则金字塔的高度与金字塔影长的比也是1:1，只要测出影长即可。当然，如果两者的比不是1:1时，也可以利用“身高:影长=金字塔的高度:金字塔影长”的关系进行测量与计算，得到金字塔的高度。如何培养学生“有序、有据地思考数学问题”的能力“正比例”教学案例执教：占晓媛（浙江省嘉兴市南湖国际实验学校）评析：朱德江（浙江省嘉兴市南湖区教研室）教材内容本册教科书第41页“正比例”。课前思考正比例、反比例的学习是从对“数量”的理解转向对“关系”探讨的又一个转折点。教过这个内容的教师都会有这样一个感觉：上课讲讲，学生觉得都懂了，做作业却错得不可思议！而你一点出他的错误，大部分学生又马上顿悟！为什么会有这样的情况呢？难道只是学生口中所说的“没有看清楚吗？”那么怎样才能让学生在对问题的说明解释过程中，能有较好的思辨能力呢？笔者认为要培养学生有序、有据地思考数学问题的能力。如在“正比例”的教学中，学生在第一课时讨论了正方形面积与边长，正方形周长与边长，路程、速度与时间的关系，初步了解了什么是正比例，在第二课时，组织学生讨论“圆的面积与半径成正比例吗？你是怎么想的”，学生出现了很多自己的想法，如何引导学生“有序、有据地思考数学问题”，发展思维能力，是我们在教学中重点思考的问题。课堂写真呈现问题：圆的面积与半径成正比例吗？你是怎么想的？在出示问题后，学生中就开始有人举手了。教师引导学生尝试把自己的想法写下来。师：你能把你的想法写下来吗？学生进行独立思考、尝试写出自己的想法，教师巡视，经过观察学生写起想法来动作还是比较快的，但部分学生出现了错误。在大部分学生有了想法后，教师开始组织反馈：生1：我
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