1、第二章第二章静力学基本概念课件学习121 力的概念力的概念22 静力学公理静力学公理23 力矩与力偶力矩与力偶 24 力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影25 力的平移定理力的平移定理课件学习2刚体是一种理想化的力学模型。刚体是一种理想化的力学模型。 一个物体能否视为刚体，不仅取决于变一个物体能否视为刚体，不仅取决于变形的大小，而且和问题本身的要求有关。形的大小，而且和问题本身的要求有关。2 2、刚体、刚体在外界的任何作用下形状和大小都始在外界的任何作用下形状和大小都始终保持不变的物体。或者在力的作用下，终保持不变的物体。或者在力的作用下，任意两点间的距离保持不变的物体任意两点间的距离保持不变的物体。1 1、平衡、平衡平衡是物体机械运动的特殊形式，是平衡是物体机械运动的特殊形式，是指物体相对地球处于静止或匀速直线运动指物体相对地球处于静止或匀速直线运动状态。状态。3 3、力、力力是物体相互间的机械作用，其作用力是物体相互间的机械作用，其作用 结果使物体的形状和运动状态发生改变。结果使物体的形状和运动状态发生改变。21 力的概念课件学习3确定力的必要因素确定力的必要因素力的力的三要素三要
2、素大小大小 方向方向作用点作用点 力的效应力的效应外效应外效应改变物体运动状态的效应改变物体运动状态的效应内效应内效应引起物体变形的效应引起物体变形的效应力的表示法力的表示法 力是一矢量，用数学上的矢量力是一矢量，用数学上的矢量记号来表示，如图。记号来表示，如图。F F力的单位力的单位 在国际单位制中，力的单位是牛顿在国际单位制中，力的单位是牛顿(N) 1N= 1(N) 1N= 1公斤公斤米米/ /秒秒2 2 （kg kg m/sm/s2 2 ) )。2 21 1 力的概念力的概念课件学习4四、力系、合力与分力四、力系、合力与分力四、力系、合力与分力四、力系、合力与分力力力 系系作用于同一物体或物体系上的一群力。作用于同一物体或物体系上的一群力。 等效力系等效力系对物体的作用效果相同的两个力系。效果相同的两个力系。平衡力系平衡力系能使物体维持平衡的力系。能使物体维持平衡的力系。合合 力力在特殊情况下，能和一个力系等效在特殊情况下，能和一个力系等效 的一个力。的一个力。21 力的概念分分分分 力力力力力系中各个力。力系中各个力。力系中各个力。力系中各个力。课件学习5公理一公理一 ( (二
3、力平衡公理二力平衡公理) ) 要使刚体在两个力作用下维持平衡状态，要使刚体在两个力作用下维持平衡状态，必须也只须这两个力大小相等、方向相反、沿必须也只须这两个力大小相等、方向相反、沿同一直线作用。同一直线作用。公理二公理二 ( (加减平衡力系公理加减平衡力系公理) ) 可以在作用于刚体的任何一个力系上加上可以在作用于刚体的任何一个力系上加上或去掉几个互成平衡的力，而不改变原力系对或去掉几个互成平衡的力，而不改变原力系对刚体的作用。刚体的作用。2 22 2 静力学公理静力学公理课件学习6推论推论 ( (力在刚体上的可传性力在刚体上的可传性) ) 作用于刚体的力，其作用点可以沿作用线作用于刚体的力，其作用点可以沿作用线在该刚体内前后任意移动，而不改变它对该刚在该刚体内前后任意移动，而不改变它对该刚体的作用体的作用= = =F FA AF F2 2F F1 1F FA AB BF F1 1A AB B2 22 2 静力学公理静力学公理课件学习7A A公理三公理三 ( (力平行四边形公理力平行四边形公理) ) 作用于物体上任一点的两个力可合成为作用作用于物体上任一点的两个力可合成为作用于同一点
4、的一个力，即合力。合力的矢由原两于同一点的一个力，即合力。合力的矢由原两力的矢为邻边而作出的力平行四边形的对角矢力的矢为邻边而作出的力平行四边形的对角矢来表示。来表示。F F1 1F F2 2R R矢量表达式：矢量表达式：R= FR= F1 1+F+F2 2即，合力为原两力的矢量和。即，合力为原两力的矢量和。2 22 2 静力学公理静力学公理课件学习8推论推论 ( (三力汇交定理三力汇交定理) ) 当刚体在三个力作用下平衡时，设其中两力的当刚体在三个力作用下平衡时，设其中两力的作用线相交于某点，则第三力的作用线必定也通过作用线相交于某点，则第三力的作用线必定也通过这个点。这个点。F F1 1F F3 3R R1 1F F2 2A A= =证明：证明：A A3 3F F1 1F F2 2F F3 3A A3 3A AA A2 2A A1 12 22 2 静力学公理静力学公理课件学习9公理四公理四 ( (作用和反作用公理作用和反作用公理) ) 任何两个物体间的相互作用的力，总是大小相等，任何两个物体间的相互作用的力，总是大小相等，作用线相同，但指向相反，并同时分别作用于这两作用线相同，但指
5、向相反，并同时分别作用于这两个物体上。个物体上。2 22 2 静力学公理静力学公理课件学习10O OA Ad dB BF F一、力矩的定义、力矩的定义力力F F 的大小乘以该力作用线到某点的大小乘以该力作用线到某点O O 间距离间距离d d，并加上适当正负号，称为力，并加上适当正负号，称为力F F 对对O O 点的矩。点的矩。简称力矩。简称力矩。2-3 力矩与力偶二、力矩的表达式二、力矩的表达式: : 三、力矩的正负号规定：当有逆时针转动的趋向时，三、力矩的正负号规定：当有逆时针转动的趋向时，力力F F 对对O O 点的矩取正值。点的矩取正值。四、力矩的单位：与力偶矩单位相同，为四、力矩的单位：与力偶矩单位相同，为 N.mN.m。课件学习11 五、力矩的性质：五、力矩的性质：1 1、力沿作用线移动时，对某点的矩不变、力沿作用线移动时，对某点的矩不变2 2、力作用过矩心时，此力对矩心之矩等于零、力作用过矩心时，此力对矩心之矩等于零3 3、力矩的值与矩心位置有关，同一力对不同、力矩的值与矩心位置有关，同一力对不同 的矩心，其力矩不同。的矩心，其力矩不同。2-3 力矩与力偶课件学习124 4
6、、力矩的解析表达式、力矩的解析表达式yxOxyAB2-3 力矩与力偶 力对某点的矩等于该力沿坐标轴的分力对力对某点的矩等于该力沿坐标轴的分力对同一点之矩的代数和同一点之矩的代数和课件学习132-3 力矩与力偶F F1 1F F2 2d d六、六、 力偶和力偶矩力偶和力偶矩1 1、力偶、力偶大小相等的二反向平行力。大小相等的二反向平行力。 、作用效果：只引起物体的转动。、作用效果：只引起物体的转动。、力和力偶是静力学的二基本要素。、力和力偶是静力学的二基本要素。 力偶特性二：力偶特性二：力偶无合力，即力偶不能与一个力等效，也不能力偶无合力，即力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡，力偶只能与另一力偶平衡。与一个力平衡，力偶只能与另一力偶平衡。力偶特性一：力偶在任何坐标轴上的投影等于力偶特性一：力偶在任何坐标轴上的投影等于零。力偶对物体只产生转动效应，不产生移动零。力偶对物体只产生转动效应，不产生移动效应。效应。课件学习14工程实例工程实例2-3 力矩与力偶课件学习152 2、力偶臂、力偶臂力偶中两个力的作用线力偶中两个力的作用线 之间的距离。之间的距离。3 3、力偶矩、力偶矩力偶中任何
7、一个力的大力偶中任何一个力的大 小与力偶臂小与力偶臂d d 的乘积，加上的乘积，加上 适当的正负号。适当的正负号。F F1 1F F2 2d d力偶矩正负规定：力偶矩正负规定： 若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩取正号；反之，取负号。取正号；反之，取负号。量纲：力量纲：力长度，牛顿长度，牛顿 米（米（N N m m）. .2-3 力矩与力偶课件学习16八、力偶的等效条件八、力偶的等效条件 同一平面上力偶的等效条件同一平面上力偶的等效条件2-3 力矩与力偶F Fd dF F d d 因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。= = 作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等效的充作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等效的充 要条件是二者的力偶矩大小值相等，转向相同。要条件是二者的力偶矩大小值相等，转向相同。课件学习17 2-3 力矩与力偶推论推论1 1 力偶可在其作用面内任意移动，而不改变它对刚力偶可在其作用面内任意移动，而不改变它对刚体的效应。体的效应。推论推论2 2 只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可同
8、只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。不改变力偶对刚体的作用。九、力偶系、平面力偶系九、力偶系、平面力偶系1 1定义：定义：2 2平面力偶系可合成一个合力偶，其合力偶矩等于各分力平面力偶系可合成一个合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩之和。偶矩之和。课件学习18十、力对点的矩与力偶矩的区别：十、力对点的矩与力偶矩的区别：相同处：力矩的量纲与力偶矩的相同。相同处：力矩的量纲与力偶矩的相同。不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改 变，但一个力偶的矩是常量。变，但一个力偶的矩是常量。联联 系：力偶中的两个力对任一点的之和是常系：力偶中的两个力对任一点的之和是常 量，等于力偶矩。量，等于力偶矩。2-3 力矩与力偶课件学习19 反之，当投影反之，当投影X、Y 已知时，则可求出力已知时，则可求出力 F F 的大小和方向：的大小和方向：2-4 力在坐标轴的投影一、力在坐标轴上的投影：一、力在坐标轴上的投影：正负规定：投影起点至终点的指向与坐标轴正向正负规定：投
9、影起点至终点的指向与坐标轴正向 一致，规定为正，反之为负。一致，规定为正，反之为负。y y b b a a a ab bF FO Ox xB BF Fx xF Fy yA A课件学习20注意：注意：投影与分力不是同一概念。力的投影投影与分力不是同一概念。力的投影X,Y是代是代 数量，分力是矢量。数量，分力是矢量。2-4 力在坐标轴的投影力在坐标轴的投影课件学习21A AF F2 2F F1 1(a)(a)F F3 3F F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b) 合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。同一轴上的投影的代数和。证明：证明： 以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力F F1 1、F F2 2、F F3 3 如图。如图。二、合力投影定理：二、合力投影定理：2-4 力在坐标轴上的投影课件学习22合力合力 R 在在x 轴上投影：轴上投影：F F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b) 推广到任意多个力
10、推广到任意多个力F1、F2、 Fn 组成的平面组成的平面共共点力系，可得：点力系，可得：a ab bc cd d各力在各力在x 轴上投影：轴上投影：2-4 2-4 力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影课件学习233 32 2F FA AO Od dF FA AO Od dmA AO O= = =作用于刚体上某点力作用于刚体上某点力F F，可以平行移动到刚体上任意一点，可以平行移动到刚体上任意一点，但须同时附加一个力偶，此附加力偶的矩等于原力但须同时附加一个力偶，此附加力偶的矩等于原力F F 对对新作用点的矩。新作用点的矩。 证明：证明：一、力的平移定理：一、力的平移定理：2-5 力的平移定理课件学习24 二、几个性质：二、几个性质：1 1、当力平移时，力的大小、方向都不改变，但附加、当力平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶的矩的大小与正负一般要随指定力偶的矩的大小与正负一般要随指定O O点的位置的点的位置的不同而不同。不同而不同。2 2、力平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的、力平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大一个力和一个力偶
11、，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力。小相等的平行力。3 3、力平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个、力平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。平面共点力系和一个平面力偶系的依据。2-5 力的平移定理课件学习25物体的受力分析 结构的计算简图第三章第三章课件学习2631约束与约束反力约束与约束反力32物体的受力分析及受力图物体的受力分析及受力图33 结构的计算简图结构的计算简图 课件学习2731约束与约束反力l自由体：位移不受限制的物体。自由体：位移不受限制的物体。l非自由体：位移受到限制的物体。非自由体：位移受到限制的物体。l约束：限制非自由体运动的其他物体约束：限制非自由体运动的其他物体 。l约束反力：约束对被约束体的反作用力约束反力：约束对被约束体的反作用力l主动力：约束力以外的力。主动力：约束力以外的力。课件学习2831约束与约束反力约约束束反反力力大小大小待定待定方向方向与该约束所能阻碍的与该约束所能阻碍的 位移相反位移相反作用点作用点接触处接触处课件学习2931约束与约束反力l柔索约束柔索约束 柔绳、链条、胶带构成的约束柔绳、链条
12、、胶带构成的约束课件学习3031约束与约束反力l柔索只能受拉力，又称张力。用柔索只能受拉力，又称张力。用 表示。表示。l柔索对物体的约束力沿着柔索背向被约束物体。柔索对物体的约束力沿着柔索背向被约束物体。l胶带对轮的约束力沿轮缘的切线方向，胶带对轮的约束力沿轮缘的切线方向， 为拉力。为拉力。课件学习3131约束与约束反力A课件学习3231约束与约束反力l光滑接触面约束光滑接触面约束 课件学习3331约束与约束反力l光滑支承接触对非自由体的约束力，作用在光滑支承接触对非自由体的约束力，作用在接触处；方向沿接触处的公法线并指向受力接触处；方向沿接触处的公法线并指向受力物体，故称为法向约束力，用物体，故称为法向约束力，用 表示。表示。课件学习3431约束与约束反力l光滑铰链约束光滑铰链约束 此类约束简称铰链或铰此类约束简称铰链或铰 径向轴承、圆柱铰链、固定铰链支座等径向轴承、圆柱铰链、固定铰链支座等 （1） 、径向轴承（向心轴承）、径向轴承（向心轴承） 课件学习3531约束与约束反力A AB BA AB BFN课件学习3631约束与约束反力l约束特点：约束特点： 轴在轴承孔内，轴为非自由体、
13、轴在轴承孔内，轴为非自由体、轴承孔为约束。轴承孔为约束。l约束力：约束力： 当不计摩擦时，轴与孔在接触为当不计摩擦时，轴与孔在接触为光滑接触约束光滑接触约束法向约束力。法向约束力。l约束力作用在接触处，沿径向指向轴心。约束力作用在接触处，沿径向指向轴心。l当外界载荷不同时，接触点会变，则约束当外界载荷不同时，接触点会变，则约束力的大小与方向均有改变。力的大小与方向均有改变。课件学习3731约束与约束反力l可用二个通过轴心的正交分力可用二个通过轴心的正交分力 表示。表示。l（2） 、光滑圆柱铰链、光滑圆柱铰链 约束特点：由两个各穿孔的构件及圆柱销钉约束特点：由两个各穿孔的构件及圆柱销钉 组成，如剪刀。组成，如剪刀。课件学习3831约束与约束反力课件学习3931约束与约束反力l光滑圆柱铰链：亦为孔与轴的配合问题，与光滑圆柱铰链：亦为孔与轴的配合问题，与轴承一样，可用两个正交分力表示。轴承一样，可用两个正交分力表示。l其中有作用反作用关系其中有作用反作用关系l一般不必分析销钉受力，当要分析时，必须一般不必分析销钉受力，当要分析时，必须把销钉单独取出。把销钉单独取出。课件学习4031约束与约束
14、反力l支座约束支座约束l（1）固定铰支座）固定铰支座 F FN NFNYFNX课件学习4131约束与约束反力l约束特点：约束特点： 由上面构件由上面构件1或或2 之一与地面或机架固之一与地面或机架固 定而成。定而成。约束力：与圆柱铰链相同约束力：与圆柱铰链相同课件学习4231约束与约束反力l（2）活动铰支座）活动铰支座F FN NF FN N课件学习4331约束与约束反力l约束特点：约束特点： 在上述固定铰支座与光滑固定平面之间装有光在上述固定铰支座与光滑固定平面之间装有光滑辊轴而成。滑辊轴而成。l约束力：构件受到约束力：构件受到 光滑面的约束力。光滑面的约束力。课件学习4431约束与约束反力l（3）固定端支座）固定端支座 端嵌固在墙内，墙壁对梁的约束是既限制它沿端嵌固在墙内，墙壁对梁的约束是既限制它沿任何方向移动，又限制它的转动，这样的约束任何方向移动，又限制它的转动，这样的约束称为固定端支座，简称固定支座。称为固定端支座，简称固定支座。 课件学习4531约束与约束反力=课件学习4631约束与约束反力l（4）定向支座（滑动铰支座）定向支座（滑动铰支座）课件学习4731约束与约束反力l
15、链杆约束链杆约束 链杆是两端用铰与其他构件相连，不计自重且链杆是两端用铰与其他构件相连，不计自重且中间不受力的杆件中间不受力的杆件 。A AC CB BA AB BF FNA NA F FNBNB课件学习4831约束与约束反力l由于链杆只在两个铰处受力，因此为二力构件由于链杆只在两个铰处受力，因此为二力构件 课件学习4932物体的受力分析及受力图 确定构件受了几个力，每个力的作用位置和力确定构件受了几个力，每个力的作用位置和力的作用方向，这种分析过程称为物体的受力分的作用方向，这种分析过程称为物体的受力分析。析。课件学习50l在受力图上应画出所有力，主动力和约束在受力图上应画出所有力，主动力和约束力（被动力）力（被动力）l画受力图步骤：画受力图步骤： 1、取所要研究物体为研究对象（隔离体）、取所要研究物体为研究对象（隔离体）画出其简图画出其简图 2、画出所有主动力、画出所有主动力 3、按约束性质画出所有约束（被动）、按约束性质画出所有约束（被动） 力力32物体的受力分析及受力图课件学习51l例例1-132物体的受力分析及受力图碾子重为碾子重为P，拉力为，拉力为F,A,B处处光滑接触，画
16、出碾子的受力图。光滑接触，画出碾子的受力图。解：画出简图解：画出简图画出主动力画出主动力画出约束力画出约束力课件学习52l例例1-3l水平均质梁水平均质梁AB重为重为 ，电动机重，电动机重为为 ，不计杆，不计杆 CD 的自重，画出杆的自重，画出杆CD和梁和梁 AB的受力图。图的受力图。图(a)32物体的受力分析及受力图解：解：取取 CD 杆，其为二力构件，杆，其为二力构件，简称二力杆，其受力图如图简称二力杆，其受力图如图(b)课件学习5332物体的受力分析及受力图取取AB梁，其受力图如图梁，其受力图如图 (c)杆的受力图能否画为杆的受力图能否画为图（图（d）所示？）所示？若这样画，梁若这样画，梁AB的受力的受力图又如何改动图又如何改动?课件学习54l例例1-432物体的受力分析及受力图不计三铰拱桥的自重与摩擦，画不计三铰拱桥的自重与摩擦，画出左、右拱出左、右拱AC,CB的受力图与系的受力图与系统整体受力图。统整体受力图。解：解：右拱右拱CB为二力构件，其受力为二力构件，其受力图如图（图如图（b）所示）所示课件学习5532物体的受力分析及受力图取左拱取左拱AC ,其受力图如图其受力图如图
17、（c）所示）所示系统整体受力图如图（系统整体受力图如图（d）所示所示课件学习5632物体的受力分析及受力图考虑到左拱考虑到左拱 AC 在三个力在三个力作用下平衡，也可按三力平作用下平衡，也可按三力平衡汇交定理画出左拱衡汇交定理画出左拱AC 的的受力图，如图（受力图，如图（e）所示）所示此时整体受力图如图（此时整体受力图如图（f）所示所示课件学习57l例例1532物体的受力分析及受力图不计自重的梯子放在光滑不计自重的梯子放在光滑水平地面上，画出绳子、水平地面上，画出绳子、梯子左右两部分与整个系梯子左右两部分与整个系统受力图。图统受力图。图(a)解：解：绳子受力图如图（绳子受力图如图（b）所示）所示课件学习5832物体的受力分析及受力图梯子左边部分受力图如梯子左边部分受力图如图（图（c）所示）所示梯子右边部分受力图梯子右边部分受力图如图（如图（d）所示）所示课件学习5932物体的受力分析及受力图整体受力图如图（整体受力图如图（e）所示所示课件学习60第四章第四章力系的平衡方程及应用 课件学习614-1平面一般力系向一点简化平面一般力系向一点简化 主矢主矢 主矩主矩4-2平面一般力系的平衡方
18、程平面一般力系的平衡方程4-3平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程4-4平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程4-5物体系统的平衡物体系统的平衡课件学习62 4-1-1 概念平面力系:凡各力的作用线都在同一平面内的力系平面汇交力系:在平面力系中,各力作用线交于一点的力系 平面平行力系:各力作用线互相平行的力系 平面一般力系: 各力作用线任意分布的力系41平面一般力系向一点简化平面一般力系向一点简化课件学习63 4-1-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化平面一般力系向作用面内任一点的简化问题：问题：力的作用线本身是否可以平移？如果平移，力的作用线本身是否可以平移？如果平移，会改变其对刚体的作用效应吗？会改变其对刚体的作用效应吗？PO假设点假设点 P 作用力作用力 F ，今在同一，今在同一刚体上某点刚体上某点 O，沿与力，沿与力 F 平行方向施加平行方向施加一对大小相等（等于一对大小相等（等于F）、方向相反的）、方向相反的力力主矢和主矩主矢和主矩显然，这一对力并不改变力显然，这一对力并不改变力 F 对刚体的作用效果对刚体的作用效果为什麽？为什麽？41平面一般力系向一点简化
19、平面一般力系向一点简化课件学习64我们可以将这我们可以将这 3 个力构成的力系视为个力构成的力系视为 一对力偶一对力偶和和1 个作用于点个作用于点 O 的力的力结论：一个刚体受到复杂力系作用时，可以结论：一个刚体受到复杂力系作用时，可以将它们向某一点简化，从而得到一个合力和将它们向某一点简化，从而得到一个合力和一个合力矩，该点称为简化中心一个合力矩，该点称为简化中心设力系对设力系对O点的简化结果为：点的简化结果为：41平面一般力系向一点简化平面一般力系向一点简化课件学习65 4-1-3 平面力系简化结果讨论：平面力系简化结果讨论：已经分析，平面力系总可以简化为一个主矢和一个主矩已经分析，平面力系总可以简化为一个主矢和一个主矩可能有以下几种情况：可能有以下几种情况：称该力系平衡称该力系平衡称该力系平衡称该力系平衡该力系等效一个合力偶该力系等效一个合力偶该力系等效一个合力该力系等效一个合力仍然可以继续简化为一个合力仍然可以继续简化为一个合力 4-1平面一般力系向一点简化平面一般力系向一点简化课件学习66 4-1-2 平面力系简化结果讨论：平面力系简化结果讨论：仍然可以继续简化为一个合力仍然
20、可以继续简化为一个合力OOOOO只要满足：只要满足：只要满足：只要满足： 4-1平面一般力系向一点简化平面一般力系向一点简化课件学习67 4-2-1 平面一般力系的平衡方程条件及基本形式已经分析，平面一般力系向任一点简化可以得到一个主矢和已经分析，平面一般力系向任一点简化可以得到一个主矢和一个主矩如果主矢和主矩都等于零一个主矩如果主矢和主矩都等于零 表明简化后的汇交力系和附加力偶系都自成平表明简化后的汇交力系和附加力偶系都自成平衡衡,则原力系一定平衡则原力系一定平衡 主矢和主矩都等于零是平衡面一般力系平衡的主矢和主矩都等于零是平衡面一般力系平衡的充分条件充分条件 反之反之,如果主矢中有一个力或两个力不为零时如果主矢中有一个力或两个力不为零时,原原力系中成为一个合力或一个力偶力系中成为一个合力或一个力偶,力系就不平衡力系就不平衡,所以所以, 主主矢和主矩都等于零也是力系平衡的必要条件矢和主矩都等于零也是力系平衡的必要条件 4-2 平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程课件学习68平面一般力系平衡的必要和充分条件是平面一般力系平衡的必要和充分条件是:主矢主矢和主矩都等于零和主矩都等于
21、零即即:平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程:1、一般形式：、一般形式： 4-2 平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程课件学习69 平面一般力系平衡的必要和充分条件可称述为平面一般力系平衡的必要和充分条件可称述为: 力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和都等于零的代数和都等于零;力系中所有各力对于任一点力系中所有各力对于任一点的力矩的代数和等于零的力矩的代数和等于零 4-2 平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程课件学习70 4-2-2 平面方程的其他形式:二力矩形式的平衡方程二力矩形式的平衡方程:三力矩形式的平衡方程三力矩形式的平衡方程:条件是：条件是：AB两点的连线不能与两点的连线不能与 x 轴或轴或 y 轴垂直轴垂直条件是：条件是：ABC三点不能共三点不能共线线 4-2 平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程课件学习71 4-3-1平面汇交力系的平衡方程:平面汇交力系平衡的解析条件是平面汇交力系平衡的解析条件是:力系中所有各力在任选的两个直角坐标轴上力系中所有各力在任选的两个直角坐标轴上投影的代数和
22、分别等于零投影的代数和分别等于零平面汇交力系是平面一般力系的一种特殊情况，平面汇交力系是平面一般力系的一种特殊情况，由平面一般力系的平衡条件可知，平面汇交力系由平面一般力系的平衡条件可知，平面汇交力系的平衡条件是：合力为零，即的平衡条件是：合力为零，即 4-3平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程课件学习72 4-4-1平面平行力系的平衡方程:平面汇交力系平衡的解析条件是平面汇交力系平衡的解析条件是:力系中所有各力在任选的两个直角坐标轴上投影力系中所有各力在任选的两个直角坐标轴上投影的代数和分别等于零的代数和分别等于零 4-4 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程课件学习73 4-5-1举例说明物体系平衡问题的解法: 例例5-1 图示两根梁由铰图示两根梁由铰 B 连接，它们置于连接，它们置于O，A，C三个支承上，梁上有一集度为三个支承上，梁上有一集度为 q 的均布载荷，一集的均布载荷，一集中力中力 F 和一力偶矩和一力偶矩 M，求各个支承处的约束力。，求各个支承处的约束力。OABCD受力分析受力分析受力分析受力分析主动力：主动力： 分布载荷、集中分布载荷、集中力力 F、主
23、动力矩主动力矩 M 4-5物体系统的平衡物体系统的平衡课件学习74第五章第五章平面体系的几何组成分析课件学习75 5-1 刚片自由度和约束的概念 5-2 几何不变体系的简单组成规则 5-3 瞬变体系 5-4 几何组成分析示例 5-5 结构的几何组成与静定性的关系课件学习76 5-1 刚片自由度和约束的概念 在土木或水利工程中，结构是用来支撑和传递荷载的，因此它的几何形状和位置必须是稳固的。具有稳固几何形状和位置的体系称为几何不变体系。几何不变体系。反之，如体系的几何形状或位置可以或可能发生改变的，则称为几何可变几何可变体系体系。只有几何不变体系才能用于工程。 基本假定：不考虑材料的变形不考虑材料的变形课件学习77几何不变体系几何不变体系几何可变体系几何可变体系 5-1 刚片自由度和约束的概念课件学习78 5-1 刚片自由度和约束的概念 刚片刚片是指平面体系中几何形状不变的平面体。在几何组成分析中，由于不考虑材料的变形，所以，每根梁、每一杆件或已知的几何不变部分均可视为刚片。支承结构的地基也可以看作是一个刚片。课件学习79n=2xy平面内一点平面内一点 5-1 刚片自由度和约束的概念体系
24、的自由度自由度是指该体系运动时，确定其位置所需的独立坐标的数目。课件学习80n=3AxyB平面刚体平面刚体刚片刚片地基是一个不动刚片，它的自由度为0 课件学习81 5-1 刚片自由度和约束的概念 能够减少体系自由度的装置称为约束约束或联系联系。能减少几个自由度就叫做几个约束。常用的约束有链杆、铰（单铰、复铰）和刚结点。 课件学习82一根链杆一根链杆 为为 一个联系一个联系平面刚体平面刚体刚片刚片n=3n=2 5-1 刚片自由度和约束的概念链杆链杆是一根两端铰接于两个刚片的刚性杆件课件学习831 1个单铰个单铰 = 2= 2个联系个联系单铰联后单铰联后n=4xy每一自由刚片每一自由刚片3个自由度个自由度两个自由刚片共有两个自由刚片共有6个自由度个自由度铰铰铰铰课件学习841 1连接连接n个刚片的复铰个刚片的复铰 = = (n-1)个单铰个单铰n=5复铰复铰复铰复铰等于多少个等于多少个等于多少个等于多少个单铰单铰单铰单铰？课件学习85 5-1 刚片自由度和约束的概念两个刚片和刚片在C连接为一个整体，结点称为一个刚结点刚结点 课件学习86ABA单刚结点单刚结点复刚结点复刚结点单链杆单链杆复链
25、杆复链杆连接连接n n个杆的个杆的复刚结点等于多复刚结点等于多少个单刚结点？少个单刚结点？连接连接n n个铰的个铰的复链杆复链杆等于多少个等于多少个单链杆？单链杆？n-1个个2n-3个个课件学习87一、杆件体系的计算自由度一、杆件体系的计算自由度W=W=（各部件的自由度总和各部件的自由度总和）- -（全部约束数全部约束数） （2-12-1）1 1一般平面体系一般平面体系 （2-22-2） m m体系体系刚片的个数（不包括地基），刚片的个数（不包括地基）， g g单刚结点单刚结点个数个数h h单铰结点单铰结点个数个数（刚片之间的单铰结点个数）（刚片之间的单铰结点个数） b b包括支座链杆数包括支座链杆数平面杆件体系的计算自由度平面杆件体系的计算自由度 课件学习88刚片刚片自由度自由度联系联系的概念的概念连四刚片连四刚片h=3连三刚片连三刚片h=2连两刚片连两刚片h=13 3、铰支座、定向支座相当于两个支承链杆，、铰支座、定向支座相当于两个支承链杆， 固定端相三于个支承链杆。固定端相三于个支承链杆。注意：注意：1 1、复连接要换算成单连接。、复连接要换算成单连接。2 2、刚接在一起的各刚片
26、作为一大刚片。如带、刚接在一起的各刚片作为一大刚片。如带有有a个无铰封闭框，约束数应加个无铰封闭框，约束数应加3a个。个。课件学习892 2平面铰结链杆体系平面铰结链杆体系j j结构所有铰结点个数（包括支座铰接点）结构所有铰结点个数（包括支座铰接点）b b代表代表单链杆数单链杆数（包括支座链杆数）（包括支座链杆数） 3 3内部可变度内部可变度 当体系与基础不相连，只计算体系内各部分之当体系与基础不相连，只计算体系内各部分之间的相对运动自由度，间的相对运动自由度，不计入体系整体运动的不计入体系整体运动的3 3个个自由度自由度。一般平面体系：一般平面体系： 平面铰接体系：平面铰接体系： 课件学习90 例例11：求图所示体系的计算自由度：求图所示体系的计算自由度W W。方方法法1 1：此此体体系系属属于于平平面面一一般般体体系系，m m=7 =7 g g=0 =0 h h=9 =9 b b=3=3注意：连接注意：连接n n个刚片的铰相当于（个刚片的铰相当于（n-1n-1）个单铰）个单铰采采用用（2-22-2）式式计计算算时时，复复刚刚结结点点与与复复铰铰结结点点应应转转换为单刚结点和单铰结点
27、来计算。换为单刚结点和单铰结点来计算。课件学习91注意：连接注意：连接n n个点的链杆相当于（个点的链杆相当于（2n-32n-3）个单链杆。）个单链杆。方方法法二二：此此体体系系属属于于铰铰结结体系，体系，j j=7=7，b b=14=14。代入代入 得：得： 例例11：求图所示体系的计算自由度：求图所示体系的计算自由度W W。采采用用（2-32-3）式式计计算算时时：1 1、复复链链杆杆应应转转换换为为单单链链杆杆来来计计算算；2 2、支支座座铰铰接接点点应应计计入入j j（即即体体系系本本身身链杆的端点铰都应算作结点）。链杆的端点铰都应算作结点）。课件学习92解：此体系属于铰结体系解：此体系属于铰结体系 例例22：求图所示体系的计算自由度：求图所示体系的计算自由度W W。思思考考：按按平平面面一一般般体体系系的的公公式式（2-22-2）应应该该如如何何计计算？算？课件学习93方方法法1 1：此此体体系系属属于于一一般般体体系，系，m m=6 =6 g g=4 =4 h h=1 =1 b b=4=4方法方法2 2：此体系属于一般体系：此体系属于一般体系，只将只将ABCDABCD 、A
28、EFGAEFG视视为刚片为刚片m m=2 =2 g g=0 =0 h h=1 =1 b b=4 =4 练习：计算练习：计算W W课件学习94二、计算自由度与几何组成的关系二、计算自由度与几何组成的关系 ( (了解了解) ) 1 1. .实际自由度实际自由度S SS S = =（各部件的自由度总和）（各部件的自由度总和）- -（必要约束）（必要约束）（2-42-4） 2 2. .多余约束数多余约束数n nS W=n3 3.W.W与几何组成性质的关系（与几何组成性质的关系（P.17P.17） S S = = n n + W+ WW0W0，表明体系缺少足够的联系，是几何可变的；，表明体系缺少足够的联系，是几何可变的；W=0W=0，表明体系具有成为几何不变所需的最少联系数目。，表明体系具有成为几何不变所需的最少联系数目。W0W0，表明体系在联系数目上还有多余，体系具有多余联系。，表明体系在联系数目上还有多余，体系具有多余联系。W W0 0，是平面体系几何不变的必要条件，而不是充分条件。，是平面体系几何不变的必要条件，而不是充分条件。课件学习95练习：计算练习：计算W W解解：此此体体系系属属于
29、于铰铰结结体体系系，j j=6=6，b b=12=12。 代入代入 得：得：W=2W=26-12=06-12=0解解：此此体体系系属属于于铰铰结结体体系系，j j=8=8，b b=16=16。 代入代入 得：得：W=2W=28-16=08-16=0课件学习96方方法法1 1：此此体体系系属属于于一一般般体体系系， m m=7 =7 g g=3 =3 h h=4 =4 b b=4 =4 方法方法2 2：此体系属于一般体系，：此体系属于一般体系， 只将只将123123、345345、267267、47894789视为刚片视为刚片m m=4 =4 g g=0 =0 h h=4 =4 b b=4 =4 练习：计算练习：计算W W课件学习97 5-1 刚片自由度和约束的概念l如果在一个体系中增加一个约束，并不能减少体系的自由度，则此约束称为多余约束多余约束。 课件学习98 5-1 刚片自由度和约束的概念l两刚片用两根链杆连接，两杆延长线交于一点。这时，两刚片的运动为绕点的相对转动，点称为刚片和刚片的相对转动瞬心相对转动瞬心 。l连接刚片的两根连杆的延长线交于一点，成为虚铰虚铰。l两平行杆形成的虚
30、铰在无穷远处。课件学习99两刚片用两链杆连接两刚片用两链杆连接xyBAC两相交链杆构成一虚铰两相交链杆构成一虚铰n=4课件学习100 三刚片规则：三刚片规则： 三个刚片用不在同三个刚片用不在同一直线上的三一直线上的三 个单个单铰两两相连，组成铰两两相连，组成无多余联系的几何无多余联系的几何不变体系。不变体系。 5-2几何不变体系的简单组成规则几何不变体系的简单组成规则课件学习101例如三铰拱例如三铰拱大地、大地、AC、BC为刚片为刚片;A、B、C为单铰为单铰几何不变无多余约束几何不变无多余约束课件学习102二元体二元体-不在一直线上的两根链杆不在一直线上的两根链杆 连结一个新结点的装置。连结一个新结点的装置。二元体规则：二元体规则： 在一个体系上增加在一个体系上增加或拆除二元体，不或拆除二元体，不改变原体系的几何改变原体系的几何构造性质。构造性质。C课件学习103减二元体简化分析减二元体简化分析加二元体组成结构加二元体组成结构课件学习104如何减二元体？如何减二元体？课件学习105二刚片规则：二刚片规则： 两个刚片用一个铰两个刚片用一个铰和一根和一根不通过此铰不通过此铰的链杆相联，组成
31、的链杆相联，组成无多余联系的几何无多余联系的几何不变体系。不变体系。课件学习106EF 二刚片规则：二刚片规则： 两个刚片用三根两个刚片用三根不全平行也不交不全平行也不交于同一点于同一点的链杆的链杆相联，组成无多相联，组成无多余联系的几何不余联系的几何不变体系。变体系。课件学习107ABCPC1微小位移后，不能继续位移微小位移后，不能继续位移不能平衡不能平衡 5-3 瞬变体系瞬变体系l瞬变体系瞬变体系-原为几何可变，经微小位移后即转化原为几何可变，经微小位移后即转化为几何不变的体系。为几何不变的体系。课件学习108瞬变体系的其它几种情况：瞬变体系的其它几种情况：课件学习109常变体系常变体系瞬瞬变变体体系系课件学习110几何瞬变体系几何瞬变体系平行平行平行平行课件学习111几何常变体系几何常变体系平平平平行行行行等等等等长长长长课件学习112四四四四杆杆杆杆不不不不全全全全平平平平行行行行几何不变体系几何不变体系(b) (b) 两铰无穷远情况两铰无穷远情况两铰无穷远情况两铰无穷远情况课件学习113四四四四杆杆杆杆全全全全平平平平行行行行几何瞬变体系几何瞬变体系课件学习114四四杆杆平平
32、行行等等长长几何常变体系几何常变体系课件学习115 5-4 几何组成分析示例几何组成分析示例课件学习116 5-4 几何组成分析示例几何组成分析示例课件学习117 5-4 几何组成分析示例几何组成分析示例课件学习118 5-4 几何组成分析示例几何组成分析示例课件学习119 5-4 几何组成分析示例几何组成分析示例课件学习120 5-4 几何组成分析示例几何组成分析示例课件学习121 5-4 几何组成分析示例几何组成分析示例课件学习122静定结构静定结构5-55-5结构的几何组成与静定性的关系结构的几何组成与静定性的关系FFBFAyFAx无多余无多余联系几何联系几何不变。不变。如何求支如何求支座反力座反力?课件学习123FFBFAyFAxFC超静定结构超静定结构有多余有多余联系几何联系几何不变。不变。能否求全能否求全部反力部反力?5-5结构的几何组成与静定性的关系结构的几何组成与静定性的关系课件学习124体系体系几何不变体系几何不变体系几何可变体系几何可变体系有多余联系有多余联系无多余联系无多余联系常变常变瞬变瞬变可作为结构可作为结构静定结构静定结构超静定结构超静定结构不可作结构不可作
33、结构小结小结课件学习125杆件与结构的内力计算杆件与结构的内力计算第六章第六章课件学习12661 轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力 轴力图轴力图62 单跨静定梁的内力单跨静定梁的内力63 多跨静定梁的内力多跨静定梁的内力64 静定平面刚架的内力静定平面刚架的内力65 静定平面桁架的内力静定平面桁架的内力66 组合结构的内力组合结构的内力课件学习12761轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力 轴力图轴力图l工程中有很多构件，除连接部分外都是等直杆，作用于杆上的外力（或合外力）的作用线重合。等直杆在这种受力情况下，其主要变形是纵向纵向伸长伸长或缩短缩短。这种变形形式就是轴向拉伸或压缩。这类构件称为拉（压）杆拉（压）杆。拉杆拉杆压杆压杆FFFF课件学习12861轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力 轴力图轴力图l 物体在受到外力作用而变形时，其内部各质点间的相对位置将有变化。与此同时，各质点间相互作用的力也发生了改变。相互作用力由于物体受到外力作用而引起的改变量，就是附加内力，简称内力内力。l 内力分析是解决构件强度，刚度与稳定性问题的基础。课件学习12961轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力 轴力图
34、轴力图 轴向拉压杆的内力称为轴力.其作用线与杆的轴线重合,用符号 表示课件学习13061轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力 轴力图轴力图l轴力的箭头背离截面为拉力拉力，对应杆段伸长；轴力的箭头指向截面为压力压力，对应杆段缩短。 拉力为正压力为负课件学习13161轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力 轴力图轴力图l注意： （1）在采用截面法之前不允许使用力的可传性原理；课件学习13261轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力 轴力图轴力图 （2） 在采用截面法之前不允许预先将杆上荷载用一个静力等效的相当力系代替。课件学习13320KN20KN40KN112220KN20KN20KN20KN40KN11一直杆受力如图示,试求1-1和2-2截面上的轴力。课件学习13461轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力 轴力图轴力图l当杆受到多个轴向外力作用时，在杆的不同横截面上的轴力将各不相同。为了表明横截面上的轴力随横截面位置而变化的情况，可用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力的数值，从而绘出表示轴力与截面位置关系的图线，称为轴力图轴力图。课件学习13561轴向拉压杆的内力轴
35、向拉压杆的内力 轴力图轴力图l轴力图表示轴力与截面位置关系的图形。l习惯上将正值的轴力画在上侧，负值画在下侧。l轴力只与外力有关，截面形状变化不会改变轴力大小。课件学习136FAB113F22C2F4KN9KN3KN2KN4KN5KN2KNF2F课件学习137150kN100kN50kNFN +- -例题例题2 作图示杆件的轴力图，并指出作图示杆件的轴力图，并指出| FN |maxIIIIII | FN |max=100kNFN2= - -100kN100kNIIIIFN2FN1=50kNIFN1I50kN50kN100kN课件学习138弯曲内力 杆件承受垂直于其轴线方向的外力,或在其轴线平面内作用有外力偶时, 杆的轴线变为曲线.以轴线变弯为主要特征的变形称为弯曲弯曲。课件学习139弯曲内力l以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁梁。梁是一类常用的构件几乎在工程中都占有重要地位。l静定梁：支座反力可以由静力平衡方程来求解的梁。l超静定梁：支座反力仅由静力平衡方程不能求解的梁。课件学习140梁按支承方法的分类悬臂梁简支梁外伸梁固定梁连续梁半固定梁课件学习141FaABFAFBFAFsxM弯曲
36、内力课件学习142 剪力剪力平行于横截面的内力，符号：平行于横截面的内力，符号：FS，正负号规定：，正负号规定：使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负(左截面上的左截面上的剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正)； MMMMFSFSFSFS 弯矩弯矩绕截面转动的内力，符号：绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使，正负号规定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压下拉的弯矩梁上压下拉的弯矩为正为正)。剪力为正剪力为正剪力为负剪力为负弯矩为正弯矩为正弯矩为负弯矩为负课件学习143ACDB试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩ACCDBBD课件学习1441.剪力、弯矩方程： 2.剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。例题例题 作图示悬臂梁作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。xFSFFlMFlAB课件学习145FSM例题例题 图示简支梁受均布荷载图示简支梁受均布荷载q的作用，作该梁的剪力的作用，作该梁的剪力图和
37、弯矩图。图和弯矩图。qlAB解：解： 1、求支反力、求支反力FAFB2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程课件学习146例例题题 在在图图示示简简支支梁梁AB的的C点点处处作作用用一一集集中中力力F，作作该该梁的剪力图和弯矩图。梁的剪力图和弯矩图。FabClAB解：解： 1、求支反力、求支反力2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程FAFBFSM课件学习147 例例五五 在在图图示示简简支支梁梁AB的的C点点处处作作用用一一集集中中力力偶偶M，作该梁的剪力图和弯矩图。，作该梁的剪力图和弯矩图。abClABM解：解： 1、求支反力、求支反力2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程FAFBFSM课件学习148弯曲内力 由由剪剪力力、弯弯矩矩图图知知：在在集集中中力力作作用用点点，弯弯矩矩图图发发生生转转折折，剪剪力力图图发发生生突突变变，其其突突变变值值等等于于集集中中力力的的大大小小，从从左左向向右右作作图图，突突变变方方向沿集中力作用的方向向沿集中力作用的方向。 由剪力、弯矩图知：由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值
38、为集中点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。力偶的大小。课件学习149外力情况外力情况q5)，上上述述公公式式的的误误差差不不大大，但但公公式式中中的的M应应为为所所研研究究截截面面上上的的弯弯矩矩，即即为截面位置的函数。为截面位置的函数。6.公式适用范围：公式适用范围：1.矩形截面矩形截面III、三种典型截面对中性轴的惯性矩、三种典型截面对中性轴的惯性矩2.实心圆截面实心圆截面 3.截面为外径截面为外径D、内径、内径d( =d/D)的空心圆的空心圆: 课件学习240 长为长为l l的矩形截面悬臂梁，在自由端作的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力用一集中力F F，已知，已知b b120mm120mm，h h180mm180mm、l l2m2m，F F1.6kN1.6kN，试求，试求B B截面上截面上a a、b b、c c各点各点的正应力。的正应力。（压） 例题例题例题例题 8.58.5课件学习241 图示T形截面简支梁在中点承受集中力F32kN，梁的长度L2m。T形截面的形心坐标yc96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz1.02108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最
39、大压应力。 例题例题例题例题 8.68.6课件学习242如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用。试计算截面作用。试计算截面B-B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。 解：解： 1确定截面形心位置确定截面形心位置 选参考坐标系选参考坐标系zoy如图示，将截面分解为如图示，将截面分解为I和和II两部分，形心两部分，形心C的纵坐标为的纵坐标为:2计算截面惯性矩计算截面惯性矩2012020120单位：单位：mmIII 例题例题例题例题 8.58.5课件学习2433 计算最大弯曲正应力计算最大弯曲正应力 截面截面BB的弯矩为的弯矩为: 在截面在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值分别为：分别为：课件学习24485梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 切应力强度切应力强度条件条件一一、矩形梁横截面上的切应力、矩形梁横截面上的切应力 1、公式推导：、公式推导： 弯曲应力弯曲应力n1mn2m1ze11111ye2e1x2112dxBAyyx xdxxM
40、+dMMFSFSs ss s+ds st tmnmmdx xt tyt tA课件学习245 例例6- -3 求图示矩形截面梁横截面上的切应力分布。求图示矩形截面梁横截面上的切应力分布。 Oyzbht tmaxyOt t代入切应力公式代入切应力公式：解：将解：将 切应力切应力t t呈图示的呈图示的抛物线分布，在最边缘处为零抛物线分布，在最边缘处为零在中性轴上最大，在中性轴上最大，其值为：其值为： 平均切应力平均切应力 弯曲应力弯曲应力x xdx x课件学习246二、工字形截面梁上的切应力二、工字形截面梁上的切应力腹板上任一点处的可直接由矩形梁的公式得出：腹板上任一点处的可直接由矩形梁的公式得出：式中：式中：d为腹板厚度为腹板厚度三、薄壁环形截面梁上的切应力三、薄壁环形截面梁上的切应力假设假设 ：1、切应力沿壁厚无变化；、切应力沿壁厚无变化；2、切应力方向与圆周相切、切应力方向与圆周相切式中：式中：A为圆环截面面积为圆环截面面积四、圆截面梁上的切应力四、圆截面梁上的切应力式中：式中：A为圆截面面积为圆截面面积对对于于等等直直杆杆，最最大大切切应应力力的统一表达式为：的统一表达式为：弯曲应力
41、弯曲应力课件学习247五、梁的切应力强度条件五、梁的切应力强度条件 与正应力强度条件相似，也可以进行三方面的工作：与正应力强度条件相似，也可以进行三方面的工作：1、强度校核强度校核，2、截面设计，截面设计，3、确定梁的许可荷载确定梁的许可荷载但通常用于但通常用于校核校核。特殊的特殊的：1、梁的最大弯矩小，而最大剪力大；、梁的最大弯矩小，而最大剪力大；2、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值；、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值； 3、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。需进行切应力强度计算。需进行切应力强度计算。弯曲应力弯曲应力课件学习248例例5- -4 T形梁尺寸及所受荷载如图所示形梁尺寸及所受荷载如图所示, 已知已知s sy=100MPa，s sL=50MPa，t t=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2104mm4。求：。求：1)C左侧截面左侧截面E点的正应力、点的正应力、切应力；切应力；2)校核梁的正应力、切应力强度条件。校核梁的正应力、切应力强度条件。CAB40401010yc1FS0.250.75(kN)_
42、+M(kN.m)0.250.5+_课件学习249弯曲应力弯曲应力该梁满足强度要求该梁满足强度要求课件学习250一、合理配置梁的荷载和支座一、合理配置梁的荷载和支座1、将将荷荷载分散载分散2、合合理理设设置支座位置置支座位置梁的合理设计Pl/2ABl/2CPl/4ABl/4l/4l/4D+Pl/4M图+Pl/8M图Pl/8qlABql2/8M图+q3l/5ABl/5l/5M图+-ql2/40ql2/50ql2/50弯曲应力弯曲应力课件学习251二、合理选取截面形状二、合理选取截面形状 从从弯弯曲曲强强度度考考虑虑，比比较较合合理理的的截截面面形形状状，是是使使用用较较小小的的截截面面面面积积，却却能能获获得得较较大大抗抗弯弯截截面面系系数数的的截截面面。在在一一般般截截面面中中，抗抗弯弯截截面面系系数数与与截截面面高高度度的的平平方方成成正正比比。因因此此，当当截截面面面面积积一一定时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。定时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。面积相同时：工字形优于矩形，矩形优于正方形；面积相同时：工字形优于矩形，矩形优于正方形； 环形优于圆形。环形优于圆形。 同时应
43、尽量使拉、压应力同时应尽量使拉、压应力同时同时达到最大值。达到最大值。弯曲应力弯曲应力s smaxs smin课件学习252三、合理设计梁的外形（等强度梁）三、合理设计梁的外形（等强度梁） 梁梁内内不不同同横横截截面面的的弯弯矩矩不不同同。按按最最大大弯弯矩矩所所设设计计的的等等截截面面梁梁中中，除除最最大大弯弯矩矩所所在在截截面面外外，其其余余截截面面的的材材料料强强度度均均末末得得到到充充分分利利用用。因因此此，在在工工程程实实际际中中，常常根根据据弯弯矩矩沿沿梁梁轴轴的的变变化化情情况况，将将梁梁也也相相应应设设计计成成变变截截面面的的。横横截截面面沿沿梁梁轴轴变变化化的的梁梁，称称为为变截面梁变截面梁。 各各个个横横截截面面具具有有同同样样强强度度的的梁梁称称为为等等强强度度梁梁，等等强强度度梁梁是是一一种种理理想想的的变变截截面面梁梁。但但是是，考考虑虑到到加加工工制制造造以以及及构构造造上上的的需需要要等等，实际构件往往设计成近似等强的。实际构件往往设计成近似等强的。弯曲应力弯曲应力FABFAB课件学习253 85梁横截面上的切应力kNkNm课件学习254一、矩形截面梁的切
44、应力一、矩形截面梁的切应力假设：假设：1、横截面上的方向与FS平行2、沿截面宽度是均匀分布的zyFs课件学习255课件学习256F Fs s 横截面上的剪力横截面上的剪力；I IZ Z 截面对中性轴的惯性矩；截面对中性轴的惯性矩；b b 截面的宽度；截面的宽度； S SZ Z 宽度线一侧的面积对中性轴的静矩宽度线一侧的面积对中性轴的静矩. . 课件学习257 矩形截面简支梁，加载于梁中点矩形截面简支梁，加载于梁中点C C，如，如图示。图示。求求max max , , maxmax 。细长等值梁 例题例题例题例题 1 1课件学习258二、工字形截面梁的切应力二、工字形截面梁的切应力 横截面上的切应力(95-97)由腹板承担,而翼缘仅承担了(3-5) ,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.hh0t课件学习259三、圆形和圆环形截面梁的最大切三、圆形和圆环形截面梁的最大切应力应力zydDdA为圆环形截面面积课件学习260 例题例题例题例题 2 2图示矩形截面简支梁受均布荷载作用，分别求最大剪力所在的截面上a、b、c三点处的切应力。解解（1）
45、作出剪力图，最大剪力在A、B处的截面上；（2）各点处的切应力课件学习261课件学习262 例题例题例题例题 3 3 图示外伸梁，荷载、T形截面对中性轴的惯性矩 及形心位置已标在图上，试求梁的最大切应力。 解解 （1）作剪力图，可知危险截面在BC梁段上， （2）梁的最大切应力发生在梁段任意截面的中性轴处课件学习263 T形梁尺寸及所受荷载如图所示形梁尺寸及所受荷载如图所示, 已知已知s sy=100MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2104mm4。求：。求：1)C左侧截面左侧截面E点的正应力、切应力；点的正应力、切应力；CAB40401010yc1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_ 例题例题例题例题 4 4课件学习264课件学习26585平面应力状态的应力分析平面应力状态的应力分析 主应主应力力一、公式推导：课件学习266二、符号规定：角角 由由x x正向逆时针转到正向逆时针转到n n正正向者为正；反之为负。向者为正；反之为负。正正 应应 力力拉应力为正拉应力为正压应力为负压应力为负切切 应应 力力 使单元体或其局部顺使单元体或其局部顺时针方向转动为正
46、；反之时针方向转动为正；反之为负。为负。课件学习267 某单元体应力如图所示，其铅垂方向某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面上的应力已知，互相垂直和水平方向各平面上的应力已知，互相垂直的二斜面的二斜面abab和和bcbc的外法线分别与的外法线分别与x x轴成轴成30300 0和和60600 0角，试求此二斜面角，试求此二斜面abab和和bcbc上的应力。上的应力。例例例例 题题题题 在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其的和为一常数。课件学习268主应力及最大切应力主应力及最大切应力 由主平面定义，令由主平面定义，令t t =0，得：，得： 可求出两个相差可求出两个相差90o的的 0值，对应两个互相垂直主平面。值，对应两个互相垂直主平面。令令得：得：即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。 主应力大小：主应力大小： 由由s s、s s、0按代数值大小排序得出：按代数值大小排序得出：s s1s s2s s3 课件学习269极值切应力：极值切应力： 令：令： ，可求出两个相差，可求出两个相差90o 的的 1，代表两个相互垂直的极值切应力方
47、位。，代表两个相互垂直的极值切应力方位。极值切应力：极值切应力： (极值切应力平面与主平面成极值切应力平面与主平面成45o)课件学习27086应力集中的概念应力集中的概念 应力集中程度与外形的骤变程度直接相关，骤变越剧应力集中程度与外形的骤变程度直接相关，骤变越剧烈，应力集中程度越剧烈。烈，应力集中程度越剧烈。 静载下静载下，塑性材料可不考虑，脆性材料（除特殊的，塑性材料可不考虑，脆性材料（除特殊的，如铸铁）应考虑。如铸铁）应考虑。 动载下动载下，塑性和脆性材料均需考虑。塑性和脆性材料均需考虑。理想应力集中系数理想应力集中系数:其中：其中：-最大局部应力最大局部应力-名义应力（平均应力）名义应力（平均应力）课件学习271、几种对应关系、几种对应关系 点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力； 转向对应半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一致；二倍角对应半径转过的角度是斜截面旋转角度的两倍。ADa(s sx ,t tx)d(s sy ,t ty)c课件学习272点 面 对 应caA课件学习273转向对应、二倍角对应2 2ab课件学习274例例例例 题题题题 8.
48、48.4 试用应力圆法计算图示单元体试用应力圆法计算图示单元体e-fe-f截截面上的应力。图中应力的单位为面上的应力。图中应力的单位为MPaMPa。课件学习275例例例例 题题题题 8.58.5 对于图中所示之平面应力状态，若要对于图中所示之平面应力状态，若要求面内最大切应力求面内最大切应力maxmax85MPa85MPa，试求，试求x x的的取值范围。图中应力的单位为取值范围。图中应力的单位为MPaMPa。ad课件学习276 主应力和主平面切应力等于零的截面为主平面主平面上的正应力称为主应力a(s sx ,t tx)d(s sy ,t ty)c课件学习277例例例例 题题题题 8.68.6 已知矩形截面梁已知矩形截面梁, ,某截面上的剪力某截面上的剪力F Fs s=120kN=120kN及及弯矩弯矩M=10kNm.M=10kNm.绘出表示绘出表示1 1、2 2、3 3、4 4点应力状态的单点应力状态的单元体，并求出各点的主应力。元体，并求出各点的主应力。b=60mm,h=100mm.b=60mm,h=100mm.1、画各点应力状态图、画各点应力状态图2、计算各点主应力、计算各点主应力
49、1点点2点点 (处于纯剪状态处于纯剪状态)3点点(一般平面状态一般平面状态)4点点课件学习278例例例例 题题题题 8.78.7 自受力构件内取一单元体自受力构件内取一单元体, ,其上承受应力如其上承受应力如图示图示, ., .试求此点的主应力及试求此点的主应力及主平面主平面. .ad面面,db面是该点的主平面面是该点的主平面.课件学习279例例例例 题题题题 8.88.8 构件中某点为平面应力状态，两斜截构件中某点为平面应力状态，两斜截面上的应力如图所示。试用应力圆求主应力面上的应力如图所示。试用应力圆求主应力和最大切应力和最大切应力在应力圆上量取在应力圆上量取课件学习280平面应力状态的几种特殊情况轴向拉伸压缩课件学习281平面应力状态的几种特殊情况扭 转课件学习282弯 曲平面应力状态的几种特殊情况课件学习283强度分析与计算强度分析与计算第八章第八章课件学习28481容许应力与强度理论 82轴向拉压杆的强度计算 83连接件的强度计算 84梁的正应力和切应力强度计算85梁的主应力强度计算 86扭转杆的强度计算 87组合变形杆的强度计算 88提高构件弯曲强度的途径课件学习28581
50、容许应力与强度理论容许应力与强度理论一：容许应力与安全系数一：容许应力与安全系数材料丧失工作能力称为失效，材料失效时的应力称为极限应力，记为 。 构件在何在作用下产生的应力称为工作应力。最大工作应力所在的截面称为危险截面。容许应力容许应力课件学习286塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料 工程中各类构件的安全系数均在相关设计规范中有所规定课件学习287强度理论强度理论第一强度理论第二强度理论第三强度理论第四强度理论课件学习288第一强度理论（最大拉应力理论） 使材料发生断裂破坏的主要因素是最大主拉应力1，只要1达到单向拉伸时材料的强度极限b材料将要断裂破坏。破坏条件强度条件该理论与均质的脆性材料的实验结果吻合较好该理论与均质的脆性材料的实验结果吻合较好. .课件学习289第二强度理论（最大伸长线应变理论） 当材料的最大伸长线应变1达到材料单向受拉破坏时的线应变b=b/E时，材料将要发生断裂破坏。破坏条件强度条件该理论只与少数脆性材料的实验结果吻合该理论只与少数脆性材料的实验结果吻合. .课件学习290第三强度理论（最大切应力理论） 最大切应力是使材料发生屈服破坏的根本原因只要最大切应力ma
51、x达到材料单向受力时的屈服极限s所对应的极限切应力s=s/2，材料将发生屈服（剪断）破坏.破坏条件强度条件课件学习291第四强度理论（能量理论） 形状改变比能是引起材料屈服破坏的基本原因只要复杂应力状态下材料形状改变比能达到单向受力情况屈服破坏时相应的极限形状改变比能，材料就会发生屈服破坏。破坏条件强度条件第三强度理论偏于安全第三强度理论偏于安全, ,第四强度理论偏于经济第四强度理论偏于经济课件学习292在大多数应力状态下在大多数应力状态下, ,脆性材料将发生脆性断裂脆性材料将发生脆性断裂. .因而应选用第因而应选用第一强度理论一强度理论; ;而在大多数应力状态下而在大多数应力状态下, ,塑性材料将发生屈服和剪塑性材料将发生屈服和剪断断. .故应选用第三强度理论或第四强度理论故应选用第三强度理论或第四强度理论. .但材料的破坏形式但材料的破坏形式不仅取决于材料的力学行为不仅取决于材料的力学行为, ,而且与所处的应力状态而且与所处的应力状态, ,温度和加温度和加载速度有关载速度有关. .实验表明实验表明, ,塑性材料在一定的条件下塑性材料在一定的条件下( (低温和三向拉低温和三向拉伸伸)
52、, ),会表现为脆性断裂会表现为脆性断裂. .脆性材料在三向受压表现为塑性屈服脆性材料在三向受压表现为塑性屈服. .课件学习293例例例例 题题题题 已知铸铁构件上危险点处的应力状态，如图所示。若铸铁拉伸许用应力为30MPa，试校核该点处的强度是否安全。231110(单位 MPa)第一强度理论第一强度理论课件学习294例例例例 题题题题 某结构上危险点处的应力状态如图所示，其中116.7MPa，46.3MPa。材料为钢，许用应力160MPa。试校核此结构是否安全。第三强度理论第三强度理论第四强度理论第四强度理论课件学习295例例例例 题题题题 对图示的纯剪切应力状态，试按强度理论建立纯剪切状态下的强度条件，并导出剪切许用应力与拉伸许用应力之间的关系。KK单元体纯剪切强度条件单元体纯剪切强度条件第一强度理论第一强度理论第二强度理论第二强度理论对于铸铁对于铸铁: :第三强度理论第三强度理论第四强度理论第四强度理论对于脆性材料对于脆性材料: :对于塑性材料对于塑性材料: :课件学习296 在大多数应力状态下在大多数应力状态下, ,脆性材料将发生脆性断裂脆性材料将发生脆性断裂. .故应选用第一
53、强度理论故应选用第一强度理论; ;而在而在大多数应力状态下大多数应力状态下, ,塑性材料将发生屈服和剪断塑性材料将发生屈服和剪断. .故应选用第三强度理论或第四强故应选用第三强度理论或第四强度理论度理论. .但材料的破坏形式不仅取决于材料的力学行为但材料的破坏形式不仅取决于材料的力学行为, ,而且与所处的应力状态而且与所处的应力状态, ,温温度和加载速度有关度和加载速度有关. .实验表明实验表明, ,塑性材料在一定的条件下塑性材料在一定的条件下( (低温和三向拉伸低温和三向拉伸),),会表现会表现为脆性断裂为脆性断裂. .脆性材料在一定的应力状态脆性材料在一定的应力状态( (三向受压三向受压) )下下, ,会表现出塑性屈服或剪断会表现出塑性屈服或剪断. .工程上常见的断裂破坏主要有三种类型工程上常见的断裂破坏主要有三种类型: :无裂纹结构或构件的突然断裂无裂纹结构或构件的突然断裂. .由脆性材料制成的构件在绝大多数受力情形下都发生突然断裂由脆性材料制成的构件在绝大多数受力情形下都发生突然断裂, ,如受拉的铸铁如受拉的铸铁, ,砼等构件的断裂砼等构件的断裂. .具有裂纹构件的突然断裂具有
54、裂纹构件的突然断裂. .这类断裂经常发生在由塑性材料制成的这类断裂经常发生在由塑性材料制成的, ,且由于各种原因而具有初始裂纹的构件且由于各种原因而具有初始裂纹的构件. .构件的疲劳断裂构件的疲劳断裂. .构件在交变应力作用下构件在交变应力作用下, ,即使是塑性材料即使是塑性材料, ,当经历一定次数的应力交变之后也会发生脆性断裂当经历一定次数的应力交变之后也会发生脆性断裂. .课件学习297例例例例 题题题题 现有两种说法：（现有两种说法：（1 1）塑性材料中若某点的最大拉应力）塑性材料中若某点的最大拉应力maxmax=s s，则该点一定会产生屈服；（，则该点一定会产生屈服；（2 2）脆性材料中若某点的最大拉应力）脆性材料中若某点的最大拉应力maxmax=b b，则该点一定会产生断裂，根据第一、第四强度理论可知，则该点一定会产生断裂，根据第一、第四强度理论可知，说法说法( ). ( ). A.A.（1 1）正确、（）正确、（2 2）不正确；）不正确；B.（1）不正确、（2）正确；C.（1）、（2）都正确；D.（1）、（2）都不正确。BB课件学习298例例例例 题题题题 7.197.19
55、 铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀而被胀裂，铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀而被胀裂，而管内的冰却不会破坏。这是因为（而管内的冰却不会破坏。这是因为（ ）。）。A.冰的强度较铸铁高； B.冰处于三向受压应力状态； C.冰的温度较铸铁高； D.冰的应力等于零。BB课件学习299例例例例 题题题题 7.207.20 若构件内危险点的应力状态为二向等拉，则除若构件内危险点的应力状态为二向等拉，则除（ ）强度理论以外，利用其他三个强度理论得）强度理论以外，利用其他三个强度理论得到的相当应力是相等的。到的相当应力是相等的。A.第一； B.第二； C.第三； D.第四； BB课件学习3008 82 2轴向拉压杆的强度计算轴向拉压杆的强度计算1. 拉压杆的强度条件强度条件强度计算的三类问题 ：(1)、强度校核(2)、截面设计 (3)、确定许用荷载 课件学习301 圆截面等直杆沿轴向受力如图示，材料为铸铁，抗拉许用应力 60Mpa，抗压许用应力 120MPa，设计横截面直径。20KN20KN30KN30KN20KN例例例例 题题题题1 130KN课件学习302图示三角形托架，AC为刚性杆，BD为斜撑杆，荷载F
56、可沿水平梁移动。为使斜撑杆重量为最轻，问斜撑杆与梁之间夹角应取何值？不考虑BD杆的稳定。例例例例 题题题题2 2设F的作用线到A点的距离为xx取ABC杆为研究对象FNBDBD杆：课件学习303剪切：位于两力间的截面发生相对错动受力特点：作用在构件两侧面上的外力的合力大小相等、方向相反、作用线相距很近。FFFsFsFsA8 83 3连接件的强度计算连接件的强度计算课件学习304在计算中，要正确确定有几个剪切面，以及在计算中，要正确确定有几个剪切面，以及每个剪切面上的剪力。每个剪切面上的剪力。课件学习305判断剪切面和挤压面应注意的是：判断剪切面和挤压面应注意的是：剪切面是构件的两部分有发剪切面是构件的两部分有发生相互错动趋势的平面生相互错动趋势的平面挤压面是构件相互压紧部分挤压面是构件相互压紧部分的表面的表面课件学习306 图示钢板铆接件，已知钢板拉伸许用应力98MPa，挤压许用应力bs 196MPa ，钢板厚度10mm，宽度b100mm，铆钉直径d17mm，铆钉许用切应力 137MPa，挤压许用应力bs 314MPa。若铆接件承受的载荷F FP23.5kN。试校核钢板与铆钉的强度。课件
57、学习307拉伸强度拉伸强度课件学习308挤压强度挤压强度课件学习309剪切强度（对于铆钉）剪切强度（对于铆钉）课件学习310 图示木杆接头，已知轴向力F50kN，截面宽度b250mm，木材的顺纹挤压容许应力bs10MPa，须纹许用切应力1MPa。试根据剪切和挤压强度确定接头的尺寸L和a。课件学习311弯曲应力弯曲应力 例例2 已已 知知 16号号 工工 字字 钢钢 Wz=141cm3， l=1.5m， a=1m，s s=160MPa，E=210GPa，在在梁梁的的下下边边缘缘C点点沿沿轴轴向向贴贴一一应应变变片片，测得测得C点轴向线应变点轴向线应变 ,求求F并校核梁正应力强度。并校核梁正应力强度。CNO.16FAB课件学习31284梁横截面上的切应力 切应力强度条件一一、矩形梁横截面上的切应力、矩形梁横截面上的切应力 1、公式推导：、公式推导： 弯曲应力弯曲应力n1mn2m1ze11111ye2e1x2112dxBAyyx xdxxM+dMMFSFSs ss s+ds st tmnmmdx xt tyt tA课件学习313 例例3 求图示矩形截面梁横截面上的切应力分布。求图示矩形截面梁
58、横截面上的切应力分布。 Oyzbht tmaxyOt t代入切应力公式代入切应力公式：解：将解：将 切应力切应力t t呈图示的呈图示的抛物线分布，在最边缘处为零抛物线分布，在最边缘处为零在中性轴上最大，在中性轴上最大，其值为：其值为： 平均切应力平均切应力 弯曲应力弯曲应力x xdx x课件学习314二、工字形截面梁上的切应力二、工字形截面梁上的切应力腹板上任一点处的可直接由矩形梁的公式得出：腹板上任一点处的可直接由矩形梁的公式得出：式中：式中：d为腹板厚度为腹板厚度三、薄壁环形截面梁上的切应力三、薄壁环形截面梁上的切应力假设假设 ：1、切应力沿壁厚无变化；、切应力沿壁厚无变化；2、切应力方向与圆周相切、切应力方向与圆周相切式中：式中：A为圆环截面面积为圆环截面面积四、圆截面梁上的切应力四、圆截面梁上的切应力式中：式中：A为圆截面面积为圆截面面积对对于于等等直直杆杆，最最大大切切应应力力的统一表达式为：的统一表达式为：弯曲应力弯曲应力课件学习315五、梁的切应力强度条件五、梁的切应力强度条件 与正应力强度条件相似，也可以进行三方面的工作：与正应力强度条件相似，也可以进行三方面的工作：1
59、、强度校核强度校核，2、截面设计，截面设计，3、确定梁的许可荷载确定梁的许可荷载但通常用于但通常用于校核校核。特殊的特殊的：1、梁的最大弯矩小，而最大剪力大；、梁的最大弯矩小，而最大剪力大；2、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值；、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值； 3、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。需进行切应力强度计算。需进行切应力强度计算。弯曲应力弯曲应力课件学习316拉压强度相等材料：拉压强度相等材料： 拉压强度不等材料：拉压强度不等材料： 根据强度条件可进行：根据强度条件可进行：85梁的正应力强度条件弯曲应力弯曲应力1、强度校核强度校核:2、截面设计截面设计:3、确定梁的许可荷载确定梁的许可荷载:课件学习317例例4 T形梁尺寸及所受荷载如图所示形梁尺寸及所受荷载如图所示, 已知已知s sy=100MPa，s sL=50MPa，t t=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2104mm4。求：。求：1)C左侧截面左侧截面E点的正应力、点的正应力、切应力；切应力；2)校核梁的正应力、切应力强度条件。校核梁的正
60、应力、切应力强度条件。CAB40401010yc1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_课件学习318弯曲应力弯曲应力该梁满足强度要求该梁满足强度要求课件学习31987组合变形杆强度计算一、组合变形的概念一、组合变形的概念1.组合变形组合变形：构件同时存在两种以上基本变形：构件同时存在两种以上基本变形2.分类分类-两个平面弯曲的组合两个平面弯曲的组合(斜弯曲斜弯曲) 拉伸拉伸(或压缩或压缩)与弯曲的组合，以及偏心拉、压与弯曲的组合，以及偏心拉、压 扭转与弯曲或扭转与拉伸扭转与弯曲或扭转与拉伸(压缩压缩)及弯曲的组合及弯曲的组合3.一般不考虑剪切变形；一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯曲为主，含弯曲组合变形，一般以弯曲为主，其危险截面主要依据其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯曲剪应力。，一般不考虑弯曲剪应力。课件学习320用强度准则进行强度计算用强度准则进行强度计算 1.叠叠加加原原理理：在在线线弹弹性性、小小变变形形下下，每每一一组组载载荷荷引引起起的变形和内力不受彼此影响，可采用代数相加；的变形和内力不受彼此影响，可采用代数相加；二、基本解法
61、二、基本解法(叠加法叠加法)2.基本解法：基本解法：外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一种基本变形的一种基本变形分别计算各基本变形下的内力及应力分别计算各基本变形下的内力及应力将各基本变形应力进行叠加将各基本变形应力进行叠加(主要对危险截面危险点主要对危险截面危险点)对危险点进行应力分析对危险点进行应力分析(s s1s s2s s3)课件学习321 平面弯曲平面弯曲：对于横截面具有对称轴的梁，当横向外力或：对于横截面具有对称轴的梁，当横向外力或外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲。这时，外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲。这时，梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线。梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线。 斜弯曲斜弯曲：双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内：双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时承受横向外力作用的情况，这时梁分别在水平纵对称面同时承受横向外力作用的情况，这时梁分别在水平纵对称面和铅垂纵对称面内发生对称弯曲。（也称为和铅垂纵对称面内发生对称弯曲。（也称为两个相互垂直平两个
62、相互垂直平面内的弯曲面内的弯曲）三两相互垂直平面内的弯曲课件学习322 在梁的任意横截面在梁的任意横截面mm上，由上，由P1和和P2引起的弯矩值依次为：引起的弯矩值依次为： 在梁的任意横截面在梁的任意横截面mm上任一点，与上任一点，与My和和Mz对应的正应力对应的正应力依次为：依次为： 上式即为双对称截面梁在两相互垂直平面内发生对称弯曲上式即为双对称截面梁在两相互垂直平面内发生对称弯曲(斜斜弯曲）时正应力的计算公式。弯曲）时正应力的计算公式。 课件学习323 式中，式中，Iy和和Iz分别为横截面对于两对称轴分别为横截面对于两对称轴y和和z的惯性矩；的惯性矩；M y和和Mz分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩，且分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩，且其力矩矢量分别与其力矩矢量分别与y轴和轴和z轴的正向相一致。在具体计算中，轴的正向相一致。在具体计算中，也可以先不考虑弯矩也可以先不考虑弯矩M y、Mz和坐标和坐标y、z的正负号，以它们的的正负号，以它们的绝对值代入，然后根据梁在绝对值代入，然后根据梁在P1和和P2分别作用下的变形情况，分别作用下的变形情况，来判断上式右边两项的
63、正负号来判断上式右边两项的正负号。 为确定横截面上最大正应力点的位置，应先求截面上的为确定横截面上最大正应力点的位置，应先求截面上的中性轴位置。由于中性轴上各点处的正应力均为零，令中性轴位置。由于中性轴上各点处的正应力均为零，令y0、z0代表中性轴上任一点的坐标，则由上式可得中性轴的方程为：代表中性轴上任一点的坐标，则由上式可得中性轴的方程为： 由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线。它由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线。它与与y轴的夹角轴的夹角为：为：课件学习324 式中角度式中角度是横截面上合成弯矩是横截面上合成弯矩M矢量与矢量与y轴间的夹角。一般轴间的夹角。一般情况下，由于截面的情况下，由于截面的Iy不等于不等于Iz ，因而中性轴与合成弯矩，因而中性轴与合成弯矩M所在所在的平面并不相互垂直。并由于截面的挠度垂直于中性轴，所以挠的平面并不相互垂直。并由于截面的挠度垂直于中性轴，所以挠曲线将不在合成弯矩所在的平面内。故这种弯曲称为曲线将不在合成弯矩所在的平面内。故这种弯曲称为斜弯曲斜弯曲。 在确定中性轴的位置后，作平行于中性轴在确定中性轴的位置后，作平行于中性轴的两直
64、线，分别与横截面周边相切于的两直线，分别与横截面周边相切于D1、D2两点，该两点即分别为横截面上拉应力和压应两点，该两点即分别为横截面上拉应力和压应力为最大的点。力为最大的点。 将两点的坐标将两点的坐标(y，z)分别代分别代人，就可得到横截面上的最大拉、压应力。人，就可得到横截面上的最大拉、压应力。 对于工程中常用的矩形、工字形等对于工程中常用的矩形、工字形等截面梁，其横截面都有两个相互垂直的截面梁，其横截面都有两个相互垂直的对称轴，且截面的周边具有棱角，故横对称轴，且截面的周边具有棱角，故横截面上的最大正应力必发生在截面的棱截面上的最大正应力必发生在截面的棱角处。于是，可根据梁的变形情况，直角处。于是，可根据梁的变形情况，直接确定截面上最大泣、压应力点的位置，接确定截面上最大泣、压应力点的位置，而无需定出其中性轴。而无需定出其中性轴。课件学习325 在确定了梁的危险截面和危险点的位置，并算出危险点处的在确定了梁的危险截面和危险点的位置，并算出危险点处的最大正应力后，由于危险点处是单轴应力状态，于是，可将最大最大正应力后，由于危险点处是单轴应力状态，于是，可将最大正应力与材料的许用正应
65、力相比较来建立强度条件，进行强度计正应力与材料的许用正应力相比较来建立强度条件，进行强度计算。至于横截面上的剪应力，一般因其数值都比较小，故在强度算。至于横截面上的剪应力，一般因其数值都比较小，故在强度计算中可不必考虑。计算中可不必考虑。 例例1 20 a号工字钢悬臂梁受集度为号工字钢悬臂梁受集度为q的均布荷载和集中力的均布荷载和集中力P=qa/2作用，如作用，如图所示。已知钢的许用弯曲正应力图所示。已知钢的许用弯曲正应力o=160MPa，a1m。试求此梁的许可荷。试求此梁的许可荷载集度载集度q。课件学习326解：将自由端解：将自由端B截面上的集中截面上的集中力沿两主轴分解，并分别绘出力沿两主轴分解，并分别绘出两个主轴平面内的弯矩图。两个主轴平面内的弯矩图。 由型钢表查得由型钢表查得20a号工字钢的抗弯号工字钢的抗弯截面系数截面系数Wz和和Wy值分别为：值分别为： 根据工字钢截面根据工字钢截面Wz不等不等于于Wy 的特点并结合内力图情的特点并结合内力图情况，可按叠加原理分别算出况，可按叠加原理分别算出A截面及截面及D截面上的最大拉伸应截面上的最大拉伸应力，即：力，即： 由此可见，该梁的
66、危险点在固定端由此可见，该梁的危险点在固定端A截面的棱角处。由于危险点处是单截面的棱角处。由于危险点处是单轴应力状态，故可将最大弯曲正应力与许用弯曲正应力相比较来建立强度条轴应力状态，故可将最大弯曲正应力与许用弯曲正应力相比较来建立强度条件，即件，即:解得：解得：课件学习327 例例2 一铸铁悬臂梁受集度为一铸铁悬臂梁受集度为q=15kNm的均布荷载作用，如图所示。已的均布荷载作用，如图所示。已知铸铁的许用拉应力知铸铁的许用拉应力40MPa，许用压应力，许用压应力c=160MPa，梁的截面尺寸，梁的截面尺寸为为d160mm，b=70mm，h110mm。试核核此梁的强度，并绘出危险截面。试核核此梁的强度，并绘出危险截面上的正应力变化图。上的正应力变化图。 解：该梁横截面具有两个对称袖，解：该梁横截面具有两个对称袖，但因荷载作用面与纵向对称面间有但因荷载作用面与纵向对称面间有-300的夹角，故此梁为非对称弯曲。求解的夹角，故此梁为非对称弯曲。求解方法是先将荷载沿两主轴分解为：方法是先将荷载沿两主轴分解为： 该梁在该梁在qy和和qz作用下，将分别以作用下，将分别以z轴和轴和y轴轴为中性轴发生
67、对称弯曲危险截面上的弯矩值为为中性轴发生对称弯曲危险截面上的弯矩值为课件学习328 由于该梁横截面无外棱角，要求得危险截面上的最大拉应力和最大压由于该梁横截面无外棱角，要求得危险截面上的最大拉应力和最大压应力，须确定中性轴和位置应力，须确定中性轴和位置 作平行于中性轴的两条直线分别与横截面周边相切于作平行于中性轴的两条直线分别与横截面周边相切于D1和和D2，该两点即，该两点即为斜弯曲时横截面上最大拉应力和最大压应力点。为斜弯曲时横截面上最大拉应力和最大压应力点。 绘出了此粱分别以绘出了此粱分别以z轴和轴和y轴为中轴为中性轴对称弯曲时的正应力变化规律，性轴对称弯曲时的正应力变化规律，可以看出，可以看出，D1点均处于拉应力而点均处于拉应力而D2点点均处于压应力。因此，按两个对称弯均处于压应力。因此，按两个对称弯曲叠加后的曲叠加后的D1点即为该截面上的最大点即为该截面上的最大拉应力点，而拉应力点，而D2点为最大压应力点。点为最大压应力点。该梁能满足正应力强度条件该梁能满足正应力强度条件课件学习329 弯曲与拉伸（压缩）组合变形：弯曲与拉伸（压缩）组合变形：当杆上的外力除横向力外，当杆上的外力
68、除横向力外，还受有轴向拉（压）力时，所发生的组合变形。还受有轴向拉（压）力时，所发生的组合变形。（一）、计算方（一）、计算方法：法：1.分别计算轴向力引起的正应力和横向力引起的正应力；分别计算轴向力引起的正应力和横向力引起的正应力；2.按叠加原理求正应力的代数和，即可。按叠加原理求正应力的代数和，即可。（二）、注意事（二）、注意事项：项： 1.如如果果材材料料许许用用拉拉应应力力和和许许用用压压应应力力不不同同，且且截截面面部部分分区区域域受受拉拉，部部分分区区域域受受压压，应应分分别别计计算算出出最最大大拉拉应应力力和和最最大大压压应应力力，并并分别按拉伸、压缩进行强度计算。分别按拉伸、压缩进行强度计算。 2.如如果果横横向向力力产产生生的的挠挠度度与与横横截截面面尺尺寸寸相相比比不不能能忽忽略略，则则轴轴向向力力在在横横截截面面上上引引起起附附加加弯弯矩矩 M=Py亦亦不不能能忽忽略略，这这时时叠叠加加法法不不能能使使用，应考虑横向力与轴向力之间的相互影响。用，应考虑横向力与轴向力之间的相互影响。 xqPPy四 拉伸(压缩)与弯曲组合变形课件学习330 例例3 图示起重机的最大吊重
69、图示起重机的最大吊重P=12kN，材料许用应力，材料许用应力s s=100MPa，试为试为AB杆选择适当的工字梁。杆选择适当的工字梁。 解：解：(1)根据根据AB杆的受力简图，由平衡条件，得：杆的受力简图，由平衡条件，得： (2)作作AB杆杆的的弯弯矩矩图图和和轴轴力力图图：C点点左左截截面面上上，弯弯矩矩为为极极值值而而轴轴力力与与其其它截面相同，故为危险截面。它截面相同，故为危险截面。 (3)计计算算时时暂暂不不考考虑虑轴轴力力影影响响，只只按按弯弯曲曲正正应应力力强强度度条条件件确确定定工工字字梁梁的的抗弯截面模量，有：抗弯截面模量，有： (4)查查型型钢钢表表，选选取取W=141cm3的的16号号工工字字梁梁，然然后后按按压压弯弯组组合合变变形形进进行行校核。易知，在校核。易知，在C截面下缘的压应力最大，且有：截面下缘的压应力最大，且有： 最大压应力略小于许用应力，说明选取最大压应力略小于许用应力，说明选取16号工字号工字梁是合适的。梁是合适的。 课件学习331RAHATCABP24kN_NB2m1m1.5mPACTxTy12kNm_M课件学习332 例例4 图图示示压压力力机
70、机，最最大大压压力力P=1400kN，机机架架用用铸铸铁铁作作成成，许许用用拉拉应应力力s sL=35MPa，许许用用压压应应力力s sy=140MPa，试试校校核核该该压压力力机机立立柱柱部部分分的的强强度度。立立柱柱截截面面的的几几何何性性质质如如下下：yc=200mm，h=700mm，A=1.8105mm2，Iz=8.0109mm4。在在偏偏心心拉拉力力P作作用用下下横横截截面面上上的的内内力力及及各各自自产产生生的的应应力力如如图图：最最大大组组合合正正应应力发生在截面内、外侧边缘力发生在截面内、外侧边缘a、b处，其值分别为处，其值分别为 解：由图可见，载荷解：由图可见，载荷P偏离立柱轴线，其偏心距为：偏离立柱轴线，其偏心距为： e=yc+500=200+500=700mm。可见，立柱符合强度要求。可见，立柱符合强度要求。 课件学习333Pe500PPhzycycN=PM=PeN=Ps sNy2ycbcas sas sbM=Pes sas sb课件学习334（一）、单向弯曲与扭转组合变形（一）、单向弯曲与扭转组合变形 1.引例：以钢制摇臂轴为例。引例：以钢制摇臂轴为例。 外力向
71、形心简化外力向形心简化(建立计算模型建立计算模型)： 作弯矩、扭矩图作弯矩、扭矩图(找危险截面找危险截面)：由弯矩图知：由弯矩图知：A截面截面|M|max；全梁；全梁Mn处处相同，处处相同，A截面为危险截面：截面为危险截面： 危危险险截截面面的的危危险险点点：A截截面面K1、K2点点，t t、s s数数值值均均为为最最大大，K1、K2点均为危险点：点均为危险点：K2点：点： K1点：点：五弯曲与扭转组合变形课件学习335PaPLMTn_xLayzAPCBdPPaAs ss st tt tK1K2s ss st ts sK1t ts sK2课件学习336对对危危险险点点进进行行应应力力分分析析：(从从K1、K2点点取取单单元元体体，因因它它们们的的s s、t t数值分别相同，危险程度也相同，不妨取数值分别相同，危险程度也相同，不妨取K1点研究点研究)：进行强度计算：进行强度计算：(圆轴：圆轴：Wn=2Wz) 2.讨论：讨论： 公式公式1)、3)可用于一般构件中只有一对可用于一般构件中只有一对s s的平面应力状态；的平面应力状态； 公式公式2)、4)只能用于圆轴单向弯扭变形。只能用于圆轴单
72、向弯扭变形。 （二）、双向弯曲和扭转强度计算（二）、双向弯曲和扭转强度计算(基本步骤与前相同基本步骤与前相同)课件学习337 例例 5 图图 示示 皮皮 带带 轮轮 传传 动动 轴轴 ， 传传 递递 功功 率率 N=7kW， 转转 速速n=200r/min。皮皮带带轮轮重重量量Q=1.8kN。左左端端齿齿轮轮上上啮啮合合力力Pn与与齿齿轮轮 节节 圆圆 切切 线线 的的 夹夹 角角 (压压 力力 角角 )为为 20o。 轴轴 材材 料料 的的 许许 用用 应应 力力s s=80MPa，试按第三强度理论设计轴的直径。，试按第三强度理论设计轴的直径。 解：解：外力简化外力简化(建立计算模型建立计算模型)：外力向：外力向AB轴轴轴轴线简化，并计算各力大小。线简化，并计算各力大小。 课件学习338zyD1ABCD200200400f f300f f500D2MyMz0.446kNm0.8kNm0.16kNm0.36kNmF1=2F2F220oPnxyQPyPz3F2TnTnQQPyPz课件学习339作轴的扭矩图和弯矩图作轴的扭矩图和弯矩图(确定轴的危险截面确定轴的危险截面)： 因因全全轴轴上上
73、扭扭矩矩相相等等，所所以以扭扭矩矩图图略略。作作xz平平面面内内的的My图图和和作作xy平面的平面的Mz图，可以看出图，可以看出D截面为危险截面，其上的内力为截面为危险截面，其上的内力为最后根据第三强度理论设计轴的直径：最后根据第三强度理论设计轴的直径： 讨论：讨论： 对于圆轴，由于对称性，其横截面上的两方向弯矩可以矢量合成对于圆轴，由于对称性，其横截面上的两方向弯矩可以矢量合成合合成成弯弯矩矩可可能能最最大大点点在在各各方方向向弯弯矩矩图图的的尖尖点点处处，如如上上题题，可可能能合弯矩最大值在合弯矩最大值在C、D处；处；课件学习3401.构件外力与轴线平行但不与轴线重合时，即为偏心拉伸或压缩。构件外力与轴线平行但不与轴线重合时，即为偏心拉伸或压缩。 2.横截面上任意点的应力：横截面上任意点的应力： 六偏心拉伸(压缩) 对对于于受受偏偏心心压压缩缩的的短短柱柱，y、z轴轴为为形形心心主主惯惯性性轴轴，P作作用用点点坐坐标标为为yP、zP，将将P向向形形心心简简化化，则则各各内内力力在在(y,z)点点引引起起的的应应力分别为：力分别为：负号表示为压应力；负号表示为压应力； 组合应力：组合
74、应力： 式中：式中： 截面对截面对z、y轴的惯性半径。轴的惯性半径。 课件学习341OzyOOxyzAPezPyPyPzPAyBzPMz =PyPMy=PzPD1azD2ay课件学习3423.中性轴方程：中性轴方程： 利用中性轴处的正应力为零，得中性轴方程利用中性轴处的正应力为零，得中性轴方程y0=f(z0)为：为： 直线方程直线方程 中性轴在中性轴在y、z轴上的截轴上的截距分别为：距分别为： 1)ay、az分分别别与与yP、zP符符号号相相反反，故故中中性性轴轴与与偏偏心心压压力力P的的作用点位于截面形心的两侧。作用点位于截面形心的两侧。 2)中中性性轴轴将将截截面面分分成成两两个个区区，压压力力P所所在在区区受受压压，另另一一区区受受拉拉。在在截截面面周周边边上上，D1和和D2两两点点切切线线平平行行于于中中性性轴轴，它它们们是是离中性轴最远的点，应力取极值。离中性轴最远的点，应力取极值。课件学习343 例题例题6 图示一夹具。在夹紧零件时，夹具受到的外力为图示一夹具。在夹紧零件时，夹具受到的外力为P2kN。已知：。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离为外力作用线与夹具竖杆轴线
75、间的距离为e=60mm，竖杆横截面的尺寸为，竖杆横截面的尺寸为b=10mm，h=22mm，材料的，材料的许用应力许用应力170MPa。试校核此夹具竖杆的强度。试校核此夹具竖杆的强度。 解：对于夹具的竖杆，解：对于夹具的竖杆，P力是一对偏力是一对偏心拉力。心拉力。 对竖杆的作用相当于图对竖杆的作用相当于图b中所中所示的一对轴向拉力示的一对轴向拉力P和一对在竖杆的纵和一对在竖杆的纵向对称平面内的力偶；拉伸和弯曲的向对称平面内的力偶；拉伸和弯曲的组合变形。组合变形。 竖杆的危险点在横截面竖杆的危险点在横截面的内侧边缘处。都是拉应力。的内侧边缘处。都是拉应力。危险点处的正应力为危险点处的正应力为:强度条件满足，所以竖杆在强度上是安全的。强度条件满足，所以竖杆在强度上是安全的。课件学习344一、合理配置梁的荷载和支座一、合理配置梁的荷载和支座1、将将荷荷载分散载分散2、合合理理设设置支座位置置支座位置 88提高构件弯曲强度的途径梁的合理设计Pl/2ABl/2CPl/4ABl/4l/4l/4D+Pl/4M图+Pl/8M图Pl/8qlABql2/8M图+q3l/5ABl/5l/5M图+-ql2/40
76、ql2/50ql2/50弯曲应力弯曲应力课件学习345二、合理选取截面形状二、合理选取截面形状 从从弯弯曲曲强强度度考考虑虑，比比较较合合理理的的截截面面形形状状，是是使使用用较较小小的的截截面面面面积积，却却能能获获得得较较大大抗抗弯弯截截面面系系数数的的截截面面。在在一一般般截截面面中中，抗抗弯弯截截面面系系数数与与截截面面高高度度的的平平方方成成正正比比。因因此此，当当截截面面面面积积一一定时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。定时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。面积相同时：工字形优于矩形，矩形优于正方形；面积相同时：工字形优于矩形，矩形优于正方形； 环形优于圆形。环形优于圆形。 同时应尽量使拉、压应力同时应尽量使拉、压应力同时同时达到最大值。达到最大值。弯曲应力弯曲应力s smaxs smin课件学习346三、合理设计梁的外形（等强度梁）三、合理设计梁的外形（等强度梁） 梁梁内内不不同同横横截截面面的的弯弯矩矩不不同同。按按最最大大弯弯矩矩所所设设计计的的等等截截面面梁梁中中，除除最最大大弯弯矩矩所所在在截截面面外外，其其余余截截面面的的材材料料强强度度均均末末得得到到
77、充充分分利利用用。因因此此，在在工工程程实实际际中中，常常根根据据弯弯矩矩沿沿梁梁轴轴的的变变化化情情况况，将将梁梁也也相相应应设设计计成成变变截截面面的的。横横截截面面沿沿梁梁轴轴变变化化的的梁梁，称称为为变截面梁变截面梁。 各各个个横横截截面面具具有有同同样样强强度度的的梁梁称称为为等等强强度度梁梁，等等强强度度梁梁是是一一种种理理想想的的变变截截面面梁梁。但但是是，考考虑虑到到加加工工制制造造以以及及构构造造上上的的需需要要等等，实际构件往往设计成近似等强的。实际构件往往设计成近似等强的。弯曲应力弯曲应力FABFAB课件学习347杆件变形及结构的杆件变形及结构的位移计算位移计算第九章第九章课件学习34892虚功原理 单位荷载法 93用积分法求梁的变形 94图乘法 95静定结构由于其他因素引起的位移计算96互等定理课件学习34992虚功原理虚功原理 单位荷载法单位荷载法一、虚功原理一、虚功原理功：力对物体作用的累计效果的度量功：力对物体作用的累计效果的度量功：力对物体作用的累计效果的度量功：力对物体作用的累计效果的度量 功功功功= = = =力力力作用点沿力方向上的位移力作用点沿力
78、方向上的位移实功：实功：实功：实功：力在自身所产生的位移上所作的功力在自身所产生的位移上所作的功虚功：虚功：虚功：虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功力在非自身所产生的位移上所作的功课件学习35092虚功原理虚功原理 单位荷载法单位荷载法 P- P-广义力广义力广义力广义力; ; - -广义位移广义位移广义位移广义位移例例例例: : 1)1)作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力2)2)作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶3)3)作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶反向的集中力偶反向的集中力偶反向的集中力偶课件学习35192虚功原理虚功原理 单位荷载法单位荷载法虚功原理虚功原理W=FP112orW=FP221课件学习35292虚功原理虚功原理 单位荷载法单位荷载法原理的表述：原理的表述： 任何一个处于平衡状态的变形体，当任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力发生任
79、意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功在虚位移上所作的总虚功We，恒等于变，恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和功之和Wi。也即恒有如下虚功方程成立。也即恒有如下虚功方程成立We = =Wi课件学习35392虚功原理虚功原理 单位荷载法单位荷载法二、单位荷载法二、单位荷载法图9-6欲求点竖直方向的位移 可在点的竖直方向上加一个单位力 课件学习35492虚功原理虚功原理 单位荷载法单位荷载法在实际状态中，任取一微段在实际状态中，任取一微段在此微段上其轴力在此微段上其轴力产生的轴向变形为产生的轴向变形为弯矩使微段左、右截面产生的相对转角为弯矩使微段左、右截面产生的相对转角为剪力使微段左、右两截面产生的相对错动为剪力使微段左、右两截面产生的相对错动为课件学习35592虚功原理虚功原理 单位荷载法单位荷载法 虚拟外力虚拟外力 在实际位移上所作的外力虚功，应等于虚在实际位移上所作的外力虚功，应等于虚拟内力在实际状态的变形上所作的内力虚功，即拟内力在实际状态的变形上所作的内力虚功，即课件学习35692虚功原理虚功原理 单位荷载法单位荷
80、载法三、各类结构的位移计算公式三、各类结构的位移计算公式一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计1. 对梁和刚架：对梁和刚架：2. 对桁架：对桁架：3. 对组合结构：对组合结构：课件学习35793用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形一、用积分法求梁的变形一、用积分法求梁的变形 变形后梁轴变形后梁轴 线挠曲线线挠曲线 挠度：挠度：y y 变形后梁截面：仍为平面变形后梁截面：仍为平面 梁截面转角：梁截面转角： PxyC C1f变形前梁截面：平面变形前梁截面：平面课件学习35893用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形1.1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移 用用 y y 表示，与坐标表示，与坐标 f 同向为正，反之为负同向为正，反之为负2.2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度，用转角：横截面绕其中性轴转动的角度，用 表示表示 顺时针转动为正，顺时针转动为正，反之为负反之为负3.3.挠曲线：梁变形后，轴线变成的光滑曲线挠曲线：梁变形后，轴线变成的光滑曲线 其方程为其方程为 y y = f (x)课件学习35
81、993用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形例例 求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程，并积分解：解：aPLxf课件学习36093用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形用边界条件用边界条件求积分常数求积分常数aPLxf课件学习36193用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形写出弹性曲线方程并画出曲线写出弹性曲线方程并画出曲线 最大挠度及最大转角最大挠度及最大转角课件学习36293用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形二、梁的刚度条件二、梁的刚度条件 刚度要求就是控制梁在荷载作用下产生的变形不致太大，刚度要求就是控制梁在荷载作用下产生的变形不致太大，以保证梁的正常工作。以保证梁的正常工作。 以以 表示最大挠度，其容许值通常用挠度与跨长的比值表示最大挠度，其容许值通常用挠度与跨长的比值 作为标准，因此，梁的刚度条件可写为作为标准，因此，梁的刚度条件可写为 课件学习36393用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形三、提高梁弯曲刚度的措施三、提高梁弯曲刚度的措施 由前面的计算可知，梁的变形与荷载、梁长度的某一次方由前面的
82、计算可知，梁的变形与荷载、梁长度的某一次方成正比，而与梁的抗弯刚度成反比。因此，要提高梁的弯成正比，而与梁的抗弯刚度成反比。因此，要提高梁的弯曲刚度可以从下面几个方面考虑曲刚度可以从下面几个方面考虑。 1、增大梁的抗弯刚度、增大梁的抗弯刚度 梁的变形与成反比。增大梁的将使变形减小。增大梁的抗弯梁的变形与成反比。增大梁的将使变形减小。增大梁的抗弯刚度主要是设法增大梁的截面惯性矩，在截面面积不变的情刚度主要是设法增大梁的截面惯性矩，在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形状，例如采用工字形、箱形及圆环况下，采用合理的截面形状，例如采用工字形、箱形及圆环等形状的截面，可提高惯性矩。等形状的截面，可提高惯性矩。课件学习36493用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形2、减小梁的跨度、减小梁的跨度如果条件许可，可以将简支梁支座向中间适当移动，将简如果条件许可，可以将简支梁支座向中间适当移动，将简支梁变为外伸梁。一方面减小了梁的跨度，从而减小跨中支梁变为外伸梁。一方面减小了梁的跨度，从而减小跨中最大挠度，另一方面在梁外伸部分的荷载作用下，使梁跨最大挠度，另一方面在梁外伸部分的荷载作用下，使梁跨中产生
83、向上的挠度中产生向上的挠度,从而使梁中段在荷载作用下产生的向下从而使梁中段在荷载作用下产生的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁中的最大挠度值的挠度被抵消一部分，减小了梁中的最大挠度值.课件学习36593用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形3、改善荷载的作用情况、改善荷载的作用情况 在结构条件允许下，合理在结构条件允许下，合理地调整荷载的位置及分布地调整荷载的位置及分布情况，以降低最大弯矩，情况，以降低最大弯矩，从而减小梁的变形。将集从而减小梁的变形。将集中力分散作用，甚至改为中力分散作用，甚至改为分布荷载，就能起到降低分布荷载，就能起到降低最大弯矩，减小变形的作最大弯矩，减小变形的作用。用。课件学习36694 图乘法图乘法 图乘法是图乘法是Vereshagin于于1925年提出的，他当时为莫斯年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。科铁路运输学院的学生。 一、用单位荷载法求梁或刚架的位移时，其积分计算一、用单位荷载法求梁或刚架的位移时，其积分计算过程往往比较繁杂。如果结构满足以下两个条件：过程往往比较繁杂。如果结构满足以下两个条件：（1）杆件为等截面直杆，且为常数；）杆件为等截面直杆
84、，且为常数；（2）在和两个弯矩图中至少有一个是直线图形。）在和两个弯矩图中至少有一个是直线图形。 则可以用则可以用图乘法代替积分法。图乘法代替积分法。 课件学习36794图乘法图乘法 课件学习3689 94 4 图乘法图乘法 图乘法：图乘法：积分式之值等于图的面积乘以其形心下相积分式之值等于图的面积乘以其形心下相应的（直线图形）的竖标，再除以杆的弯曲刚度。应的（直线图形）的竖标，再除以杆的弯曲刚度。 应用图乘法计算时，应注意以下几点：应用图乘法计算时，应注意以下几点：（1）竖标要在直线段弯矩图上取得；）竖标要在直线段弯矩图上取得；（2）每一个面积只对应一条直线段的弯矩图。）每一个面积只对应一条直线段的弯矩图。 当与在杆的同一侧时，两者乘积取正号，反之取当与在杆的同一侧时，两者乘积取正号，反之取负号。负号。课件学习36994 图乘法图乘法 二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法二次抛物线二次抛物线课件学习37094 图乘法图乘法 图图（ ）图图BAq例例1:求图示梁求图示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转角解解:课件学习37
85、194图乘法图乘法 例例2. 试求图示结构试求图示结构B点竖向位移点竖向位移.解解:MPMi课件学习3729 94 4 图乘法图乘法 解解:课件学习37394 图乘法图乘法 例例 3. 已知已知 EI 为常数，求铰为常数，求铰C两侧截面相对转角两侧截面相对转角 。解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图lqllqMP课件学习37494 图乘法图乘法 求求MPMi三、图形分解三、图形分解课件学习37594 图乘法图乘法MP求求Mi 取取 yc的图形必的图形必须是直线须是直线,不能是曲不能是曲线或折线线或折线.课件学习37694 图乘法图乘法 1. 图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，）等截面直杆，EI为常数；为常数；（2）两个）两个M图中应有一个是直线；图中应有一个是直线；（3） 应取自直线图中。应取自直线图中。2. 若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧， 取正值；反之，取正值；反之，取负值。取负值。3. 如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形. 四、图乘法小结四、图乘法小结课件学习37794 图乘法图乘法 例例 1. 已
86、知已知 EI 为常数，求为常数，求、两点相对水平位移两点相对水平位移 。lqhqMP 练习练习课件学习37895静定结构由于其他因素引起的位移计算静定结构由于其他因素引起的位移计算一、静定结构由于支座移动引起的位移计算一、静定结构由于支座移动引起的位移计算K1K课件学习3799 95 5静定结构由于其他因素引起的位移计算静定结构由于其他因素引起的位移计算一、静定结构由于支座移动引起的位移计算一、静定结构由于支座移动引起的位移计算变形体虚功方程为变形体虚功方程为:We =Wi We =1kC+R1 C1 +R2 C2+R3 C3Wi =0 其中其中:计算公式为计算公式为:课件学习3809 95 5静定结构由于其他因素引起的位移计算静定结构由于其他因素引起的位移计算例例1：求：求CBAP=1解：构造虚设力状态解：构造虚设力状态CBAll课件学习3819 95 5静定结构由于其他因素引起的位移计算静定结构由于其他因素引起的位移计算解：构造虚设力状态解：构造虚设力状态( )例例 2：已知：已知 l=12 m , h=8 m , , 求求课件学习3829 95 5静定结构由于其他因素引起的位移计
87、静定结构由于其他因素引起的位移计算算二、静定结构由于温度变化引起的位移计算二、静定结构由于温度变化引起的位移计算 静定结构在温度发生变化时虽然不会产生内力，但是由于材料静定结构在温度发生变化时虽然不会产生内力，但是由于材料的热胀冷缩，将会发生变形和位移。如图所示，刚架外侧温度的热胀冷缩，将会发生变形和位移。如图所示，刚架外侧温度升高了，内侧温度升高了。假设温度沿杆件截面高度按直线变升高了，内侧温度升高了。假设温度沿杆件截面高度按直线变化，这样在温度变化时截面仍保持为平面。下面讨论刚架上任化，这样在温度变化时截面仍保持为平面。下面讨论刚架上任一点沿某方向上位移的计算。一点沿某方向上位移的计算。课件学习3839 95 5静定结构由于其他因素引起的位移计算静定结构由于其他因素引起的位移计算二、静定结构由于温度变化引起的位移计算二、静定结构由于温度变化引起的位移计算设温度沿杆件截面高度线性变化，杆轴温度设温度沿杆件截面高度线性变化，杆轴温度 ，上、下边缘，上、下边缘的温差的温差 ,线膨胀系数为线膨胀系数为 .无剪应变无剪应变若若课件学习3849 95 5静定结构由于其他因素引起的位移计算静定结
88、构由于其他因素引起的位移计算温度引起的位移计算公式温度引起的位移计算公式:对等对等 截截 面面 直直 杆杆:上式中的正、负号：上式中的正、负号：若若 和和 使杆件的同一边使杆件的同一边产生拉伸变形，其乘积为正。产生拉伸变形，其乘积为正。 课件学习38596互等定理互等定理1. 功的互等定理功的互等定理:方法一方法一第第 I 状态状态2第第 状态状态由由W1=W 2先加广义力先加广义力P1后再加广义力后再加广义力P2先加广义力先加广义力P2后再加广义力后再加广义力P1课件学习3869 96 6互等定理互等定理2. 位移互等定理位移互等定理:2第第 II 状态状态第第 I 状态状态2第第 II 状态状态第第 I 状态状态单位广义力单位广义力单位广义力单位广义力1 1引起，单位广义力引起，单位广义力引起，单位广义力引起，单位广义力2 2作用处沿广义力作用处沿广义力作用处沿广义力作用处沿广义力2 2方方方方向的位移，恒等于单位广义力向的位移，恒等于单位广义力向的位移，恒等于单位广义力向的位移，恒等于单位广义力2 2引起，单位广义力引起，单位广义力引起，单位广义力引起，单位广义力1 1作作作作用
89、处沿广义力用处沿广义力用处沿广义力用处沿广义力1 1方向的位移方向的位移方向的位移方向的位移。-位移互等定理位移互等定理位移互等定理位移互等定理课件学习38796互等定理互等定理2第第 II 状态状态第第 I 状态状态单位广义力是量纲为一的量；单位广义力是量纲为一的量；互等不仅是指数值相等，且量纲也相同。互等不仅是指数值相等，且量纲也相同。如图示长如图示长 l ，EI 为常数的简支梁为常数的简支梁课件学习38896互等定理互等定理第第 II 状态状态ACB第第 I 状态状态ACB跨中跨中数值、量纲都相等数值、量纲都相等课件学习38996互等定理互等定理3. 反力互等定理反力互等定理:课件学习390l101 基本概念l102 压杆的稳定计算l103 提高压杆稳定性的措施课件学习391101基本概念l一、临界力一、临界力l一根细长直杆轴向拉伸时，直至被拉断，杆的轴线一根细长直杆轴向拉伸时，直至被拉断，杆的轴线始终保持为直线状态。但是，当此细长杆轴向压缩时，始终保持为直线状态。但是，当此细长杆轴向压缩时，情况就不相同。情况就不相同。 无任何干扰无任何干扰受微小干扰受微小干扰受微小干扰受微小干
90、扰课件学习392 当压力达到该极限值时，压杆既可以在直线状态保持平衡，也可能在微弯状态保持平衡，压杆此时的状态称为临界平衡状临界平衡状态态。而临界平衡状态时的压力称为临界压临界压力力，或称临界临界荷载荷载，用p 表示。 cr 受微小干扰受微小干扰 当压力等于或大于临界力时，微小外界干扰使其偏离初始平衡位置，干扰消除杆件不能恢复到初始平衡位置，故称直杆的初始直线平衡状态是不稳定的。由稳定直线平衡状态转变为不稳定的状态，称为丧失丧失稳定性稳定性，简称失失稳稳。课件学习393二、临界力计算公式l 弹性阶段时 ，细长压杆临界力计算公式（也称为欧拉公式）为l式中： 为压杆的抗弯刚度。 称为长度系数， 称为压杆的计算长度，它综合了压 杆长度和支承情况对临界力的影响。压 杆的临界力与计算长度的平方成 反比。课件学习394 L LLL 课件学习395三、临界应力计算公式l 当压杆处于临界状态时，杆件可以在直线状态下维持平衡（不稳定平衡），这时，压杆横截面上的应力为称为压杆的临界应力 称为截面对形心主轴的惯性半径。 令课件学习396l则上式为上式为压杆临界应力的计算公式。 称为压杆的柔度柔度，又称长细比
91、长细比，是一个无量纲的量。 课件学习397四、欧拉公式的适用范围 只有当杆内临界应力不超过材料的弹性极限时，欧拉公式才是正确的，即将上式用柔度表达，则得式中， 是对应于比例极限的柔度值，称为极限柔度。满足 的压杆，称为大柔大柔度杆度杆或细长杆细长杆 课件学习398五、临界应力的经验公式l直线公式： 适用范围，对塑性材料制成的压杆，要求其临界应力不超过材料的屈服极限，即或 课件学习399l故公式（10-5）的适用范围为 柔度在 和 之间的压杆，称为中柔度杆或中长杆。 对于柔度较小（ ）的压杆，称为小小柔度杆柔度杆或粗短杆粗短杆。实践表明，这类压杆不会发生失稳现象，其失效是由于强度不足而引起的，因此，对粗短杆只需要进行强度计算。 课件学习400 综上所述，可将各类压杆的临界应力计算公式归 纳如下：（1）对于细长杆（ ），采用欧拉公式（2）对于中长杆（ ），采用经验公式（3）对于粗短杆（ ），采用轴向压缩变形的强度公式 （塑性材料） （脆性材料） 课件学习401图10-2塑性材料压杆的临界应力总图。 课件学习402 例例10-1 如图所示的矩形截面压杆，其中 杆长 ，材料为 钢， ，两端为圆
92、柱形铰链约束。试确定此杆的临界力。图10-3课件学习403102 压杆的稳定计算一、压杆的稳定条件一、压杆的稳定条件 p-压杆工作时的轴向力； p -压杆的临界力； n -稳定安全系数。crw如压杆的稳定条件用应力来表示 课件学习404式中临界应力的容许值称为稳定容许应力，等于二、压杆的稳定计算二、压杆的稳定计算 与强度计算类似，压杆的稳定计算一般也有以下三类问题： 1、稳定校核 2、截面设计 3、确定容许荷载课件学习405l例例10-2 18号工字钢压杆如图10-4所示，材料为 钢， ，长度 ,两端固定，规定稳定安全系数 ，试求此压杆的容许轴向荷载 。图10-4课件学习406l例例10-3 试对图10-5所示木屋架中的压杆 进行稳定校核。已知 杆长 ，两端均视为铰接，材质为圆松木 ， ，平均直径 ， 。杆件所受的轴向力 。图10-5课件学习407103 提高压杆稳定性的措施l要提高压杆的稳定性，就必须采取措施，提高其临界力。l影响其临界应力的因素有：压杆的材料性质、长度、截面形状和尺寸，以及杆端支承情况等。 课件学习408l因此，提高压杆的稳定性必须从以下几个方面加以考虑。 一、合理
93、选用材料 二、减小压杆的计算长度 三、选择合理的截面形状课件学习409力法力法第十一章第十一章课件学习410111超静定次数的确定 112力法的典型方程 113力法的计算步骤与示例 114结构对称性的利用 115支座移动时超静定结构的计算 116超静定结构的特性 课件学习41111-1 11-1 超静定结构的组成和超静定次数超静定结构的组成和超静定次数一、超静定结构一、超静定结构静力特征：几何特征： 要求出超静定结构的内力必须先求出多余约束的内力，一旦求出它们，就变成静定结构内力计算问题了。所以关键在于解决多余约束的内力。一个结构有多少个多余约束呢？3课件学习412二、超静定次数二、超静定次数 用力发计算超静定结构时，首先必须确定多余约束或多余未知力的数目。多余约束或多余未知力的数目称为超静定结构的超静定次数。PPQA1次超静定2次超静定切断一根链杆等于去掉一个约束去掉一个单铰等于去掉两个约束4课件学习413P3次超静定切断一根梁式杆等于去掉三个约束P1次超静定在连续杆中加一个单铰等于去掉一个约束5课件学习414134次超静定6课件学习415例例1 1判断图示结构的超静定次数。判断图示
94、结构的超静定次数。x1x2x3x5x7x4x4x6x7x7x1x2x3x5x6课件学习416711-2 11-2 力法的基本概念及典型方程力法的基本概念及典型方程1EIqq一、基本思路一、基本思路q（1）平衡条件（a）（b）（c）（d）如图（b）当 取任何值都满足平衡条件。（2）变形条件力法基本未知量、基本体系、基本方程。=课件学习4178q（b）（c）EIq（a）l2、力法基本体系悬臂梁1、力法基本未知量3、力法基本方程4、系数与自由项5、解方程课件学习418EIql6、绘内力图（以弯矩图为例，采用两种方法）（1）EIqlMl（2）9课件学习419基本体系有多种选择；1EIq（a）q（b）qqqq)（c）10课件学习420二、多次超静定结构二、多次超静定结构PP（1）基本体系 悬臂刚架（2）基本未知力 P（3）基本方程（4）系数与自由项（5）解力法方程（6）内力11课件学习421PP同一结构可以选取不同的基本体系PP12课件学习422n次超静定结构1）的物理意义；2）由位移互等定理；3） 表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；4）柔度系数及其性质对称方阵系数行列
95、式之值0主系数副系数5)最后内力位移的地点产生位移的原因13课件学习42311-3 11-3 力法示例力法示例一、刚架一、刚架3m3m3m3mq=1kN/mP=3kNI2I2I12341、基本体系与基本未知量：2、基本方程 14课件学习4243m3m3m3mq=1kN/mP=3kNI2I2I123418279663663、系数与 自由项15课件学习4254、 解方程5、内力2.6721.333.564.335.662.673.331.111.93.331.113.331.916课件学习426aaP123456PEA=c1PPPP0（1）基本体系与未知量（2）力法方程（3）系数与自由项20二、超静定桁架二、超静定桁架课件学习427aaP0.396P0.396P0.396P-0.604P-0.854P-0.56PP思考：思考：若取上面的基本体系，力法方程有没有变化?21力法方程：（4）解方程（5）内力课件学习428l114结构对称性的利用结构对称性的利用课件学习429一、对称性的利用一、对称性的利用对称的含义：1、结构的几何形状和支座情况对某轴对称；2、杆件截面和材料（E I 、EA）也对
96、称。4课件学习430P5课件学习4316正对称荷载正对称荷载正对称荷载正对称荷载反对称荷载反对称荷载反对称荷载反对称荷载0.50.5P P0.50.5P P1 1 1 1、奇数跨对称结构的半边结构、奇数跨对称结构的半边结构、奇数跨对称结构的半边结构、奇数跨对称结构的半边结构2 2 2 2、偶数跨对称结构的半边结构、偶数跨对称结构的半边结构、偶数跨对称结构的半边结构、偶数跨对称结构的半边结构正对称荷载正对称荷载作用下，对作用下，对称轴截面只称轴截面只产生轴力和产生轴力和弯矩。弯矩。反对称荷载反对称荷载作用下，对作用下，对称轴截面只称轴截面只产生剪力。产生剪力。课件学习4321 1）正对称荷载作用下）正对称荷载作用下不考虑轴向变形不考虑轴向变形条件下，可简化条件下，可简化为：为：2 2）反对称荷载作用下）反对称荷载作用下l7课件学习433PP/2P/2P/2P/2=+P/2P/28课件学习434II2IPII2I P/2 P/2I P/2II2I P/2 P/2 P/2II没有弯矩没有弯矩2 2次超静定次超静定359课件学习435二、广义未知力的利用二、广义未知力的利用用于原体系与基本体系
97、都是对称的，但未知力并非对称或反对称。同向位移之和反向位移之和10课件学习436例例2 2、试确定图示刚架的弹性中心。、试确定图示刚架的弹性中心。2EIEIEI8m4ma18课件学习43711-5 11-5 支座移动和温度改变时的内力计算支座移动和温度改变时的内力计算一、支座移动时的计算一、支座移动时的计算hl1h1“c”1基本方程的物理意义？基本方程的物理意义？基本结构在支座位移和基本未知力共同作用下，在基本未知力作用方向上产生的位移与原结构的位移完全相等。课件学习4381h1（1 1）等号右端可以不等于零）等号右端可以不等于零（2 2）自由项的意义）自由项的意义（3 3）内力仅由多余未知力产生）内力仅由多余未知力产生（4 4）内力与）内力与EI 的绝对值有关的绝对值有关讨论讨论: :2课件学习439二、温度内力的计算二、温度内力的计算画出 图计算（1 1）自由项的意义）自由项的意义（2 2）内力仅由多余未知力产生）内力仅由多余未知力产生（3 3）内力与）内力与EI 的绝对值有关的绝对值有关讨论讨论: :3课件学习440aaa 例例. . 计算图示刚架在温度作用下的内力，各杆计算图示
98、刚架在温度作用下的内力，各杆EI 等于常数等于常数, ,矩形截面梁高矩形截面梁高为为h，材料温度胀缩系数为，材料温度胀缩系数为 。14课件学习44111-5 超静定结够的特性超静定结构与静定结构对比，具有以下一些重要特性。1、对于静定结构，除荷载外，其他任何因素如温度变化、支座位移等均不引起内力。 超静定结构的这一特性，在一定条件下会带来不利影响，例如连续梁可能由于地基不均匀沉陷而产生过大的附加内力。但是在另外的情况下又可能成为有利的方面。例如同样对于连续梁，可以通过改变支座的高度来调整梁的内力，以得到更合理的内力分布。课件学习442 4、超静定结构由于具有多余联系，一般地说，要比相应的静定结构刚度大些，内力分布也均匀些。3、超静定结构在多余联系被破坏后，仍能维持几何不变；而静定结构在任何一个联系被破坏后，便立即成为几何可变体系而丧失了承载能力。因此，从军事及抗震方面来看，超静定结构具有较强的防御能力。2、静定结构的内力只按平衡条件即可确定，其值与结构的材料性质和截面尺寸无关。而超静定结构的内力单由平衡条件则无法全部确定，还必须考虑变形条件下才能确定其解答，因此其内力数值与材料性质和截
99、面尺寸有关。课件学习443图11-37课件学习444116互等定理互等定理由功的互等定理有：由功的互等定理有： 支座支座支座支座 1 1 1 1 发生单位广义位移所引起的支座发生单位广义位移所引起的支座发生单位广义位移所引起的支座发生单位广义位移所引起的支座2 2 2 2中的反中的反中的反中的反力恒等于支座力恒等于支座力恒等于支座力恒等于支座 2 2 2 2 发生单位广义位移时所引起的支发生单位广义位移时所引起的支发生单位广义位移时所引起的支发生单位广义位移时所引起的支座座座座1 1 1 1中的反力。中的反力。中的反力。中的反力。-反力互等定理反力互等定理课件学习445位移法位移法第十二章第十二章课件学习44612-1 位移法的基本概念 12-2 等截面杆件的刚度方程 12-3 位移法的基本体系 12-4 无侧移刚架的计算课件学习44712-1 12-1 位移法的基本概念位移法的基本概念ABCP A A A A荷载效应包括：荷载效应包括：内力效应：内力效应：M、Q、N；位移效应：位移效应：AABCP A A A A附加附加刚臂刚臂附加刚臂限制结附加刚臂限制结点位移，荷载作点位移，荷载作
100、用下附加刚臂上用下附加刚臂上产生附加力矩产生附加力矩施加力偶使结点产施加力偶使结点产生的角位移，以实生的角位移，以实现结点位移状态的现结点位移状态的一致性。一致性。ABC课件学习448ABCP A A A A实现位移状态可实现位移状态可分两步完成：分两步完成：分析：分析：1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上的附加内力应等于的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。，按此可列出基本方程。1）在可动结点上附加约束，）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束力；附加约束上产生附加约束力；2）在附加约束上施加外力，）在附加约束上施加外力，使结构发生与原结构一致的结使结构发生与原结构一致的结点位移。点位移。课件学习449P12345BBAB选择选择基本基本未知未知量量 物理条件几何条件平衡条件变形条件课
101、件学习450位移法基本作法小结位移法基本作法小结: :（1 1）基本未知量是结点位移；）基本未知量是结点位移；（2 2）基本方程的实质含义是静力平衡条件；）基本方程的实质含义是静力平衡条件；（3 3）建立基本方程分两步）建立基本方程分两步单元分析（拆分）求得单元刚度方程，整体单元分析（拆分）求得单元刚度方程，整体分析（组合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量分析（组合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量; ;（4 4）由杆件的刚度方程求出杆件内力，画弯矩图。）由杆件的刚度方程求出杆件内力，画弯矩图。ABABCPCPA关于刚架的结点未知量关于刚架的结点未知量课件学习4511MABMBA12-2 12-2 等截面杆件的刚度方程等截面杆件的刚度方程一、由杆端位移求杆端弯矩一、由杆端位移求杆端弯矩（1 1）由杆端弯矩）由杆端弯矩 MABMBAlMABMBA利用单位荷载法可求得利用单位荷载法可求得设设同理可得同理可得1 杆端力和杆端位移的正负规定杆端力和杆端位移的正负规定 杆端转角杆端转角A A、B B ，弦转角，弦转角 / /l l都以顺时针为正。都以顺时针为正。 杆端弯矩对杆端以
102、顺时针为正杆端弯矩对杆端以顺时针为正 对结点或支座以逆时针为正。对结点或支座以逆时针为正。E I课件学习452E IE IM MABABM MBABAl l M MABABM MBABA （2 2）由于相对线位移）由于相对线位移 引起的引起的 A A和和 B B以上两过程的叠加以上两过程的叠加我们的任务是要由杆端位移求我们的任务是要由杆端位移求杆端力，变换上面的式子可得：杆端力，变换上面的式子可得：课件学习453AB用力法求解单跨超静定梁用力法求解单跨超静定梁X1X21/l1/lX2=112M1MX1=11令令课件学习454可以将上式写成矩阵形式可以将上式写成矩阵形式1234课件学习455AMAB几种不同远端支座的刚度方程几种不同远端支座的刚度方程（1 1）远端为固定支座）远端为固定支座AMABMBA因因 B = 0，代入，代入(1)(1)式可得式可得（2 2）远端为固定铰支座）远端为固定铰支座因因MBA = 0，代入代入(1)(1)式可得式可得AMABMBA（3 3）远端为定向支座）远端为定向支座因代入（代入（2 2）式可得）式可得lEIlEIlEI课件学习456由单位杆端位移引起的
103、杆端力称为形常数。由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。单跨超静定梁简图单跨超静定梁简图MABMBAQAB= QBA4i2i=1ABAB1AB10AB=13i0AB=1ii0课件学习457二、由荷载求固端反力二、由荷载求固端反力mABEIqlEIqlmBA 在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角位移方程）：位移方程）：课件学习45812-3 12-3 位移法的基本体系位移法的基本体系一、超静定结构计算的总原则一、超静定结构计算的总原则: : 欲求超静定结构先取一个基本体系欲求超静定结构先取一个基本体系, ,然然后让基本体系在受力方面和变形方面与原后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。结构完全一样。 力法的特点：力法的特点：基本未知量基本未知量多余未知力；多余未知力；基本体系基本体系静定结构；静定结构；基本方程基本方程位移条件位移条件 （变形协调条件）（变形协调条件） 位移法的特点：位移法的特点：基本未知量基本未知量 基本体系基本体系 基本方程基本方程 独立结点位移独立结点位移平衡条件平衡条件？一组单跨超静
104、定梁一组单跨超静定梁课件学习459二、基本未知量的选取二、基本未知量的选取2 2、结构独立线位移：、结构独立线位移：（1 1）忽略轴向力产生的轴向变形）忽略轴向力产生的轴向变形-变形后的曲杆与原直杆等长；变形后的曲杆与原直杆等长；（2 2）变形后的曲杆长度与其弦等长。）变形后的曲杆长度与其弦等长。上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。 CDABCD12每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设： 1 1、结点角位移数：、结点角位移数： 结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。课件学习460线位移数也可以用几何方法确定。线位移数也可以用几何方法确定。140 将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支
105、座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。课件学习4618m4mii2iABCD3kN/mF1PABCDF2PABCD1F11F21ABCD2F12F2222F11+F12+F1P=0(1a)F21+F22+F2P=0(2a)三、选择基本体系三、选择基本体系四、建立基本方程四、建立基本方程课件学习4621.5i3(2i)2i4i2ABCDF12F22F11+F12+F1P=0(1a)F21+F22+F2P=0(2a)ABCD1F11F21ii2i=1k11k21=1k12k22=0.(1)=0.(2)k111+ k122+F1Pk211+ k222+F2Pk2104i6ik111.5ik12k22k11=10ik21= -1.5ik12= -1.5i课件学习463F1PABCDF2P4kNm4kNmMPF2P040F1P-6F1P=4kNm F2P=-6kN位移法方程：位移法方程：六、绘制弯矩图六、绘制弯矩图4.4213.625.691.4M(kNm)ABCD五、计算结
106、点位移五、计算结点位移课件学习464k11 1+ k12 2+ + k1n n+F1P=0 k21 1+ k22 2 + + k2n n+F2P=0 kn1 1+ kn2 2+ + knn n+FnP=0 121=1k11k21k12k222=1k110+k21 1 k21=k12= k12 1+k22 0ki j=kj i 具有具有n n个独立个独立结点位移的结点位移的超静定结构：超静定结构：课件学习46512-3 12-3 位移法的基本体系位移法的基本体系一、超静定结构计算的总原则一、超静定结构计算的总原则: : 欲求超静定结构先取一个基本体系欲求超静定结构先取一个基本体系, ,然然后让基本体系在受力方面和变形方面与原后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。结构完全一样。 力法的特点：力法的特点：基本未知量基本未知量多余未知力；多余未知力；基本体系基本体系静定结构；静定结构；基本方程基本方程位移条件位移条件 （变形协调条件）（变形协调条件） 位移法的特点：位移法的特点：基本未知量基本未知量 基本体系基本体系 基本方程基本方程 独立结点位移独立结点位移平衡条件平衡条件？一组
107、单跨超静定梁一组单跨超静定梁课件学习466二、基本未知量的选取二、基本未知量的选取2 2、结构独立线位移：、结构独立线位移：（1 1）忽略轴向力产生的轴向变形）忽略轴向力产生的轴向变形-变形后的曲杆与原直杆等长；变形后的曲杆与原直杆等长；（2 2）变形后的曲杆长度与其弦等长。）变形后的曲杆长度与其弦等长。上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。 CDABCD12每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设： 1 1、结点角位移数：、结点角位移数： 结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。课件学习467线位移数也可以用几何方法确定。线位移数也可以用几何方法确定。140 将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系几何构造性质，若为几何可变体系，则通
108、过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。课件学习4688m4mii2iABCD3kN/mF1PABCDF2PABCD1F11F21ABCD2F12F2222F11+F12+F1P=0(1a)F21+F22+F2P=0(2a)三、选择基本体系三、选择基本体系四、建立基本方程四、建立基本方程课件学习4691.5i3(2i)2i4i2ABCDF12F22F11+F12+F1P=0(1a)F21+F22+F2P=0(2a)ABCD1F11F21ii2i=1k11k21=1k12k22=0.(1)=0.(2)k111+ k122+F1Pk211+ k222+F2Pk2104i6ik111.5ik12k22k11=10ik21= -1.5ik12= -1.5i课件学习470F1PABCDF2P4kNm4kNmMPF2P040F1P-6F1P=4kNm F2P=-6kN位移法方程：位移法方程：六、绘制弯矩图六、绘制弯矩图4.4213.625.691.4M(kNm)ABCD五
109、、计算结点位移五、计算结点位移课件学习471k11 1+ k12 2+ + k1n n+F1P=0 k21 1+ k22 2 + + k2n n+F2P=0 kn1 1+ kn2 2+ + knn n+FnP=0 121=1k11k21k12k222=1k110+k21 1 k21=k12= k12 1+k22 0ki j=kj i 具有具有n n个独立个独立结点位移的结点位移的超静定结构：超静定结构：课件学习472例例1 1、试用位移法分析图示刚架。、试用位移法分析图示刚架。（1 1）基本未知量基本未知量（2 2）基本体系）基本体系计算杆件线性刚度计算杆件线性刚度i，设设EI0=1，则则4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I04m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0 1 23 1、 2、3课件学习473 1=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2（3 3）位移法方程）位移法方程k11 1+ k12 2+ k13 3+F1P=0 k21 1+ k22 2+ k23 3+F2P=
110、0 k31 1+ k32 2+ k33 3+F3P=0 （4 4）计算系数：）计算系数：k11、k12、k13、k21、k22、k23、k31、k32、k333241.53k11=3+4+3=10k12=k21=2k13=k31=?ABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2 2=13 34 42 22 21 1k22=4+3+2=9k23=k32=?课件学习474 3=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/21/21/29/89/8k33=(1/6)+(9/16)=35/48k31=k13= 9/8k32=k23= 1/2（5 5）计算自由项：）计算自由项：F1P、F2P、F3P4m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2q=20kN/m(1/8) 2042=40(1/12) 2052=41.7F1P=4041.7= 1.7F2P=41.7F3P=0课件学习475（6 6）建立位移法基本方程：）建立位移法基本方程：（7 7）解方程求结点位移：）解方程求结点位移：（8 8）绘制弯矩图）绘制弯矩图ABCDFEM图图（kNm）
111、18.642.847.826.723.814.953.68.93.97（9 9）校核）校核结点及局部杆结点及局部杆件的静力平衡件的静力平衡条件的校核。条件的校核。课件学习47612-4 12-4 无侧移刚架的计算无侧移刚架的计算 如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称 为无侧移刚架。为无侧移刚架。ABC3m3m6mEIEIP=20kNq=2kN/mBqBEIPBEIMBAMABMBC1、基本未知量基本未知量B2、固端弯矩固端弯矩3、列杆端转角位移方程列杆端转角位移方程设设4、位移法基本方程（平衡条件）位移法基本方程（平衡条件）课件学习47716.72 15.8511.573.21M MBABAM MBCBCq q B BEIEIP P B BEIEIM MBABAM MABABM MBCBC3 3、列杆端转角位移方程、列杆端转角位移方程4 4、位移法基本方程（平衡条件）、位移法基本方程（平衡条件）5 5、各杆端弯矩及弯矩图、各杆端弯矩及弯矩图M图图(1)(1)变形连续条件变形连续条件: :在确定基本未
112、知量时得到满足；在确定基本未知量时得到满足；(2)(2)物理条件物理条件: : 即刚度方程；即刚度方程；(3)(3)平衡条件平衡条件: : 即位移法基本方程。即位移法基本方程。超静定结构必须满足的三个条件超静定结构必须满足的三个条件: :课件学习478例例1 1、试用位移法分析图示刚架。、试用位移法分析图示刚架。4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0（1）基本未知量基本未知量 B、 C（2）杆端弯矩杆端弯矩Mi j计算线性刚度计算线性刚度i，设设EI0=1，则则梁梁课件学习479柱(3)(3)位移法方程位移法方程梁梁4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I。5I。4I。3I。3I。课件学习480(4) 解方程解方程( (相对值相对值) )(5)杆端弯矩及弯矩图杆端弯矩及弯矩图梁梁柱AB CDFE43.546.924.514.73.451.79.84.89M图图课件学习481小小 结结1 1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；2 2、单元分析、建立单元刚度方程是基础；、单元分析、建立单元刚
113、度方程是基础；3 3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括 外力矩。外力矩。ABCDqqPMMMCBMCDC C课件学习482AEIlQABQBA复习角变位移方程中的杆端剪力：ABCDiiqqQBAQDC其中其中绘制弯矩图的方法：绘制弯矩图的方法：（1 1）直接由外荷载及剪力计算；）直接由外荷载及剪力计算；（2 2）由角变位移方程计算。）由角变位移方程计算。ABCD12-5 12-5 有侧移刚架的计算有侧移刚架的计算课件学习483Ph1h2h3I1I2I3例：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。例：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。解：解：1 1）基本未知量：）基本未知量：2 2）各柱的杆端剪力）各柱的杆端剪力侧移刚度侧移刚度J=3i/h2，则：则：Q1=J1， Q2=J2， Q3=J3Q1+Q2+Q3=PJ1+J2+J3=PPQ1Q2Q3iihJPJM=Qihi=iiJPJQ=P柱顶剪力：柱顶剪力：柱底弯矩：柱底弯矩：JhPJ11JhPJ33JhPJ223 3）位移法方程）位移法方程X=0M结点集中力作为各柱总剪力，
114、按各结点集中力作为各柱总剪力，按各柱的侧移刚度分配给各柱。再由反柱的侧移刚度分配给各柱。再由反弯点开始即可作出弯矩图。弯点开始即可作出弯矩图。课件学习484E IlQABQBAAB其中其中lABCDiii1=qq复习角变位移方程中的杆端剪力：绘制弯矩图绘制弯矩图.M（ql2）QDCQBA课件学习485MABQABMBAQBAMBCQCDQDCMDC例例1. 1. 用位移法分析图示刚架。用位移法分析图示刚架。 解解 （1 1）基本未知量）基本未知量B、（2 2）单元分析）单元分析BC8m4mii2iABCD3kN/m课件学习486MABQABMBAQBAMBCQCDQDCMDCBCMBCMBA（3 3）位移法方程）位移法方程QBA + QCD =0.(2a)QBAQCD（4 4）解位移法方程）解位移法方程课件学习487（4 4）解位移法方程）解位移法方程（5 5）弯矩图）弯矩图MAB= -13.896 kNmMBA= -4.422kNmMBC= 4.422kNmMDC= -5.685kNmQBA= -1.42kNQCD= -1.42kNABCD13.8964.4224.4225.685M图（kNm）课件学习488ABCDEFmq例例2. 2. 用位移法分析图示刚架。用位移法分析图示刚架。思路思路MBAMBCMCBMBEMEBMCDmMCFMFCQBEQCF基本未知量为：基本未知量为：课件学习489PA BCDEFpQCEQCAQCB基本未知量为：基本未知量为：MCEMCAMCDQCAQCEMCAMCDMCE课件学习490
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