初中数学等腰三角形的分类讨论与存在性问题

1、初中数学等腰三角形的分类讨论等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本课分以下几种情形讲述。一. 遇角需讨论例1. 已知等腰三角形的一个内角为75则其顶角为（ ）A. 30B. 75C. 105D. 30或75说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。二. 遇边需讨论例2. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_。说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。三. 遇中线需讨论例3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。四. 遇高需讨论例4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45，求这个等腰三角形的顶角的度

2、数。简析：例5. 为美化环境，计划在某小区内用的草皮铺设一块一边长为10的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。说明：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。五. 遇中垂线需讨论例6.在ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50，则底角B=_。说明：这里的-最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，这样才能正确解题。等腰三角形的存在性问题专题攻略如果ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三种情况已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、计算代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验针对训练1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果DOP是等腰三角形，求点P的坐标 2如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8，动点P以2个单

3、位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动在P、Q两点移动过程中，当PQC为等腰三角形时，求t的值 3如图，直线y2x2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果APQ是等腰三角形，求点P的坐标 4.如图，点A在x轴上，OA4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案:1因为D（3，4），所以OD5，如图1，当PDPO时，作PEOD于E在RtOPE中，所以此时点P的坐标为如图2，当OPOD5时，点P的坐标为(5，0)如图3，当DODP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为(6，0) 第1题图1 第1题图2 第1题图32在RtABC中，.因此.在PQC中，CQt，CP102t. 第2题图1 第2题图2 第2题图3如图1

4、，当时，解得(秒).如图2，当时，过点Q作QMAC于M，则CM.在RtQMC中，解得(秒).如图3，当时，过点P作PNBC于N，则CN.在RtPNC中，解得(秒).综上所述，当t为时，PQC为等腰三角形.3由y2x2得，A(1，0)，B(0，2)所以OA1，OB2如图，由AOBQOP得，OPOQOBOA21设点Q的坐标为(0，m)，那么点P的坐标为(2m，0)因此AP2(2m1)2，AQ2m21，PQ2m2(2m)25m2当APAQ时，AP2AQ2，解方程(2m1)2m21，得或所以符合条件的点P不存在当PAPQ时，PA2PQ2，解方程(2m1)25m2，得所以当QAQP时，QA2QP2，解方程m215m2，得所以 第3题图4（12临沂26）（1）如图，过点B作BCy轴，垂足为C在RtOBC中，BOC30，OB4，所以BC2，所以点B的坐标为（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为yax(x4)，代入点B，解得 所以抛物线的解析式为（3）抛物线的对称轴是直线x2，设点P的坐标为(2, y)当OPOB4时，OP216所以4+y216解得当P在时，B、O、P三点共线当BPBO4时，BP216所以解得当PBPO时，PB2PO2所以解得综合、，点P的坐标为 第4题图

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