1、绝对值与动点问题1. 如图，点A、B和线段CD都在数轴上，点A、C、D、B起始位置所表示的数分别为-2、0、3、12；线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒（1）当t=0秒时，AC的长为_，当t=2秒时，AC的长为_；（2）用含有t的代数式表示AC的长为_；（3）当t=_秒时AC-BD=5，当t=_秒时AC+BD=15；（4）若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动，点A的速度为每秒2个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC=2BD，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由2. 阅读下列材料并解决有关问题：我们知道|x|=x，(x0)0，(x=0)x，(x0)，现在我们可以用这个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x-2|时，可令x+1=0和x-2=0，分别求得x=-1，x=2（称-1，2分别叫做|x+1|与|x-2|的零点值）在有理数范围内，零点值x=-1和x=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）当x-1时，原式=-（x+1）-（x-2）=-2x+1；（2）当-1x2时，原式=x+1-（x-2）=3；（3）当x
2、2时，原式=x+1+x-2=2x-1综上所述，原式=2x+1，(x1)3，(1x2)2x1，(x2)通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出|x+2|和|x-4|的零点值；（2）化简代数式|x+2|+|x-4|；（3）求方程：|x+2|+|x-4|=6的整数解；（4）|x+2|+|x-4|是否有最小值？如果有，请直接写出最小值；如果没有，请说明理由3. （1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a-b|；当A、B两都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-（-a）=|a-b|；如图4，点A、B在原点的两边，|AB|=|OB|+|OA|=|a|+|b|=a+（-b）=|a-b|；（2）回答下列问题：数轴上表示2和5两点之间的距离是_ ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是_ ，数轴上表示1和-3的两
3、点之间的距离是_ ；数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是_ ，如果|AB|=2，那么x为_ ；当代数式取|x+1|+|x-2|最小值时，相应的x的取值范围是_ ；求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-2015|的最小值（提示：1+2+3+n=n(n+1)2）4. 已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+5|+（b-1）2=0，规定A、B两点之间的距离记作|AB|=|a-b|（1）求A、B两点之间的距离|AB|；（2）设点P在线段AB之间且在数轴上对应的数为x，当|PA|-|PB|=2时，求x的值；（3）若点P在线段AB之外，N、M分别是PA、PB的中点对于|PN|+|PM|的值，|PN|-|PM|的值探究中值的结果，判断哪个结果的值一定是一个常数，说明理由并求出这个常数5. 我们知道在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为|x-y|，比如表示3的点与-2的点之间的距离表示为|3-（-2）|=|3+2|=5；|x+2|+|x-1|可以表示数x的点与表示数1的点之间的距离与表示数x的点与表示数-2的点之间的距离的和，根据图示易知：当表示数x的点在点A和点
4、B之间（包含点A和点B）时，表示数x的点与点A的距离与表示数x的点和点B的距离之和最小，且最小值为3，即|x+2|+|x-1|的最小值是3，且此时x的取值范围为-2x1，请根据以上材料，解答下列问题：（1）|x+2|+|x-2|的最小值是_；|x+1|+|x-2|=7，x的值为_（2）|x+2|+|x|+|x-1|的最小值是_；此时x的值为_（3）当|x+1|+|x|+|x-2|+|x-a|的最小值是4.5时，求出a的值及x的值或取值范围6. 若a、b互为相反数，b、c互为倒数，并且m的立方等于它本身（1）试求2a+2bm+2+ac值；（2）若a1，且m0，S=|2a一3b|-2|b-m|-|b+12|，试求4（2a一S）+2（2a-S）-（2a-S）的值（3）若m0，试讨论：x为有理数时，|x+m|-|x-m|是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由7. 在数轴上表示a，0，1，b四个数的点如图所示，已知OA=OB，求|a+b|+|ab|+|a+1|的值8. 在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点
5、的距离而|5|=|5-0|，即|5-0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：|5-3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a-b|请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是_；数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是2，则点Q表示的数是_（2）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、-3、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_（用含绝对值的式子表示）；满足|x-3|+|x+2|=7的x的值为_（3）试求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-100|的最小值9. 阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x-0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离； 这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：例1：解方程|x|=2容易得出，
6、在数轴上与原点距离为2的点对应的数为2，即该方程的x=2；例2：解不等式|x-1|2如图，在数轴上找出|x-1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为-1，3，则|x-1|2的解为x-1或x3；例3：解方程|x-1|+|x+2|=5由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x的值在数轴上，1和-2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或-2的左边若x对应点在1的右边，如图可以看出x=2；同理，若x对应点在-2的左边，可得x=-3故原方程的解是x=2或x=-3参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|=4的解为_ ；（2）解不等式|x-3|+|x+4|9；（3）若|x-3|-|x+4|a对任意的x都成立，求a的取值范围10. 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示1和3两点之间的距离_（2）数轴上表示-12和-6的两点之间的距离是_（3）数轴上表示x和1的两点之间的距离表示为_（4）若x表示一个有理数，且-4x2，则|x-2
7、|+|x+4|=_11. 在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc0，求|a|a+|b|b+|c|c的值【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数a，b，c都是正数，即a0，b0，c0时，则|a|a+|b|b+|c|c=aa+bb+cc=1+1+1=3；当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a0，b0，c0，则|a|a+|b|b+|c|c=aa+bb+cc=1+(1)+(1)=1综上所述，|a|a+|b|b+|c|c值为3或1【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足abc0，求|a|a+|b|b+|c|c的值；（2）若a，b，c为三个不为0的有理数，且a|a|+b|b|+c|c|=1，求abc|abc|的值12. 同学们都知道，|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离试探索：（1）求|5-（-2）|=_（2）找出所有符
8、合条件的整数x，使得|x+3|+|x-1|=4这样的整数是_（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x-3|+|x-5|是否有最小值？如果有写出最小值如果没有说明理由13. 阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为AB则AB=|a-b|所以式子|x-3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离根据上述材料，解答下列问题：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是_，数轴上表示1和3的两点之间的距离是_（2）数轴上表示x和2的两点之间的距离表示为_（3）若|x-3|=|x+1|，则x=_；（4）若|x+4|+|x2|=6，写出满足条件的所有整数x，并求这些整数的和.答案和解析1.【答案】解：（1）2；4；（2）t+2；（3）6；11；（4）假设存在，则点A表示的数为2t-2，C表示的数为t，D表示的数为t+3，B表示的数为12，AC=|2t-2-t|=|t-2|，BD=|t+3-12|=|t-9|，AC=2BD，|t-2|=2|t-9|，解得t1=16，t2=203故在运动的过程中使得AC=2BD，此时运动的时间为16秒和203秒【解析】【分析】本题考查了绝对值、数轴以及一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键（1）依据A、C两点间的距离求解即可；（2）t秒后点C运动的距离为t个单位长度，从而得到点C表示的数；根据A、C两点间的距离求解即可；（3）t秒后点C运动的距离为t个单位长度，点D运动的距离为t个单位长度，从而可得到点C、点D表示的数；根据两点间的距离表示出AC、BD，根据AC-BD=5和AC+BD=15得到关于t的含绝对值符号的一元一次方程，分别解方程即可得出结论；（4）假设存在，找出AC、BD，根据AC=2BD即可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论【解答】解：（1）当t=0秒时，AC=|-2-0|=|-2|=2；当t=2秒时，移动后C表示的数为2，AC=|-2-2|=4故答案为2；4；（2）点A表示的数为-2，点C表示的数为t；AC=|-2-t|=t+2故答案为t+2；（3）t秒后点C运动的距离为t个单位长度，点D运动的距离为t个单位长度，C表示的数是t，D表示的数
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