算法论文：分治法和分支限界

1、成 绩 评 定 表学生姓名xx班级学号xx专 业信息与计算科学课程设计题目1.分治法解决最近距离问题2.分支限界解决旅行商售货员问题评语组长签字：成绩日期 20 年 月 日课程设计任务书学 院理学院专 业信息与计算科学学生姓名xx班级学号xx课程设计题目1.分治法解决最近距离问题2.分支限界解决旅行商售货员问题实践教学要求与任务:1、巩固和加深对计算机算法分析与设计基本知识的理解。2、初步掌握简单软件的分析方法和设计方法。3、了解与课程有关的工程技术规范，能正确解释和分析设计结果。4、具体任务（1）分治法解决最近距离问题（2）分支限界解决旅行商售货员问题工作计划与进度安排:第一天 查阅资相关料； 第二、三天 程序设计； 第四天 程序调试； 第五天 答辩指导教师： 201 年 月 日专业负责人：201 年 月 日学院教学副院长：201 年 月 日摘 要计算效率是一个古老的研究课题。科学技术的发展使得计算日趋复杂，计算量越来越大，许多理论上可计算的问题，常常由于其计算量巨大布变成了现实不可计算的问题，这就产生了理论可计算而现实不可计算的矛盾，而算法设计与分析的任务就是对各类具体的问题设计高

2、质量的算法，以及研究设计算法的一般规律和方法。常用的算法设计方法主要有分治法、动态规划、贪婪法和回溯法等。问题一：运用分治法对多点最近距离问题进行算法设计，把问题分解为不是相互独立的子问题，计算保存子问题的答案，从而再求重复子问题时可以直接找到答案。通过反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。问题二：运用分支限界对旅行商售货员问题进行算法设计，求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。）分支限界法首先确定一个合理的限界函数，并根据限界函数确定目标函数的界；然后按照广度优先策略遍历问题的解空间树，在某一分支上，依次搜索该结点的所有孩子结点，分别估算这些孩子结点的目标函数的可能取值（对最小化问题，估算结点的下界，对最大化问题，估算结点的上界）。如果某孩子结点的目标函数值超出目标函数的界，则将其丢弃（从此结点生成的解不会比目前已得的更好），否则入待处理。 关键词： 算法设计与分析；分支限界法；分治法目 录1分治法解决最近距离问题11.1 问题描述11.2 算法设计21.3 算法实现3

3、1.4 运行结果与分析62分支限界解决旅行商售货员问题72.1 问题描述72.2 算法设计82.3 算法实现92.4 运行结果与分析14总结15参考文献16IV1分治法解决最近距离问题1.1 问题描述已知集合S中有n个点，分治法的思想就是将S进行拆分，分为2部分求最近点对。算法每次选择一条垂线L，将S拆分左右两部分为SL和SR，L一般取点集S中所有点的中间点的x坐标来划分，这样可以保证SL和SR中的点数目各为n/2，（否则以其他方式划分S，有可能导致SL和SR中点数目一个为1，一个为n-1，不利于算法效率，要尽量保持树的平衡性）依次找出这两部分中的最小点对距离：L和R，记SL和SR中最小点对距离 = min（L，R），如图1.1：图1.1以L为中心，为半径划分一个长带，最小点对还有可能存在于SL和SR的交界处，如图1.1中的虚线带，p点和q点分别位于SL和SR的虚线范围内，在这个范围内，p点和q点之间的距离才会小于，最小点对计算才有意义。1.2 算法设计 分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。 分治策略是：对于一个规模为n

4、的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。 如果原问题可分割成k个子问题，1kn ，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。 分治法在每一层递归上都有三个步骤： 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题； 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题； 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征： 1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决 2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相

5、同问题，即该问题具有最优子结构性质。 3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解； 4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。 第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。算法的时间复杂度：首先对点集S的点x坐标和y坐标进行升序排序，需要循环2nlogn次，复杂度为O(2nlogn)接下来在分治过程中，对于每个SyL中的点，都需要与SyR中的6个点进行比较O(n)= 2O(n/2) + (n/2)*6 （一个点集划分为左右两个点集，时间复杂度为左右两个点集加上中间区域运算之和）其解为O(n) O(3nlogn)因此总的

6、时间复杂度为O(3nlogn)，比蛮力法的O(n2)要高效。1.3 算法实现#include#includestruct Point double x; double y; ; double ClosestPoints(Point S,int n) int i,j,a=0,b=0,c=0; int p=0,q=0; double dmin,k=99999.0,d1,d2,d,r25,m,sum=0; Point temp,S15,S25,P15,P25; if(n2) return k; for(i=0;i=i;j-)if(Sj.xSj-1.x) temp=Sj; Sj=Sj-1; Sj-1=temp; for(i=0;in;i+) sum+=Si.x; m=sum/(float)n; for(i=0;in;i+) if(Si.xm) S1a+=Si; else S2b+=Si; d1=ClosestPoints(S1,a); d2=ClosestPoints(S2,b); if(d1d2) d=d1; else d=d2; for(i=0;ia;i+) if(abs(S1i.x-m)

7、d) P1p+=S1i; for(i=0;ib;i+) if(abs(S2i.x-m)d) P2q+=S2i; for(i=0;i=i;j-)if(P1j.yP1j-1.y) temp=P1j; P1j=P1j-1; P1j-1=temp; for(i=0;i=i;j-)if(P2j.yP2j-1.y) temp=P2j; P2j=P2j-1; P2j-1=temp; dmin=abs(P20.y-P10.y); for(i=0;iq;i+) for(j=0;jp;j+) if(abs(P2i.y-P1j.y)d) rc+=sqrt(P1i.x-P2j.x)*(P1i.x-P2j.x)+(P1i.y-P2j.y)*(P1i.y-P2j.y); dmin=r0; for(i=0;ic;i+) if(ridmin) dmin=ri; if(ddmin) return d; else return dmin; void main() int i,n; Point S100; cout请输入点的个数(小于等于100的正整数):n; cout请输入平面上的n个点的横纵坐标:endl; for(i

8、=0;iSi.xSi.y; cout平面上最近两个点间的距离为：ClosestPoints(S,n)endl; 1.4 运行结果与分析图1.2问题1运行结果 输入4个不同点的坐标分别为4，5,6，1,2，10,7，8,输出平面上最近两个点的距离为4.47214。根据多组测试的数据来看，分治法解决该问题得效率比蛮力法要高效的多，但是如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。2分支限界解决旅行商售货员问题2.1 问题描述 某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程(或旅费)。他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一次，最后回到驻地的路线，使总的路程(或总旅费)最小。 路线是一个带权图。如图1.3中各边的费用（权）为正数。图1.3的一条周游路线是包括V中的每个顶点在内的一条回路。周游路线的费用是这条路线上所有边的费用之和。旅行售货员问题的解空间可以组织成一棵树，从树的根结点到任一叶结点的路径定义了图的一条周游路线。旅行售货员问题要在图1.3中找出费用最小的周游路线。 图1.32.2 算法设计 分支限界法类似于回溯法，也是一种在

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