1、2021年“深圳杯”数学建模A题数学建模2012年“深圳杯”全国大学生数学建模夏令营A题深圳人口与医疗需求预测组长：廉会组员：周玉婷雷慧泽马小华深圳市人口变化与医疗需求的合理分析摘要一个国家的人口与医疗问题关系到国家的发展与进步，因此对人口合理的预测就显的非常重要。但是不同的地区有不同的人口特点。深圳是我国经济发展最快的地区之一，近年来深圳市的产业结构有很大变化，人口也发生了很大变化。深圳人口增长较快，主要原因有两个：一是人口流入量较大。10年来，深圳经济保持较高增速，提供了较多的就业岗位，吸引了大量市外人员到深圳工作和生活。二是户籍人口增长较快。10年间，深圳采取多项措施，降低了入户门槛，加快了户籍人口增长步伐。本文就深圳人口变化及未来的床位需求进行了预测。对于问题一，我们先用excel软件对深圳近十年人口数量变化作图，对深圳市近十年的人口变化得到大致了解。针对深圳市人口结构中非户籍人口比重大，流动人口多这一特点，然后又由于所得到的数据量不是很大，并且灰色预测模型【1】所需建模信息少，运算方便，建模精度高，所以我们采取灰色预测模型首先对深圳近十年的非常住人口、常住人口及总人口的变化特
2、征进行了分析，在此过程中同时用到MATLAB软件对数据进行计算及拟合，分别得到了非常住人口、常住人口和总人口的拟合函数。通过模拟出的常住人口与非常住人口的函数，我们可以很容易的得出深圳市人口数量的变化情况，同时我们以非户籍人口与常住人口的函数之比作为深圳市人口结构的变化，通过作图发现，深圳市非户籍人口正逐年下降。之后对不同年龄段的人口数用excel作图，然后再用MATLAB 软件对不同年龄段的人数数据进行二次拟合并作图。对问题一中的预测未来全市和各区医疗床位需求,通过查阅资料得知床位需求与各年龄段人数、住院率、平均住院天数以及该地平均年床开放日数有关，在查找资料以及大量演算基础上，利用已求出的常住人口变化函数，我们得出深圳市的床位需求函数，而深圳市各区对应的床位需求则为深圳市总的床位需求乘以本区总人口所占深圳市总人口的比例。对于问题二，考虑到研究的实用性与可行性，选择比较常见的病，如高血压、胃癌进行预测，我们通过查找高血压与胃癌在深圳市不同年龄段的发病率、这两种病在市级与区级医院的住院天数以及这两种级别的医院的平均年床开放日数，根据公式进行计算、预测。最后对结果及不同的模型进行分析。关
3、键词：灰色模型二次拟合MATLAB excel一、问题重述深圳市是我国发展最快的地方，从1980年到2010年，深圳市每年以30多万的人口增幅增长。到2010年深圳市人口已达1037万人。从结构上来看，深圳人口的显著特征是流动人口远远超过户籍人口且年轻人占绝对优势。深圳流动人口主要从事第二第三产业的一线工人和商业服务人员。年轻人身体强壮、发病较少，因此深圳目前医疗设施虽然低于全国类似平均水平，但仍能满足现在人口的就医需求。然而随着时间推移和政策的调整，深圳老年人口比例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量，这些都可能导致未来深圳市的床位需求于现在有较大差异，难以满足人口和医疗预测的需求，为了了解此情况，根据深圳人口发展变化态势以及全社会医疗卫生资源投入情况收集数据，建立针对深圳具体情况的数学模型，预测深圳未来人口的增长和床位需求解决下面问题：首先分析深圳近十年户籍人口，非户籍人口变化特征，其次预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势，最后以此为基础预测未来全市和各地区医疗床位需求，并针对几种病在不同类型的医疗机构就医的床位需求分析。二、问题分析深圳市是外来人口比例大得城
4、市，分析深圳市近十年常住人口、非常住人口的变化特征来预测未来十年深圳市的人口数量和人口特征，对于这种数据不太多的问题，可以选择灰色预测模型来解决，灰色预测模型在此方面有较好的优势。预测出来，得到拟合函数后，可以通过excel作图，使结果更加的清晰、明了，易于观察。床位的需求受总人口、人口结构等的影响，总人口可以由第一问的灰色模型预测。人口特征可以由非户籍人口占总人口的比例及各年龄段占总人口的比重来解决。对于第一个比例可以由第一问的预测得到，然后作图；对于第二个比例，可以先以往年的数据做图看分布情况，然后用MATLAB拟合函数并作图。由历年数据发现，老年人群是各种疾病的高发人群，老年人口的比重严重影响着床位需求，但是老年人的比例一直在变化，不好统计，所以假设在未来的十年老年人的比例基本上保持不变。因此可以由人口总数和不同年龄段的人口比例数及患病率预测深圳市床位需求量。深圳市各地区的床位需求又可以通过各地区人口数及不同年龄段的人口数和患病率分析得到。对于对选择的几种病预测在不同类型的医疗机构就医的床位需求，我们考虑到高血压和胃癌是比较常见的病，所以选择这两种病进行分析。通过查资料得到有关数
5、据，代入公式进行计算。三、模型假设1.在研究期间不考虑重大事件、自然灾害及国家有关人口调动政策的影响，只选取人口数量与年龄地区、户籍、性别方面因素的关系；2.深圳市各区相同年龄段的人口体质相同，即患病率相同；3.各地区相对封闭，各部区人口不会跨地区就医；4.不考虑老龄化的现象；5.深圳市当前的人口政策保持不变；6.相同的病医疗所需的时间相同；7.高血压人群中，由于35岁以前的发病情况几乎没有，忽略不计；8.对于研究的患病人口均需住院治疗，即需要床位；四、符号说明1.n x-)0(个元素的数列（每年的人口数）； 2.)0()1()(x k x-的前k 项和；3.)1()(x k d -的灰导数； 4.-a 发展系数； 5.-b 灰作用量； 6.-Y数据向量；7.-B 数据矩阵； 8.-u 参数向量；9.-t 年份； 10.20010-t 年；11.-)(k E 残差； 12.-)(k e 相对残差； 13.2000-=t k;14.-)(i n 第i 个年龄段；15.-)(i y 第i 个年龄段的人口数；五、模型的建立与求解5.1问题一：深圳市最近十年常住人口、非常住人口变化特征和未来十
6、年人口数量和结构的发展情况及在此基础上对全市和各区医疗床位需求的预测。 5.1.1灰色模型 1、模型说明：设给定的原始数据序列 )(,),2(),1()0()0()0()0(n x x x x =对此数据序列累加得到一个新的数据序列)(,),2(),1()1()1()1()1(n x x x x =，其中 ),1()()(1)0()1(n k i x k x ki =，显然)1()1()0()1(x x =为得原始数列，对)1(x 中的数进行后减运算，在此过程中定义)1(x 的灰导数为)1()()()()1()1()0(-=k x k x k x k d再设)1(x 满足一阶常微分方程 b ax dtdx =+)1()1(，其中a 称为发展系数，b 称为灰作用量。此方程满足初始条件当 0t t =时，)(0)1()1(t x x =的解为a b e a b t x t x t t a +?-=-)(0)1()1(0)()(对等间隔取样的离散值则为a b e a b x k x ak +?-=+-)1()1()1()1( * 令T T b a u n x x x Y ),(,)(,),3
7、(),2()0()0()0(=? ?-+-+-+-=)1),1()(211),2()3(211),1()2(21)1()1()1()1()1()1(n x n x x x x x B ，则Bu Y=由最小二乘法可以求得Y B B B T T Tb a u 1)(,-=? ?= 把估计值a 与b 代入*式得时间响应方程()a b a b xak e x k -+?-=+)1()1()1(1 当1,2,1-=n k时，由上式得到)1()1(+k x 的拟合值，当n k 时，()1(1+k x 为预测值；用后减运算还原，当1,2,1-=n k 时，就可以得到原始数据)0(x的拟合值()1)0(+k x ，当n k 时，可得原始序列()0x 的预测值，即为人口的预测值。由已有数据用excel 作图，可以看出深圳近十年的常住人口和非常住人口都呈上升趋势，并且非常住人口增长快于常住人 图一：近几年深圳市的人口变化 下面就用灰色预测模型对深圳市的人口进行详细、具体的分析及未来十年的人口预测预测。2.建立模型： 1）对于常住人口（1）由原始数据列计算并整理一次累加序列)1(x ，结果如下：表一：200
8、1年2010年常住人口数 （2）建立矩阵：Y B ,年份2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 )0(x 132.04 139.45 150.93 165.13 181.93 196.83 212.38 228.07 241.45 251.03 )1(x132.04271.49422.42587.55769.48 966.311178.691406.761648.211899.24? ?-=? ?+-+-+-=1,725.17731,485.15271,725.12921,5.10721,895.8671,515.6781,985.5041,955.3461,765.2011),9()10(211),2()3(211),1()2(21)1()1()1()1()1()1(x x x x x x B ，Tn x x x Y )(,),3(),2()0()0()0( =T)03.251,45.241,07.228,38.212,83.196,93.181,13.165,93.150,45.139(=（3）计算1)(-B BT，并由Y B B B TTu 1)(-=求估值a 和b 经过MATLAB 的计算得?=-4720.0,0004.00004.0,0000.0)(1B B T，? ?-=? ?=-9060.1280734.0)(1Y B B B T T b a u ，即 0734.0-=a ，9060.128=b 。则把a 和b 的值代入事件响应方程，由于04.132)1()1(=x ，故时间响应方程为 2.175625.1888)1()1(0734.0)1()1(-?=+?-=+-k e e x k x a b a b ak ，即 2.175625.1888)1(0734.0)1(-?=+k e k x（4）计算拟合值)()1(k x ，再用后减运算还原计算)0(x 又残差n k k k x k E x ,3,2),()()()0()0( =-= 相对残差n k k x k k x k e x ,3,2),(/)()()()0()0()0( =-=
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