例说圆锥曲线中证明求直线过定点的问题

1、对圆锥曲线中证明（求）直线过定点的问题探讨 在圆锥曲线中直线与圆锥曲线相结合的问题是较为复杂的问题，其中有一类问题是证明（求）直线过一定点，对于这一类问题如何去思考呢？它们的共同的解题思路是怎样的呢？下面让我们一起来探讨一下。既然直线过一定点，说明此直线的斜率是不定的，这使我们联想到过定点的直线系方程，过一定点的直线系方程可以写成的，那么我们先可写出直线的方程，再根据方程判断直线过哪一个定点。下面通过具体例子来说明。例1：已知抛物线上有两动点及一个定点，为抛物线的焦点，且，成等差数列。（1）求证线段的垂直平分线经过一定点；（2）若，（为坐标原点），求此抛物线的方程。分析：（1）设，成等差数列，结合定义得，由此可设弦的中点坐标为。，弦的中垂线方程为：，故弦的中垂线过定点。（2）略。例2：在双曲线的一支上有不同的三点与焦点的距离成等差数列。（1）求的值。（2）证明线段的垂直平分线经过一定点，并求该定点的坐标。分析：（1），成等差数列，则结合定义得 ，（2）由此，可设弦的中点坐标为由弦的中垂线方程为：故弦的中垂线过定点。例3：过抛物线上的定点作两条互相垂直的弦、，求证直线过定点。分析：设，则

2、 因为点、与点不重合，所以故，直线的方程为：所以直线过定点。评析：直线方程虽然被我们“强行”写了出来，但由此方程我们根本看不出直线过哪一定点，为此我们要利用题中所给的其它条件对此“强行”写出的直线方程进行变形，才可以达到我们的目的。例4：是抛物线上的两点，满足（为坐标原点），求证：（1）两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值；（2）直线经过一定点。分析：（1）设，则又由 （2）直线的方程为，故直线过定点。评析：和上题一样我们要利用题中所给的其它条件对此“强行”写出的直线方程进行变形，才可以达到我们的目的。例5：设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且轴，证明直线经过原点。分析：设，则，直线的方程为要证直线经过原点，只需证评析：此处不是由方程直接看出直线经过原点，而是转化为证常数项为0,这样就避免了直接证带来的困难。例6：已知椭圆的离心率为且在轴上的顶点分别为。（1）求椭圆的方程；（2）若直线（为大于2的一个定值）与轴交于点，为上的异于的任意一点，直线分别与椭圆交于两点，证明直线经过一个定点。分析：（1） 故椭圆的方程为（2）设，直线的斜率为，则直线的方程为由消去得 判别式，解得，所以点的坐标为，同理可设直线的斜率为，则直线的方程为，所以点的坐标为，由于直线与直线的交点在直线上，又所以由两点式得直线的方程为，令得将代入得，故直线经过定点。评析：此题的计算量相当大，在解题思路上它和前几题的解法既有相同的地方又有区别，属于难题。通过对上面几个同一类型问题的解题方法的探讨，我们可以得出解决这一问题的一般性结论：利用题中所给条件，写出直线的点斜式方程，若不能看出定点，则再利用其它条件对方程进行变形，直到看出定点或转证相关问题。

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