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中牟县第一高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷(含答案)

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1、中牟县第一高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1已知,则复数( )A.B.C.D.2已知向量,若,则( )A.B.C.D.3一个圆柱的侧面展开图是长为4,宽为2的矩形,则该圆柱的轴截面的面积为( )A.32B.C.D.4在正方体中,E为线段的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )A.B.C.D.5下列命题中,正确的是( )A.直线,与平面所成的角相等,则B.,为三个平面,若,则C.,为空间中的三条直线,若,则D.,为两条直线,为两个平面,若,则6一个高为h的圆锥形容器（容器壁厚度忽略不计）内部能完全容纳的最大球的半径为R,若,则这个圆锥的体积与这个最大球的体积之比为( )A.B.C.D.7如图,在中,点D在边BC上,且,则CD等于( )A.B.C.D.8如图,正四棱柱满足,点E在线段上移动,F点在线段上移动,并且满足.则下列结论中正确的是( )A.直线与直线EF可能异面B.直线EF与直线AC所成角随着E点位置的变化而变化C.三角形AEF可能是钝角三角形D.四棱锥的体积保持不变二、多项选择题9下列命题正确的是( )A.若,是

2、复数,则B.若复数z的共轭复数为,C.虚轴上的点对应的均为纯虚数D.已知复数z满足(i为虚数单位),则的最小值是10在中,若,则( )A.B.的面积为C.D.BC边上的高线长为11如图,在棱长为1的正方体中,下列结论正确的是( )A.异面直线AC与所成的角为B.直线与平面成角为C.二面角的正切值为D.四面体的外接球的体积为三、填空题12已知一个正四棱锥的底面边长为1,高为,则该正四棱锥的表面积为_.13若向量,满足,则_.14在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设的面积为S,其中,则S的最大值为_.四、解答题15已知复数.（1）若,求a;（2）求的最小值.16已知,为单位向量.（1）若,求,的夹角;（2）若,求的值.17在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,.（1）求角C;（2）求的外接圆面积;（3）若O为的内心,求周长的最大值.18如图,已知等腰梯形ABCD中,E是BC的中点,将沿着AE翻折成,使平面平面AECD.（1）求证:平面;（2）求与平面所成的角;（3）在线段上是否存在点P,使得平面,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.参考答案1答案：A解析：2答案：

3、B解析：3答案：D解析：若4为底面周长,则圆柱的高为2,此时圆柱的底面直径为,故圆柱的轴截面的面积为;若2为底面周长,则圆柱的高为4,此时圆柱的底面直径为,故圆柱的轴截面的面积为.故选：D.4答案：B解析：在正方体中,连接,AE,可得,所以异面直线与所成角即为直线与所成角,即为异面直线与所成角,不妨设,则,取的中点F,因为,所以,在直角中,可得.故选B项.5答案：D解析：.对于A选项,在正四面体ABCD中,AB,AC与平面BCD所成角相等,但AB与AC相交,A选项错误;对于B选项,若,则与平行或相交,B选项错误;对于C选项,若,则与平行或相交,C选项错误;对于D选项,由,得,由因为,所以,D选项正确.故选:D.6答案：D解析：作圆锥的轴截面,如图,由题可知,所以,即,解得,则,所以故选：D.7答案：C解析：在中,由余弦定理可得.又,故为直角三角形,故.因为,且为锐角,故.由利用正弦定理可得,代值可得,故.故选:C.8答案：D解析：如图所示,连接有关线段.设M,N为AC,的中点,即为上下底面的中心,MN的中点为O,则的中点也是O,又,由对称性可得O也是EF的中点,所以与EF交于点O,故不

4、是异面直线,故A错误;由正四棱柱的性质结合线面垂直的判定定理易得平面,因为平面,故B错误;设,则,设,易得,因为,为锐角;因为为锐角,因为当时取得最小值为为锐角,故为锐角三角形,故C错误;三棱锥也可以看做和的组合体,由于是固定的,E,F到平面AOC的距离是不变的(易知,平行与平面),故体积不变,故D正确.故选:D.9答案：ABD解析：对于A:设,则故A正确;对于B:设,则,故B正确;对于C:点在虚轴上,但不表示纯虚数,故C错误;对于D:因为表示点Z到的距离为1,则点Z在以为圆心的圆上,又表示点Z到的距离,又到的距离为,所以的最小值为,故D正确.故选:ABD10答案：ABC解析：A选项,在中,因为,所以,A正确;B选项,故B正确;C选项,C正确;D选项,设BC边上的高线为h,则,解得,D错误.故选:ABC11答案：ACD解析：如图所示,连接,AO,对A,平移直线到直线,则异面直线AC与所成的角,显然为正三角形,故A正确;对B,平面,为线面角,故B错误;对C,在三角形中,为二面角的平面角,故C正确;对D,利用补形法即三棱锥的外接球为正方体的外接球,故D正确.故选:ACD.12答案：4解析：

5、如图,四棱锥为正四棱锥,高,底面边长,过点O作于G,则G是中点,连接,于是斜高,所以正四棱锥的表面积.故答案为：4.13答案：解析：14答案：解析：由余弦定理知:,而,所以,而,即,当且仅当时等号成立,又,当且仅当时等号成立.故答案为:15答案：（1）或;（2）.解析：（1）因为,所以,所以或.（2）所以时,的最小值为16答案：（1）（2）1解析：（1）由于,所以,两边平方得,又,为单位向量,所以,设,的夹角为,则,所以,故,的夹角为.（2）因为,所以,由,故,所以故.17答案：（1）（2）（3）解析：（1）由条件可得,所以,因为,故,则,故.（2）所以的外接圆半径,面积为.（3）由题可知,故,设,则,且,在中,由正弦定理可得,所以,故的周长,因为,所以,所以当,即时,的周长最大,且最大值为.18答案：（1）证明见解析;（2）;（3）存在,.解析：（1）因为,E是BC的中点,所以,故四边形ABED是菱形,从而,所以沿着AE翻折成后,又因为,所以平面,由题意,易知,所以四边形AECD是平行四边形,故,所以平面;（2）因为平面,所以与平面所成的角为,由已知条件,可知,所以是正三角形,所以,所以与平面所成的角为;（3）假设线段上是存在点P,使得平面,过点P作交于Q,连结MP,AQ,如下图:所以,所以A,M,P,Q四点共面,又因为平面,所以,所以四边形AMPQ为平行四边形,故,所以P为中点,故在线段上存在点P,使得平面,且.

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