专题二:立体几何---线面垂直、面面垂直
15页1、专题二:立体几何-线面垂直、面面垂直一、知识点(1)线面垂直性质定理(2)线面垂直判定定理(3)面面垂直性质定理(2)面面垂直判定定理整理为word格式线面垂直的证明中的找线技巧通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直1如图1,在正方体中,为 的中点,AC交BD于点O,求证:平面MBD证明:连结MO,DB,DBAC, DB平面,而平面 DB 设正方体棱长为,则, 在Rt中, OMDB=O, 平面MBD评注:在证明垂直关系时,有时可以利用棱长、角度大小等数据,通过计算来证明利用面面垂直寻求线面垂直2如图2,是ABC所在平面外的一点,且PA平面ABC,平面PAC平面PBC求证:BC平面PAC 证明:在平面PAC内作ADPC交PC于D因为平面PAC平面PBC,且两平面交于PC,平面PAC,且ADPC, 由面面垂直的性质,得AD平面PBC 又平面PBC,ADBC PA平面ABC,平面ABC,PABC ADPA=A,BC平面PAC 评注:已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直在空间图形中,高一级的垂直关系
2、中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以看到,面面垂直线面垂直线线垂直一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直线面垂直面面垂直这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面是判定定理,而从后面推出前面是性质定理同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题下面举例说明整理为word格式3如图所示,ABCD为正方形,平面ABCD,过且垂直于的平面分别交于求证:,证明:平面ABCD,平面SAB又平面SAB,平面AEFG,平面SBC同理可证评注:本题欲证线线垂直,可转化为证线面垂直,在线线垂直与线面垂直的转化中,平面起到了关键作用,同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征,从而顺利实现证明所需要的转化4如图,在三棱锥BCD中,BCAC,ADBD,作BECD,为垂足,作AHBE于求证:AH平面BCD 证明:取AB的中点,连结CF,DF , , 又,平面CDF 平面CDF, 又, 平面ABE, , 平面BCD评注:本题在运用判定定理证明线面垂直时,将问题转化为证明线线垂直;而证明线线垂直时,又转化为证明线面垂直如此反复,直到证得结论整理为word格式5如图,是圆的
3、直径,是圆周上一点,平面ABC若AEPC ,为垂足,是PB上任意一点,求证:平面AEF平面PBC证明:AB是圆的直径,平面ABC,平面ABC,平面APC平面PBC,平面APC平面PBCAEPC,平面APC平面PBCPC,AE平面PBC平面AEF,平面AEF平面PBC评注:证明两个平面垂直时,一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线,即证线面垂直,而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系10如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ANBC; SC平面ANM分析: 要证ANBC, 转证, BC平面SAB。要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。证明: SA平面ABCSABC又BCAB, 且ABSA = ABC平面SABAN平面SABANBC ANBC, ANSB, 且SBBC = BAN平面SBCSCC平面SBCANSC又AMSC, 且AMAN = ASC平面ANM整理为word格式例2如图940,在三棱锥SABC
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