三角恒等变换的常用技巧
4页1、三角恒等变换的常用方法 肖新勇解答三角函数问题,几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化,将隐性问题明朗化。三角恒等变换的公式很多,主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、半角公式”等,这些公式间一般都存在三种差异,如角的差异、函数名的差异和运算种类的差异,只有灵活有序地整合使用这些公式,消除差异、化异为同,才能得心应手地解决问题,这是三角问题的特点,也是三角问题“难得高分”的根本所在。本文从六个方面解读三角恒等变换的常用技巧。一、 角变换角变换的基本思想是,观察发现问题中出现的角之间的数量关系,把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”,然后运用相应的公式求解。例1 已知,求的值。【分析】考虑到“已知角”是,而“未知角”是和,注意到,可直接运用相关公式求出和。【解析】因为,所以,又因为,所以,从而,. 原式=.【点评】(1)若先计算出,则在计算时,要注意符号的选取;(2)本题的另一种自然的思路是,从已知出发,用和角公式展开,结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出和. 但很繁琐,易出现计算错误。二、名变换名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换,需要进
2、行名变换的问题常常有明显的特征,如已知条件中弦、切交互呈现时,最常见的做法是“切弦互化”,但实际上,诱导公式、倍角公式和万能置换公式,平方关系也能进行名变换。例2 已知向量,求的定义域和值域;【分析】易知,这是一个“切弦共存”且“单、倍角共在”的式子,因此既要通过“切化弦”减少函数名称,又要用倍角公式来统一角,使函数式更简明。【解析】 由得, 所以,.的定义域是,值域是.【点评】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”,变形后再进行“切化弦”求解.三、常数变换在三角恒等变形过程中,有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式,以利于完善式子结构,运用相关公式求解,如 ,等.例3 (1)求证: ;(2)化简:.【分析】第(1)小题运用和把分子、分母都变成齐次式后进行转化;第(2)小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的的形式,有利于系统研究函数的图象与性质. 【解析】(1)左边=.(2)原式=【点评】“1”的变换应用是很多的,如万能置换公式的推导,实际上是利用了把整式化成分式后进行的,又如例4中,也是利用了,把分式变成了整式.四、 边角互化解三角形时,边角交互呈现,用正、余弦
3、定理把复杂的边角关系或统一成边,运用代数运算方法求解,或统一成角,运用三角变换求解.例4 在中,分别为角的对边,且2a sinA = (2b+c) sinB + (2c+b) sinC,(1)求角的大小;(2)若,证明是等腰三角形.【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身,看似复杂,但等式是关于三边长和三个角的正弦的齐次式,所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解。【解析】(1)(角化边)由正弦定理得, ,整理得,所以,因为,所以.(2)解法一 (边化角)由已知和正弦定理得, 即,从而, 又,所以.所以,是等腰三角形.解法二 由(1)知,代入得,所以,所以,是等腰三角形.【点评】第(1)小题“化角为边”后,把已知条件转化为边的二次齐次式,符合余弦定理的结构,第(2)小题的解法一之所以“化边为角”,是因为不易把条件化为边的关系,而把条件转化为边的关系却很容易;解法二的基本思路是消元后统一角,再利用“化一公式”简化方程.五、 升降幂变换当所给条件出现根式时,常用升幂公式去根号,当所给条件出现正、余弦的平方时,常用“降幂”技巧,常见的公式有:,可以看出,从左至右是“幂升角变半”,而从右至左则是“幂降角变倍”.例5 化简:【分析】含有根号,需“升幂”去根号.【解析】原式= =因为,所以,所以,原式.【点评】“升降幂技巧”仅仅是解题过程中的一个关键步骤,只有有效地整合各种技巧与方法才能顺利地解题。如例7中用到了常数“变换技巧”。六、公式变用几乎所有公式都能变形用或逆向用,如,等,实际上,“常数变换”技巧与“升降幂”技巧等也是一种公式变用或逆用技巧. 例6 求值:(1);(2)。【分析】第(1)小题中,除是特殊角外,其他角成倍角,于是考虑使用倍角公式;第(2)小题中两角差为,而是两角差的正切值,所以与两角差的正切公式有关。【解析】(1)原式。(2)原式。【点评】第(1)小题的一般性结论是: .最后还要指出,这里介绍的所谓技巧只是解决问题时关键步骤的一种特定的做法,每一个问题的解决常常伴随着几种技巧的综合运用,所以,只有准确理解三角公式的内在关系及其基本功能,善于发现问题中角、名、结构的差异,准确地选择转换策略,化异为同,才能准确有效地运用三角恒等变换的常用技巧解决问题. (作者单位:江西省新余十六中)
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