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数值线性代数(徐树芳老师)答案

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20 金贝

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常见问题

1、习题 1求下三角阵的逆矩阵的详细算法. 解设下三角矩阵 L 的逆矩阵为 T我们可以使用待定法，求出矩阵T 的各列向量 . 为此我们将 T 按列分块如下：注意到我们只需运用算法111，逐一求解方程便可求得注意考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T 的初始状态为单位矩阵 .这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L 的逆矩阵 T，前代法）设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组 . 解因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵 T 的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法 . 于是对该问题我们有如下解题的步骤：（ 1）计算上三角矩阵T 的逆矩阵，算法如下：算法 1 （求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法. 该算法的的运算量为）（ 2）计算上三角矩阵. 运算量大约为.（ 3）用回代法求解方程组：. 运算量为；（ 4）用回代法求解方程组：运算量为.算法总运算量大约为：证明：如果是一个 Gauss变换，则也是一个 Gauss变换 .2/21 解按 Gauss 变换矩阵的定义，易知矩阵是 Gauss变换 . 下面我们只需证明它是

2、 Gauss 变换的逆矩阵 . 事实上注意到，则显然有从而有确定一个 Gauss 变换 L，使解比较比较向量和可以发现 Gauss变换 L 应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2 倍；使向量的第三行加上第一行的2倍 . 于是 Gauss 变换如下证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理112 中的L 和 U都是唯一的 . 证明设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵 . 因为 A 非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵.3/21因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵.即，从而即 A 的 LU分解是唯一的 .设的定义如下证明 A 有满足的三角分解 . 证明令是单位下三角阵，是上三角阵 . 定义如下容易验证：设 A 对称且，并假定经过一步Gauss 消去之后， A 具有如下形式4/21证明仍是对称阵 . 证明根据 Gauss变换的属性，显然做矩阵 A 的 LU分解的第一步中的 Gauss 变换为其中，将 A 分块为那么即由 A

3、的对称性，对称性则是显而易见的 .设是严格对角占优阵，即A 满足又设经过一步 Gauss 消去后， A 具有如下形式5/21试证：矩阵仍是严格对角占优阵 . 由此推断：对于对称的严格对角占优矩阵来说，用 Gauss消去法和列主元Gauss消去法可得得同样的结果. 证明依上题的分析过程易知，题中的于是主对角线上的元素满足（ 1）非主对角线上的元素满足由于 A 是严格对角占优的，即故从而（2）6/21综合（ 1）和（ 2）得即，矩阵仍是严格对角占优阵 .设有三角分解 . 指出当把 Gauss 消去法应用于矩阵时，怎样才能不必存储L 而解出 Ax=b？需要多少次乘法运算？解用 Gauss 消去法作 A 的 LU 分解，实际上就是对系数矩阵A 作了一组初等行变换，将其化为上三角矩阵U. 而这一组的初等行变换对应的变换矩阵就是，即如果把这一组初等行变换施加于方程右端向量b 上，即有这就是说，方程组和是同解方程 . 而后者是上三角形方程组，可运用本章算法 112 求解 . 这样我们就不必存储L，通求解方程组，来求解原方程组. 算法如下：（ 1）用初等变换化；（ 2）利用回代法求解方程组.7/

4、21该算法所需要的加、减、乘、除运算次数为10A 是正定阵，如果对A 执行 Gauss消去一步产生一个形式为的矩阵，证明仍是正定阵 . 证明不妨设从而有由于非奇异，故对且，构造，及，则由 A的正定性有由 x 的任意性知，正定 .11设8/21并且是非奇异的 . 矩阵称为是在 A 中的 Schur 余阵 . 证明：如果有三角分解，那么经过步 Gauss消去以后，S 正好等于（）的矩阵1 1 4 证明因为有三角分解，所以矩阵 A 可保证前步 Gauss消去法可以顺利完成 . 即有如下单位下三角矩阵使注意到比较两式便知，故有12证明：如果用全主元Gauss 消去法得到 PAQ=LU，则对任意有证明略.13利用列主元 Gauss消去法给出一种求逆矩阵的实用算法.9/21 解设 A 是非奇异的，则应用列主元Gauss 消去法可得到这里： P 是置换阵， L 是单位下三角阵， U是上三角阵 . 于是，通过求解下列 n 个方程组便可求得于是也就是说，求 A 的逆矩阵，可按下列方案进行：（ 1）用列主元 Gauss 消去法得到：；（ 2）经求解：得；（ 3）对 X 进行列置换得：.假定已知的三角分解： A=LU 试设计一个算法来计算的（ i ，j ）14.元素 . 解求解方程组则 x 的第 i 个分量就是的（ i,j）元素 .10/2115证明：如果是严格对角占优阵（参见第8 题），那么 A 有三角分解 A=LU并且证明仿照第 8 题的证明，容易证明：对于是严格对角占优阵，经过一步 Gauss 消去后，得到其中仍是严格对角占优阵 .A 的三角分解 A=LU中这样，我们在对 A 进行列主元三角分解时，不需要选择主元，因为每次消元时，主元位置上的元素恰好是列主元 . 因此，16形如的矩阵称作 Gauss-Jordan 变换，其中.（ 1）假定非奇异，试给出计算其逆矩阵的公式.（ 2）向量满足何种条件才能保证存在使得?（ 3）给出一种利用Gauss-Jordan 变换求的逆矩阵的算法 . 并且说明A 满足何种条件才能保证你的算法能够进行到底. 解为解决本问题，我们引入Gauss-Jordan 变换的两个性质：性质1：.事实上，11/21性质 2：Gauss-Jordan 变换非奇异的充分必要条件是.（ 1）运用待定法，首先设的逆矩阵为，

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