2024人教版数学七年级下册教学课件2.7.1 二次根式及其性质

1、第二章第二章 二次根式二次根式2.7 二二次根式次根式第1课时PPT模板： PPT课件： 观察下列代数式：观察下列代数式：可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的共同特征是：都含有开平方运算，并且被开方数都是非负共同特征是：都含有开平方运算，并且被开方数都是非负数数.1知识点二次根式的定义二次根式的定义知知1 1讲讲 形如形如 (a0)的式子叫做的式子叫做二次根式二次根式 其中其中a为整式或分式，为整式或分式，a叫做叫做被开方式被开方式特点：特点：都是形如都是形如 的式子，的式子，a都是非负数都是非负数.知知1 1讲讲例例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由判断下列各式是否为二次根式，并说明理由 导引：导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根 式定义的条件，式定义的条件，紧扣定义紧扣定义进行识别进行识别解：解：(1)不是理由：因为不是理由：因为 的根指数是的根指数是3，所以，所以 不是二次根不是二次根 式式 (2)是理由：因为不论是理由：因为不论x为何值，都有

2、为何值，都有x210，且，且 的根指数为的根指数为2，所以，所以 是二次根式是二次根式知知1 1讲讲(3)不一定是理由：当不一定是理由：当5a0，即，即a0时，时，是二次是二次 根式；当根式；当a0时，时，5a0，则，则 不是二次根不是二次根 式所以式所以 不一定是二次根式不一定是二次根式(4)不是理由：不是理由：(a0)只能称为含有二次根式的代只能称为含有二次根式的代 数式，不能称为二次根式数式，不能称为二次根式（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲(5)不一定是理由：当不一定是理由：当a4，即，即a40时，时，是二次根式；是二次根式；当当a4时，时，(a4)20，所以，所以 不是二次根式所以不是二次根式所以 不一定是二次根式不一定是二次根式(6)是理由：因为是理由：因为x22x2x22x11(x1)210，且，且 的根指数为的根指数为2，所以，所以 是二次根式是二次根式(7)是理由：因为是理由：因为|x|0，且，且 的根指数为的根指数为2，所以，所以 是二次根是二次根式式（来自（来自点拨点拨）总结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）二次根式的识别方法：二次根式的识别方法：判断一个式子

3、是否为二次根判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否否同时具备同时具备二次根式的两个特征：二次根式的两个特征：(1)含根号且根指数为含根号且根指数为2(通常省略不写通常省略不写)；(2)被开方数被开方数(式式)为非负数为非负数知知1 1讲讲 例例2 当当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？导引导引：要使二次根式有意义，则被开方数是非负数要使二次根式有意义，则被开方数是非负数解：解：(1)欲使欲使 有意义，则必有有意义，则必有2x60且且x50，所，所 以以x3且且 x5.(2)欲使欲使 有意义，则必有有意义，则必有x20且且5x0，所以，所以 2x5.（来自（来自点拨点拨）总结知知1 1讲讲求式子有意义时字母的取值范围的方法：求式子有意义时字母的取值范围的方法：第一步，第一步，明确式子有意义的条件，对于单个的二次根明确式子有意义的条件，对于单个的二次根 式式只需满足只需满足被开方数为非负数；对于含有多个二次被开方数为非负数；对于含有多个二次 根式的，则根式的，则必

4、须满足必须满足多个被开方数同时为非负数；多个被开方数同时为非负数；对于零指数，则对于零指数，则必须满足必须满足底数不能为零底数不能为零第二步，第二步，利用式子中所有有意义的条件，建立不等关利用式子中所有有意义的条件，建立不等关 系第三步，由不等关系得出字母的取值范围系第三步，由不等关系得出字母的取值范围1下列式子一定是二次根式的是下列式子一定是二次根式的是()(中考中考武汉武汉)若代数式若代数式 在实数范围内有意义，在实数范围内有意义，则则x的取值范围是的取值范围是()Ax2 Bx2 Cx2 Dx2知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2CC2知识点二次根式的性质二次根式的性质知知2 2导导做一做做一做（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？）计算下列各式，你能得到什么猜想？（2）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借 助计算器验证，并与同伴进行交流助计算器验证，并与同伴进行交流.知识点知知2 2讲讲 二次根式的性质：二次根式的性质：积的算术平方根，等于积的算术平方根，等于_;_;商的算术平方根，等于商的算术平方根，等于_;_

5、;算术平方根的积算术平方根的积算术平方根的商算术平方根的商知识点知知2 2讲讲例例3 化简：化简：（来自教材）（来自教材）解：解：知识点知知2 2讲讲 例例4 易错题易错题化简：化简：导引：导引：应用积的算术平方根性质的应用积的算术平方根性质的前提是前提是乘积的算术平方根，如乘积的算术平方根，如 不是，则需将它们转化为积的形式，其次是每个因数不是，则需将它们转化为积的形式，其次是每个因数(式式)必须是非负数必须是非负数(1)(2)中被开方数为数，中被开方数为数，(3)(4)中被开方数中被开方数 是含有字母的单项式，都可利用是含有字母的单项式，都可利用 进行化简进行化简 知识点知知2 2讲讲解：解：（来自（来自点拨点拨）知识点知知2 2讲讲商的算术平方根再探索商的算术平方根再探索(1)商的算术平方根的性质的商的算术平方根的性质的实质是逆用实质是逆用二次根式的除法二次根式的除法 法则；法则；(2)应用商的算术平方根的前提条件是商中被除式是非负应用商的算术平方根的前提条件是商中被除式是非负 数，除式是正数；数，除式是正数；(3)商的算术平方根的性质的商的算术平方根的性质的作用是化简二次根式作

6、用是化简二次根式，将分，将分 母中的根号化去母中的根号化去知识点知知2 2讲讲分母有理化分母有理化(1)定义：定义：化去分母中根号的变形叫做分母有理化；化去分母中根号的变形叫做分母有理化；(2)依据：依据：分式的基本性质及分式的基本性质及 (a0)；(3)方法：方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式将分子和分母都乘分母的有理化因式1(中考中考荆门荆门)当当1a2时，代数式时，代数式 的值是的值是()A1 B1C2a3 D32a知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）B下列结果正确的有下列结果正确的有()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2C3知识点最简二次根式最简二次根式知知3 3讲讲1.定义：定义：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得一般地，被开方数不含分母，也不含能开得 尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二最简二 次根式次根式最简二次根式必须满足：最简二次根式必须满足：(1)被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整数被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整数 (式式)；(2)被开方数中每个因

7、数被开方数中每个因数(式式)的指数都小于根指数的指数都小于根指数2，即每个因数即每个因数(式式)的指数都是的指数都是1.知识点知知3 3讲讲2将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤：将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤：(1)“一分一分”，即利用因数，即利用因数(式式)分解的方法把被开方数的分子、分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数分母都化成质因数(式式)的幂的乘积形式；的幂的乘积形式；(2)“二移二移”，即把能开得尽方的因数，即把能开得尽方的因数(式式)用它的算术平方根代用它的算术平方根代 替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外 时，要注意应写在分母的位置上；时，要注意应写在分母的位置上；(3)“三化三化”，即将分母有理化，即将分母有理化化去被开方数中的分母化去被开方数中的分母 注意：注意：(1)分母中含有根式的式子不是最简二次根式；分母中含有根式的式子不是最简二次根式；(2)去根号时，忽视隐含条件，误将负数移到根号外；去根号时，忽视隐含条件，误将负数移到根号外；(3)去根号后漏掉括号去根号后漏掉括号

8、知识点知知3 3讲讲 例例5 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根 式？不是最简二次根式的，请说明理由式？不是最简二次根式的，请说明理由解：解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母 (2)是最简二次根式是最简二次根式 (3)不是最简二次根式，因为被开方数是小数不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母即含有分母)(4)不是最简二次根式，因为被开方数不是最简二次根式，因为被开方数24x中含有能开得尽方的中含有能开得尽方的 因数因数4，422.(5)不是最简二次根式，因为不是最简二次根式，因为x36x29xx(x26x9)x(x 3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式，被开方数中含有能开得尽方的因式 (6)不是最简二次根式，因为分母中有二次根式不是最简二次根式，因为分母中有二次根式（来自（来自点拨点拨）总结知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）判断一个二次根式是否是最简二次根式的方法：判断一个二次根式是否是最简二次根式的方法：利用利用最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判

9、断：最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断：(1)被开方数不含分母，即被开方数必须是整数被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式式)；(2)被开方数不含能开得尽方的因数被开方数不含能开得尽方的因数(式式)，即被开方数，即被开方数 中每个因数中每个因数(式式)的指数都小于根指数的指数都小于根指数2；另外还要具；另外还要具 备分母中不含二次根式的条件备分母中不含二次根式的条件知识点知知3 3讲讲例例6 化简：化简：（来自（来自点拨点拨）若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简解：解：导引：导引：总结知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）被开方数是数的二次根式的化简被开方数是数的二次根式的化简技巧技巧：(1)当被开方数是整数时，应当被开方数是整数时，应先将先将它分解因数；它分解因数；(2)当被开方数是小数或带分数时，应当被开方数是小数或带分数时，应先将先将小数化小数化 成分数或带分数化成假分数的形式；成分数或带分数化成假分数的形式；(3)当被开方数是整数或分数的和差时，应当被开方数是整数或分数的和差时，应先将先将这这 个和差的结果求出个和差的结果求出1(中考中考淮安淮安)下列式子为最简二次根式的是下列式子为最简二次根式的是()在下列根式中，不是最简二次根式的是在下列根式中，不是最简二次根式的是()知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）2AD1.当当a0时，时，2.当当a0时，时，3.1.必做必做:完成教材完成教材P43,习题习题T1-T4 2.补充补充:请完成请完成点拨训练点拨训练P35-P36对应习题对应习题

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