中考必会几何模型：中点四大模型

1、Wang中点四大模型模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形模型分析如图，AD是ABC的中线，延长AD至点E使DEAD，易证：ADCEDB（SAS）如图，D是BC中点，延长FD至点E使DEFD，易证：FDBEDC（SAS）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移模型实例如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AFEF，求证：ACBE1如图，在ABC中，AB12，AC20，求BC边上中线AD的范围解：延长AD到E，使ADDE，连接BE， AD是ABC的中线， BDCD，在ADC与EDB中，ADCEDB（SAS），EBAC20，根据三角形的三边关系定理：2012AE2012，4AD16，故AD的取值范围为4AD162如图，在ABC中，D是BC的中点，DMDN，如果BM2CN2DM2DN2求证：AD2(AB2AC2)证明：如图，过点B作AC的平行线交ND的延长线于E，连MEBDDC，EDDN在BED与CND中，BEDCND（SAS）BENCMDN90，MD为EN的中垂

2、线EMMNBM2BE2BM2NC2MD2DN2MN2EM2，BEM为直角三角形，MBE90ABCACBABCEBC90BAC90AD2(BC)2（AB2AC2）模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”模型实例如图，在ABC中，ABAC5，BC6，M为BC的中点，MNAC于点N，求MN的长度 解答：连接AMABAC5，BC6，点M为BC中点，AMBC，BMCMBC3AB5，AMMNAC，SANCMCAMACMN即：345MNMN跟踪练习1如图，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，AEDE，AFDF，且AEAF，求证：EDBFDC证明：连结AD，ABAC，D是BC的中点，ADBC，ADBADC90在RtAED与RtAFD中，RtAEDRtAFD（HL）ADEADF，ADBADC90，EDBFDC2已知RtABC中，ACBC，C90，D为AB边的中点，EDF90，EDF绕D点旋转，它的两边分别

3、交AC、CB（或它们的延长线）于E、F（1）当EDF绕D点旋转到DFAC于E时（如图），求证：SDEFSCEFSABC；（2）当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图和图这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， SDEF、SCEF、SABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明解：（1）连接CD；如图2所示：ACBC，ACB90，D为AB中点，B45，DCEACB45，CDAB，CDABBD，DCEB，CDB90，EDF90，12，在CDE和BDF中，CDEBDF（ASA），SDEFSCEFSADESBDFSABC；（2）不成立；SDEFSCEFSABC；理由如下：连接CD，如图3所示：同（1）得：DECDBF，DCEDBF135SDEFS五边形DBFEC，SCFESDBC，SCFESABC，SDEFSCFESABCSDEF、SCEF、SABC的关系是：SDEFSCEFSABC 模型3 已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理模型分析在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DEBC，且DEBC来解题中位线定理中既有线段之

4、间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题模型实例如图，在四边形ABCD中，ABCD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M，N求证：BMECNE解答如图，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HFE、F分别是BC、AD的中点，FHAB，FHAB，HEDC，HENC又ABCD，HEHFHFEHEFFHMB，HENC，BMEHFE，CNEFEHBMECNE 练习：1.（1）如图1，BD，CE分别是ABC的外角平分线，过点A作ADBD，AECE，垂足分别为D，E，连接DE，求证：DEBC，DE=（AB+BC+AC）；（2）如图2，BD，CE分别是ABC的内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？（3）如图3，BD是ABC的内角平分线，CE是ABC的外角平分线，其他条件不变，DE与BC还平行吗？它与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明.1.解答（1）如图，分别延长AE，AD交BC于H，K.在BAD和BKD中，BAD BKD（ASA）AD=KD，AB=KB.同理可证，AE=HE，AC=

5、HC.DE=HK.又HK=BK+BC+CH=AB+BC+AC.DE=（AB+AC+BC）.（2）猜想结果：图结论为DE=（AB+AC-BC）证明：分别延长AE，AD交BC于H，K.在BAD和BKD中BADBKD（ASA）AD=KD，AB=KB同理可证，AE=HE，AC=HC.DE=HK.又HK=BK+CH-BC=AB+AC-BCDE=（AB+AC-BC）（3）图的结论为DE=（BC+AC-AB）证明：分别延长AE，AD交BC或延长线于H，K.在BAD和BKD中，BAD BKD（ASA）AD=KD，AB=KB.同理可证，AE=HE，AC=HC.DE=KH.又HK=BH-BK=BC+CH-BK=BC+AC-ABDE=（BC+AC-AB）.2.问题一：如图，在四边形ABCD中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断OMN的形状，请直接写出结论.问题二：如图，在ABC中，ACAB，D点在AC上，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若EFC=60，连接GD，判断AGD的形状并证明.2

6、.证明（1）等腰三角形（提示：取AC中点H，连接FH，EH，如图）（2）AGD是直角三角形如图，连接BD，取BD的中点H，连接HF，HE.F是AD的中点，HFAB，HF=AB.1=3.同理，HECD，HE=CD，2=EFC，AB=CD，HF=HE.1=2.EFC=60，3=EFC=AFG=60.AGF是等边三角形.AF=FG.GF=FD.FGD=FDG=30.AGD=90，即AGD是直角三角形.模型4 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=AB，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：ACD和BCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用.模型实例如图，在ABC中，BE，CF分别为AC，AB上的高，D为BC的中点，DM EF于点M，求证：FM=EM.证明连接DE，DF.BE，CF分别为边AC，AB上的高，D为BC的中点，DF=BC，DE=BC. DF=DE，即DEF是等腰三角形.DMEF，点M是EF的中点，即FM=EM.练习：1.如图，在ABC中，B=2C，

7、ADBC于D，M为BC的中点，AB=10，求DM的长度.1.解答取AB中点N，连接DN，MN.在RtADB中，N是斜边AB上的中点，DN=AB=BN=5.NDB=B.在ABC中，M，N分别是BC，AB的中点，MNACNMB=C，又NDB是NDM的外角，NDB=NMD+DNM.即B=NMD+DNM=C+DNM.又B=2C，DNM=C=NMD.DM=DN.DM=5.2.已知，ABD和ACE都是直角三角形，且ABD=ACE=90，连接DE，M为DE的中点，连接MB，MC，求证：MB=MC.2.证明延长BM交CE于G，ABD和ACE都是直角三角形，CEBD.BDM=GEM.又M是DE中点，即DM=EM，且BMD=GME，BMD GME.BM=MG.M是BG的中点，在RtCBG中，BM=CM.3.问题1：如图，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE BC，BF AC，垂足分别为点E，F.AE、BF交于点M，连接DE，DF，若DE=kDF，则k的值为 .问题2：如图，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC内部，且MAC=MBC，过点M分别作ME BC，MF AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF，求证：DE=DF.问题3：如图，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB CA”，其他 条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论.3.解答（1）AEBC，BFAC，AEB和AFB都是直角三角形，D是AB的中点，DE=AB，DF=AB.DE=DF.DE=KDF，k=1.（2）CB=CA，CBA=CAB.MAC=MBC，CBA-MBC=CAB-MAC，即ABM=BAM.AM=BM.MEBC，MFAC，MEB=MFA=90.又MBE=MAF，MEB MFA（AAS）BE=AF.D是AB的中点，即BD=AD，又DBE=DAF，DBE DAF（SAS）DE=DF.（3）DE=DF.如图，作AM的中点G，BM的中点H，连DG，FG，DH，EH.点

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