CH8空间解析几何与向量代数

1、知识点六 向量的运算内容：1空间坐标系 （1）点的坐标与位置 （2）两点间距离公式：2向量的线性运算（略） 方向余弦：（1） （2）向量的单位余弦构成的向量是同方向的单位向量，即 3向量的数量积（点积、内积）（1）数量积的定义计算式：（2）数量积的坐标计算式：（3）数量积的两个性质：（a） (b) （4）两向量的夹角：（5）向量的数量积的物理意义：恒力对直线运动物体的做功4向量的向量积（叉积、外积） （1）向量积的定义计算：（a）方向：右手法则 （b）大小： （2）向量积的坐标计算： （3）向量积的性质：（a） (b) （c）5向量的混合积 （1）计算公式： （2）意义：向量、共面典型例题1. 设在轴上，它到的距离为到点的距离的两倍，求点的坐标.解：因为在轴上，设P点坐标为， ，所求点为。2在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？，。解：四，八，七，三。3. 已知，求（1）；（2）与的夹角；（3）在上的投影.解：（1） （2），。 （3）4求与，都垂直的单位向量。解： ，典型练习1关于平面对称的点是 ，关于平面对称的点是 ，关于平面对称的点是 ，关于轴对称的点是 ，关于轴对称的点是

2、 ，关于轴对称的点是 ，2点在平面上的射影点为_ ,在面上的射影点为_，在轴上的射影点为_，在轴上的射影点为_，在轴上的射影点为_，在轴上的射影点为_3.已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为_;4在面上，求与三个已知点，和等距离的点。5用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形6设，求以向量为边的平行四边形的对角线的长度.7设，问与怎样的关系能使行与轴垂直？8 已知两两垂直，且，求的长度与它和的夹角。9 计算以向量和为边的三角形的面积，其中和是相互垂直的单位向量。知识点七 曲面方程内容：1. 空间曲面的方程：，或2旋转曲面方程：坐标面上的曲线绕轴旋转一周的旋转曲面方程为：，绕轴旋转一周的旋转曲面方程为：。同理：坐标面上的曲线绕轴旋转一周的旋转曲面方程为：，绕轴旋转一周的旋转曲面方程为：。坐标面上的曲线绕轴旋转一周的旋转曲面方程为：，绕轴旋转一周的旋转曲面方程为：。 3柱面方程：特征缺项：缺哪一变量，柱面的母线平行于哪个轴。 例：方程中缺母线平行于轴的椭圆柱面； ：方程中缺母线平行于轴的双曲柱面； ： 方程中缺母线平行于轴的抛物柱面。 4 二次曲面：（1）椭球面 当中有两个相等

3、时，如，为旋转椭球面 当时，如，为圆球面 （2）椭圆锥面 （3）单叶双曲面 （有不同形式的变化） （4）双叶双曲面 （有不同形式的变化）（5）椭圆抛物面 （6）双曲抛物面 加上椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，二次曲面共九种一般形式。典型例题1球面：的球心是点_，半径 _；2方程在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面（柱面）；方程在平面解析几何中表示圆，在空间解析几何中表示圆柱面。3设曲面方程+，当时，曲面可由面上曲线绕轴旋转面成，或由面上以曲线绕轴旋转面成。典型练习1. 与轴和点等距离的点的轨迹方程是_；2. 以点为球心，且通过坐标原点的球面方程是_；3. 曲面是由曲线_绕_轴旋转一周所形成的；4. 曲面与平面的交线是_ _；5. 通过曲线,，且母线平行于轴的柱面方程是_；知识点八 空间曲线内容：1空间曲线的方程：（1）一般方程（两空间曲面的交线）： （2）参数方程 2空间曲线在坐标平面上的投影曲线的求法：（以空间曲线在平面上投影为例） （1）曲线方程消掉参数，得； （2）曲线在坐标平面上的投影曲线为典型例题1求抛物面与平面 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程。解：交线方程为

4、。 消去，得在平面上的投影：； 消去，得在平面上的投影：； 消去，得在平面上的投影：。2设一个立体由上半球面和锥面所围成，求它在平面上的投影。解：实心立体的投影，应是最外端曲线（两曲面交线）在平面上的投影。 半球面和锥面的交线为：消去，得投影柱面，则交线在平面上的投影为，所以立体在平面上的投影为典型练习1. 曲线在平面上的投影方程是_；2. 方程组在平面解析几何中表示_，在空间解析几何中表示_；3. 旋转抛物面()在面的投影为_；在面的投影为_；在面上的投影为_。4. 求螺旋线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。5. 求由上半球面,柱面及平面所围成的立体，在面和面上的投影 .知识点九 平面方程内容：1平面的法向量：2平面的方程：3特殊位置的平面方程： （1）过原点的平面：，（） （2）平行于坐标轴（如轴）也即垂直于坐标平面的平面：，（）（3）过坐标轴（如轴）的平面：，（） （4）垂直于坐标轴（如轴）也即平行于坐标平面的平面：，（） 典型例题1求过点的平面方程。 解：法1：，则 所以平面方程为：，即：法2：设平面方程为：，代入三点坐标得： 解得：，代入得：法3：由平面过点，知平面过轴

5、，可设平面方程为，代入点坐标得：，代入得：典型练习1 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：（1）； （2）；（3）.2求过点和三点的平面方程。3过点且平行于向量和的平面方程。4. 求通过轴和点的平面方程。5. 求与已知平面平行且与三坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程。知识点十 空间直线方程内容：1直线的方向向量：2直线的方程：典型例题1用对称式方程及参数方程表示直线 解：在直线上任取一点，所以对称式方程为：，参数方程为：典型练习1通过点且平行于直线的直线方程为_2用对称式方程及参数方程表示直线：知识点十 空间中点、平面、直线的位置关系内容：点平面， 平面直线， 直线1两平面夹角（法向量的夹角（锐角）：2两平面垂直：3两平面平行：4点到平面的距离：5两直线的夹角（方向向量的夹角（锐角）：6两直线垂直：7两直线平行：8两直线共异面：与共面9直线与平面的夹角：直线和它在平面上的投影直线的夹角：10直线与平面垂直：11直线与平面平行：12点到空间直线的距离：直线的方向向量为，为直线外一点，直线上任意一点， 13两平行平面间距离：14平面束：对直线，构造方程，对于任取一值，此方程代表平面

6、，且均过过直线，也即过直线的所有平面。典型例题1求过点，且垂直于平面和的平面方程 解：，取法向量平面方程为，化简得：2一直线过点，且和轴垂直相交，求其方程 解：因为直线和轴垂直相交，所以交点为，取方向向量， 则所求直线方程为3求过点且与直线垂直相交的直线方程 解：先作一过点M且与已知直线垂直的平面： 再求已知直线与该平面的交点N，代入平面方程得， 即交点坐标为：，取方向向量 所求直线方程为：4求过点且通过直线的平面方程 解：法1 直线过点，方向向量为，取法向量 所求平面方程为，即法2 过平面的平面束方程为：，代入点坐标得 代入平面束方程得。5求与已知直线：及：都相交且和：平行的直线的方程。 解：设与、的交点分别为， 则，解得 所求直线方程为典型练习1直线与直线 的夹角的余弦为_；2.直线和平面在平面上的夹角分别为_ _3.直线和平面的关系是_；4.直线和平面的关系是_ .5.求直线在平面上的投影直线的方程 .6.求与已知直线：及：都相交且和：平行的直线的方程。7.设一平面垂直于平面,并通过从点到直线：的垂线，求此平面的方程8.求过点且平行于平面又与直线相交的直线方程。9.求点到直线的距离 .10.求两直线：和：的公垂线的方程，及公垂线段的长

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