数学建模-红绿灯问题

1、红绿灯优化问题 摘要 红绿灯(交通信号灯)系以规定之时间上交互更迭之光色讯号，设立于交岔路口或其她特殊地点,用以将道路通行权指定给车辆驾驶人与行人,管制其行止及转向之交通管制设施。为一由电力运转之交通管制设施，以红、黄、绿三色灯号或辅以音响,批示车辆及行人停止、注意与行进,设于交岔路口或其她必地点。 有些红绿灯在设计的时候,由于考虑不周全，环境的发展变化,浮现了一系列问题，使得不能真正的以便于人。为了使红绿灯能真正的以便于人,本文建模过程根据实际状况，考虑诸如道路车辆行驶速度、行人行走速度、车流量、人流量、路段宽度等有关问题,对这些因素进行了数据收集，运用数学措施对其进行了分析,得出了各个影响红绿灯变化的规律及其拟合方程。一、问题重述 灯是用以将道路通行权指定给车辆驾驶人与行人,管制其行止及其转向之交通管制设施，红绿灯灯亮的时间长短问题影响了车辆和行人的通行。如控制方案不佳，会导致行人和车辆通行的不便,如何设立才干使红绿灯时间达到最佳。 在平常生活中我们懂得红绿灯的表达如下： （一)绿灯亮时,准许车辆通行，但转弯的车辆不得阻碍被放行的直行车辆、行人通行； (二）黄灯亮时，已越过停止线的

2、车辆可以继续通行; (三)红灯亮时，严禁车辆通行。 根据其工作原理我们可以懂得,在红绿灯前一方面司机会看到黄灯,黄灯亮后变成红灯,红灯亮后,没有通过停止线的车辆则要停止，行人此时过马路。此后再变绿灯，以此循环。但由于变化的规律性,地区的差别，红绿灯时间很难达到最佳。 红绿灯时间差的决定因素大体可以归为两个:车流量和人流量。 第一种因素车流量会由于地区经济发展限度而决定。所谓的地区经济发展限度会影响该地区人们的经济,人们的经济条件则决定车的总量。 第二个因素人流量的重要影响条件也是地区经济发展限度,因此我们把总因素,即红绿灯的时间差因素归纳为地区经济发展因素的影响。 根据路口设立信号灯的交通流量原则表，下表所示：公路级别高速公路一二三四计算行车速度(m/）120008060100 6 0 6030 40 20 根据路口设立信号灯的交通流量原则表，下表所示： 主路宽度(m）主道路交通流量（辆h）支道路交通流量（辆/h)高峰小时1h高峰小时2不不小于17500030080000270210012030190不小于0900100000410010001302140010020201800501

3、50二、模型的建设1、假设公路路面行驶顺畅，因此车辆设为质点，车距相等;2、假设司机的反映时间相似;、假设车辆离红绿灯较远的速度和离开红绿灯后的速度相等。三、符号阐明Q为等待红绿灯的人流量W为车流量V为车辆离红绿灯较远时的速度(ms)T为红绿灯所占时间周期（s）I为相邻两红绿灯的道路长度（m)为所需通行时间占周期总时间的比例为车辆密度（辆/）四、模型建立与求解在公路上选定一种坐标原点,记作x=0.以车流运动方向作为轴的正向，对于每一时刻t和每一点x，引入3个基本函数； 流量(x,)时刻t单位时间内通过点x的车辆数; 密度(x,t)时刻t点处单位长度内的车辆数；速度u(，t)时刻t通过点x的车流速度;单位时间内通过的车辆数等于单位长度内的车辆数与车辆速度的乘积，即W(x,)=（x,)K(,t) 由这三个函数我们可以得知，车流速度u总是随着车流密度K的增长而减小的。当一汽车前面没有车辆的时候,它将以最大速度V行驶。当亮红灯时，车队首尾连接导致堵塞,车辆无法迈进，此时K为最大值，车辆行驶速度=0. 在交通模型中这个关系常用如下二次函数表述： W=(1-/Km) 由得出： =um(1kkm)

4、最后得到，W的最大极值点为Km2 阐明,红灯亮时道路中间的车辆密度为最大,首尾两端递减。若本来公路上的交通处在稳定状态，即初始密度K(x）是常数。某时刻交通灯忽然变红灯，于是前面车辆继续行驶,背面的车辆则一辆辆地堵塞起来。 红绿灯的变化必然引起密度函数K（x,t）的间断,一连串的间断点（x，t）在平面上构成一条孤立持续的间断线。 考虑到如果汽车以V0 (m/s)行驶的过程中遇到红灯，汽车将会经历一种减速过程,最后停在红灯线前，为了使模型较为简洁，近似地取作为汽车在这个过程中的速度。同样的，当绿灯亮时,汽车将经历一种加速过程，最后以一种较大a0的速度离开路口,模型建立的时候觉得加速过程较短,可以忽视，汽车离开路口的速度为Va。1.5车流密度和速度假设定义一种变量车流密度k(辆/k)表达在一千米长的道路上的平均的车辆数目。假设k只是速度的函数，即，并且,v越大,则k越小，v越小,则k越大。.模型建立1.3.1车流波及波速列队行驶的车辆在信号交叉口遇到红灯后,即陆续停车排队而集结成密度高的队列；当绿灯启动后,排队的车辆又陆续起动疏散成一列具有合适密度的队列。车流中两种不同密度部分的分界面掠过

5、一辆辆车向车队后部传播的现象,称为车流的波动。此车流波动沿道路移动的速度称为波速。假设一条公路上由两个相邻的不同交通流密度区域（K和K2)用垂线S分割这两种密度，称S为波阵面,设S的速度为w(w为垂线相对于路面的绝对速度)，并规定垂线S的速度w沿车流运营方向为正。如下图.1表达：wS图.车流波示意图一方面看波速公式的推导:假设一条公路上由两个相邻的不同交通流密度区域（1和K2)用垂线S分割这两种密度，称S为波阵面,设S的速度为w（ w为垂线相对于路面的绝对速度），并规定垂线的速度w沿车流运营方向为正。由流量守恒可知,在t 时间内由A进入S面的车辆数等于由S面驶入B的车辆数，即：可解得如图， (11).2目的函数及约束条件OS1S2W1W2图1.2.汽车通过红灯前车流波的示意图P其中1,2 由于红灯,绿灯所导致的车流的扰动而引起的车流波的波面,W1,W2 分别为两波的传播速度/mV1 = /3 在受到红灯车流波影响前的车的速度m/2 = 汽车在等红灯时的速度3 =0 绿灯亮之后汽车离开的速度sK1,K3 分别为三个阶段的车流密度 辆/kmO 红绿灯的位置P 车流波影响的最后位置,即波面S

6、，S2在此相遇T,g 单位周期内红灯绿灯的时间先讨论使得路口交畅通通时的约束条件，由前面的车流波和波速的概念可以求得， （1.2） (1.3)如果要使得因红灯而停在马路口的车辆得以所有消散，规定: W2W1 (）又设从绿灯亮到所有车均消散开所经历的时间为 (1.5）则规定 (1.)由于车辆进入城区的方向与时间未定,假设车辆从两个垂直方向进入城区的事件分别为,，且有P（A)=(B）=05，同步假设在汽车行驶的过程中不拐弯,即汽车在每个路口都只能往前行驶。式5、16为模型的约束条件,除此之外尚有非负约束。如果要使车辆进入城区的用时极小,则使Min E(）P(A）E(|)+()(t|) （1.7)式.为模型目的函数。目前分别考虑(t|A)和E(t|)计算措施:由于红绿灯有一种固定周期为(r+Tg)，目前假设汽车进入道路时红绿灯的相位,假设的时刻为在汽车驶入都市道路的时候，离它近来的第一种红灯刚好处在刚亮的状态,则当,表达汽车进入道路的瞬间，红灯亮,而若，表达汽车进入道路的瞬间，绿灯亮。则考虑到这样的周期性，可以有如下的划分：OS(Tr+Tg)V0(Tr+Tg)V0(1-x)(Tr+Tg)V0

7、1N图1.3. x相位时进入长为l的道路时，计算的划分其中假设道路的原长为l0，则有 (.)OS0(Tr+Tg)V0SS图1.4.最后一次红灯亮时汽车也许的位置假设当红灯刚好亮的时候距红灯距离为S的范畴内,所有的车辆会受到红绿灯波的影响。(将(15)代入)(.9）如果有SS0,则汽车走完这的路程所用的时间可表达为: ()上式等式右边第一项表达等待红灯所需要的时间,第二项表达由于绿灯波的延迟所导致的时间差,而第三项表达从停车位置行驶到路口所花的时间。此时的总的时间为 (1.1)而如果S(T+Tg)V0时可以想象该车将不再受到红灯的影响，即它可以以它目前的匀速速度V通过红绿灯路口。此时它通过该段路所用的时间为： （1.12) （1.13) (1.4）同样的道理有 (1.15）将()=以及上面两个式子代入(1)即可求解出问题的最优解。需要指出的是，1.15中的即为1.4式中的.模型的计算成果1.1数值求解模型的优化变量为、，根据不同约束条件下的成果,计算成果列于下表。表1. 不同车流密度k取值下优化成果g/Tr/sK1120，31=100；12=100，K2=800K11=140,3=120;K12=120,K32=100K11=1,K310；K1=9,K32=70注:表中K下标第一位表达第几阶段的车流密度，第二位表达南北向或东西向。上表的求解成果表白，对于本模型的优化目的函数，约束1.5,.6均为松弛约束，或者说,模型的最优分派方案是红、绿灯周期尽量地短。显然,这样的求解成果与实际状况完全不同。导致问题的因素在1.2中讨论,下面仅从一点修正模型,即假设为了让行人有足够的时间通过马路,两个方向绿灯时间有下界,即将非负约束加强为某一正值下界约束。求解成果列于下表。表2 不同下界约束下的优化成果约束下界取值/sTgs/s1110202030303 可见该模型目的函数的构造将使得约束1.、.6保持满足,且模型的优化成果将趋向于使红绿灯周期尽量地小,这一点不应修正变化。1.4.2模型的缺陷该模型成立的一种必要条件是车流是持续的均匀流,才有了车流波的概念,但事实上由于司机的主观意识的影响，车的运动极不规律，

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