图形的分割与组合

1、图形的分割与组合图形的分割与组合是几何学中一个非常有趣味的课题，研究图形的分割与组合问题不仅可以增强几何图形的直观感觉和判断能力，丰富对图形的想象力， 提高数学的思维能力， 而且还有一定的实用价值，对工厂里的下料、工艺美术的图案设计都有一定的用处.例1将图12 1所示的图形分成两块，然后拼成一个正方形.图12 分析：如果我们假设每个小正方形的边长是 1个单位，要拼成的正方形的面积为 16，所以 边长为4 而这个缺角的长方形的长为 6,宽为3，切分后将右边向左平移 2个单位，再向 上平移1个单位，作切分时应注意到缺角的特点.解：沿图12 2中的粗线将原图分割开，把右块推至左块之上，拼成一个边长为4的正方形，如图12 3.例2将图124中的图形分成四个形状相同，大小相等的四个部分，然后拼成一个正 方形.分析：先考虑面积，因为 s型图案由16个大小一样的小正方形组成，所以拼成的正方形每边正好是4个小正方形把图12 4分成大小相等的四个部分，每部分的面积都是4个小正方形.再考虑形状如果能将图 124先分成两个面积相等、形状相同的图形，然后再将其中的一个再分成两个面积相等、形状相同的图形，那么达

2、到目的了.将图12 4先分成两个面积相等、形状相同的图形比较容易只要沿图12 4中间的那条横线的中间剪开即可，见图12 5现在再将图12 5分成两个面积相等、形状相同的图形，按图12 5粗线剪开即可.图 1Z5解：按图12 6将它分成形状和面积都相同的四个部分，再按图12 7拼成一个正方形.图 1Z6*1II例3有一块长6米、宽3米的长方形地毯，现要把它放到长 4.5米、宽4米的房间中,能否将它剪成形状相同，大小相等的两块，使其正好铺满房间.侏 图 1Z8分析：因为原地毯的长比要拼成的长方形的长多1.5米，宽少1米，所以我们将原地毯分成长1.5米、宽1米的小长方形，如图12 &这样分成12个小长方形.因为新的长方形的长为4.5米、宽4米，长应减少一个小长方形，宽应增加一个小长方形.可以沿对角线的方向把它剪成呈阶梯状的两块，并使它们的形状和大小完全相同，如图12 9,然后把它们错位对齐，这样拼成了一个新的长方形，如图12 10 .解：按图129中的粗线将长方形分成两块，然后错位对齐，即可拼成新的长方形，见图12 10 .例4图12 11是一块正中间开有长方形孔的长方形木板，尺寸如图所示（

3、单位：厘 米）把它锯成两块，拼成一个面积为100平方厘米的桌面，如何切分.因 1Z-11分析：切分前木板面积为120X90-80 X 10=10000 （平方厘米），与拼成后的正方形面积相等拼成的正方形的边长为 100厘米由于大长方形的长比正中间的长方形的长的左右分别长20厘米，正中间的长方形的宽为10厘米，因此先将图12 11分成20X10的小长方形，如图12 12 .因为拼成的正方形的边长为100厘米，将原大长方形的长去掉一个小长方形的长，宽增加一个小长方形的宽,采用阶梯形分法，分到中间缺损地方时，要考虑到两块的形状必须相同，如图12 12中的粗线切分，最后拼成一个正方形，如图12 13 .解：按图12 12中的粗线分成两块，然后错位对齐，即可拼成新的正方形，如图12 13 .分割图形是使我们的头脑灵活，增强观察能力的一种有趣的游戏。我们先来看一个简单的分割图形的题目一割正方形。在正方形内用 4条线段作 井字形分割，可以把正方形分成大小相等的9块，这种图形我们常称为九宫格。用4条线段还可以把一个正方形分成10块，只是和九宫格不同的是，每块的大小不一定都相等。那么，怎样才能用 4条线

4、段把正方形分成 10块呢？请你先动脑筋想想，在动脑的同时还要动手画一画，手和脑同时参与活动，才能互相弥补不足，更快地寻找出答案。其实，正方形是不难分割成 10块的,F面就是其中两种分割方法。想一想，用4条线段能将正方形分成11块吗？应该怎样分？请你画一画。1 将图12 18分成两块拼成一个正方形.2 将图形12 19分成四个形状、大小相同的图形，然后拼成一个正方形.3 将一块长6米、宽3.5米的长方形剪成形状相同、面积相等的两块，拼成一个长为5米、宽为4.2米的新的长方形.4. 有一个长100厘米、宽70厘米的长方形桌面，中间损坏了一块.现在想在中间挖去一个长60厘米，宽10厘米的小长方形，如图12 20 ,然后把它分成两块，拼成一个正方形桌子，应怎么切拼？5 将图12 21所示的正方形分成两块，使得这两块的形状和大小都相同，并且每块中只含有a、b、c、d、e五个字母.卫ECE图1Z216 .如图12 22，有两个正方形.请把每一个正方形分成两块，两个正方形共分成四块,使这四块的形状和大小都相同，并且每一块中都有1、2、3、4四个数字.AT411313孟4f.1（1） 2）昌 1ZZ2

5、答案仅供参考:1.切拼方法如图12 1.2.因为小方格的个数是 36个，所以拼成的一个正方形的边长为 6个小方格，将图12-19 分成四个形状、大小相同的图形，只需将图12-19从图的对称中心切开即可，如图 12-2然后按照图12-3拼成一个正方形.L. i1;FT*；：；：，;农:;mfv：i.L工；- 12 23.因为新长方形的长比原长方形的长少1米，宽多0.7米，因此将原长方形分成长为1米，宽为0.7米的小长方形，如图12-4按阶梯形分法分成相同的两块，然后错位对齐,即可拼成一个新的长方形，如图12-54 .因为拼成的正方形的桌面的面积为：100X70-60 X 10=6400 （平方厘米）所以正方形的桌子的边长为80厘米.原长方形的长减少 20厘米，宽增加10厘米.将原长方形分成长为20厘米，宽为10厘米的小长方形，利用阶梯形分法，分到中间缺损地方时，要考虑到两块的形状必须相同，按如图12-6中的粗线切分，最后拼成一个正方形，如图12-7輕1團 125. 图中有相同的字母挨在一起时，要从它们之间切开，因此先在它们之间画上切分线，然后将这些切分线绕中心点旋转180。，得到一些切分

6、线，根据切分线进行切分， 分成形状、大小相同的两块，每块有 18个小方格.本题有两种切法，如图12-8 (1 )、( 2).6. 把两个正方形叠在一起考虑. 为了便于区别，将其中一组数字1、2、3、4改写为a、b、c、d，如图 12-9,为JaFKI白锻籤航觀n沖珂按|BI)1 j180又可以找了使相同的数字不在同一块，可以先在它们之间画切分线，然后绕中心 到一些切分线，根据这些切线将它分割成大第十讲动手剪拼图形、剪剪拼拼图形的分割与剪拼都需要一定的技巧，下面举例说明某些常用技巧的来路及依据。例1你能想出几种方法，将任意一个三角形分成面积相等的六个三角形?分析：把一个三角形分成面积相等的六个三角形，根据等底等高的三角形面积相等 这一结论。只要把原三角形分成六个等底等高的小三角形即可。为此，只要把三角 形的任一边六等分，再将分点与这边相对的顶点用线段连接起来，问题就解决了。另外，6=1 X 6=3 X 2=2X 3。如果我们把分得的每一个小三角形的面积看成“1 ”，那么1X 6就可看成把原三角形的面积直接六等分，而3X2可看成先把原三角形的面积二等分，再把其中的每一份分成面积相等的三个小

7、三角形。同理，2X3可看成先把原三角形分成三个面积相等的三角形，再把其中的每一个三角形又分成两个面 积相等的小三角形。除了上面的几种分法外，还可以这样想，因为6=1+5=2+4=3+3。所以对2 1朽而言，可先从原三角形中分岀一个面积为其的小三角形来.再把余下的三角形分成五个面积相等的小三角形。对6=2+4而言，可先从原三角形中分出一个三角形来，让它的面祝为原三角形面积的两倍.再把这个分出的三角形和剩下的三角形分别分成2个和4个面积相等的小三角形，对 6=3+3可采用与上面类似的方法进行分割。解法1将三角形的任一边六等分，再将分点与这边相对的顶点用线段连接起来，见 图 10-1。區101解法2以面积而言，先将原三角形二等分再三等分，或先将原三角形三等分再二等分。分法见图10-2。解法3先将原三角形分成两个三角形， 使它们面积比为1 : 5或2 : 4或3 : 3。再将 面积为“ 5”、“ 2”、“ 4”、“ 3”的那个三角形分成 5个或2个或4个或3个面积相等的小三角形，分法见图10-3。图10-1至图10-3中，在同一三角形中，标有相同符号的线段彼此相等。还有 别的分法，请读者自己给出。例2把图10-4两个图形中的某一个， 分成三块，最后都拼在一起，正好拼成一个正 方形，应怎么分与拼？分析与解：不管将图10-4中的哪一个图形如何分成三块，最后拼得的正方形面积总等于图10-4中两个图形面积之和。图10-4中长方形的面积为：100X 50=5000（平方厘米）。另一个图形的面积为： 100X 70-40 X（ 70-20 ） =5000 （平方厘米）。这两个图形的面积和为10000 （平方厘米）。因此，拼得的正方形的面积也是10000平方厘米，其边长为 100厘米。而图10-4中的两个图形，都正好有一边长100厘米。为了方便，可以用它们做正方形 的一条边，这样就有了下面的一些剪法。第一种，将图10-4中不规则的那块图形，按图10-5中虚线所示分成三块，拼得的正方形见图10-6。图 105團第二种，将图10-4中的长方形图形，按图10-7中虚线所示分成三块，拼得的正方形见图10-8。ru區107

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