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多元线性回归模型公式

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卖家[上传人]：公****

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1、二、多元线性回归模型在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。（一）多元线性回归模型的建立假设某一因变量y受k个自变量x ,x x的影响，其n组观测值为（y ,x ,x x ）, a = 1,2,.,n。1 2ka 1a 2 aka那么，多元线性回归模型的结构形式为：y +B x +B x +. + B x + 8（）a0 1 1a2 2 ak ka a式中：p pp为待定参数；0,1k8为随机变量。a如果b,b，,b分别为p,p,p,p的拟合值，则回归方程为01k012 k?= b + b x + b x +. + b x （）01 12 2k k式中：b为常数；0b ,b，,b称为偏回归系数。12k偏回归系数b（ i = 1,2,.,k）的意义是，当其他自变量x.（ jHi ）都固定时，自变量x.每变化一个 iji单位而使因变量y平均改变的数值。根据最小二乘法原理，p （ i = 0,1,2,.,k）的估计值b（ i = 0,1,2,.,k）应该使iia=1有求极值的必要条件得=工y -(b +

2、b x + b x +. + b x 才 T mink kaa011a 22 a()a =1a ()将方程组（）式展开整理后得:nb + (x )b + (x )b +. + (x )b = y01a 12 a 2ka ka吁1吁1a=1(乙x )b + (乙x2 )b + (乙x x )b +. x x )b = 1a 01a 11a 2 a 21a ka k=1妒弋申 ()(乙x )b + (乙x x )bx2 )b +. + (乙x x )b =乙x y2 a 01a 2 a 12 a 22 a ka k2 a aa=1a=1a=1a=1a=1現y1a a(工x )b + (x x )b + (x x )b +. + (x2 )b = ka 01a ka 12 a ka 2a=1a =1a=1方程组（）式，被称为正规方程组。如果引入一下向量和矩阵：则正规方程组（）式可以进一步写成矩阵形式Ab二B（3.2.15）x yka kka aa =1a=1求解（3215）式可得:b 二 A-iB 二(XtX)-1 XtY()如果引入记号：则正规方程组也可以写成:L b + L b +.

3、 + L b = L11 112 21k k1 y2 y(3.2.15)L b + L b +. + L b = L21 122 22k kL b + L b +. + L b = Lk1 1_ k 2_2 kk kkyb = y 一b x 一b x 一.一b xV 0112 2k k（二）多元线性回归模型的显着性检验与一元线性回归模型一样，当多元线性回归模型建立以后，也需要进行显着性检验。与前面的一元线性回归分析一样，因变量y的观测值y ,y y之间的波动或差异，是由两个因素引起的，一是12n由于自变量x ,xx的取之不同，另一是受其他随机因素的影响而引起的。为了从y的离差平方12k和中把它们区分开来，就需要对回归模型进行方差分析，也就是将y的离差平方和St或（Lyy）分解成两个部分，即回归平方和U与剩余平方和Q：在多元线性回归分析中，回归平方和表示的是所有k个自变量对y的变差的总影响，它可以按公式计算，而剩余平方和为以上几个公式与一元线性回归分析中的有关公式完全相似。它们所代表的意义也相似，即回归平方和越大，则剩余平方和Q就越小，回归模型的效果就越好。不过，在多元线性回归分析中，各平方和的自由度略有不同，回归平方和U的自由度等于自变量的个数k，而剩余平方和的自由度等于 n-k-1，所以F统计量为：当统计量F计算出来之后，就可以查F分布表对模型进行显着性检验。

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