毕业论文：隐函数定理及其应用

1、齐齐哈尔大学毕业设计（论文）摘 要 隐函数定理是数学分析和高等数学中的一个重要定理，它不仅是数学分析和高等代数中许多问题的理论基础，并且它也为许多数学分支，如泛函分析、常微分方程、微分几何等的进一步研究提供了坚实的理论依据. 隐函数定理有着十分广泛的应用，在经济学、优化理论、条件极值等中均有重要作用. 对本课题的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解. 本文简略地论述了隐函数的概念、隐函数定理的内容及证明方法、以及隐函数定理在各个方面的应用. 本文从隐函数定理出发，给出了推论隐函数组定理和反函数组定理以及他们的证明过程. 这些推论使隐函数定理的应用更加广泛. 并针对隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用、条件极值、以及优化理论这几个方面的应用做了系统的论述. 关键词：隐函数定理；应用；优化理论 ；证明AbstractImplicit function theorem of mathematical analysis and higher mathematics is one of the important theorem, it is not only the mathematica

2、l analysis and higher algebra in the theoretical foundation of the many, and it also for many branches of mathematics, such as functional analysis, ordinary differential equation, differential several further research how to provide the solid theoretical basis. Implicit function theorem has a very wide range of application, in ec onomics, optimization theory, such as extreme conditions which is an important role. This topic research, can deepen our understanding of the differential calculus and

3、understanding. This paper briefly discusses the concept of implicit function, the content of the implicit function theorem and prove method, and implicit function theorem in all aspects of the application. This paper, from the implicit function theorem are given, and the corollary of implicit function theorem and the group FanHanShu group theorem and proof of their process. These claims that the application of implicit function theorem and more extensive. And in the light of implicit function th

4、eorem in the calculation of the derivative and partial derivative, geometric application, conditional extreme, and the several aspects optimization theory of the application of the system is also discussed in the paper. Key words: implicit function theorem; Application; Optimization theory; proof不要删除行尾的分节符，此行不会被打印- I -目 录摘要IAbstractII绪论1第1章 隐函数21. 1 隐函数21. 2 隐函数组的概念21. 3 反函数组的概念3第2章 隐函数定理42. 1 隐函数定理42. 2 隐函数组定理62. 3 反函数组定理7第3章 隐函数定理的应用93. 1 计算导数和偏导数93. 1. 1 隐函数的导数93. 1. 2 隐函数组的导数93. 1. 3 对数求导法10

5、3. 1. 4 由参数方程所确定的函数的导数103. 2 几何应用113. 2. 1 空间曲线的切线与法平面113. 2. 2 空间曲面的切平面与法线143. 3 条件极值153. 3. 1 无条件极值153. 3. 2 拉格朗日乘数法163. 4 最优化问题183. 4. 1 无约束最优化问题183. 4. 2 约束最优化问题19结论21参考文献22致谢23千万不要删除行尾的分节符，此行不会被打印。在目录上点右键“更新域”，然后“更新整个目录”。打印前，不要忘记把上面“Abstract”这一行后加一空行绪 论通常我们遇到的函数都是因变量用自变量的一个解析式表示的，这种形式的函数我们称之为显函数. 但在许多实际问题中，变量之间的函数关系往往不是用显式形式表示的，而是通过一个或多个方程来确定的，由此便产生了隐函数. 隐函数的产生为许多数学问题的解决带来了极大的方便，本文就隐函数的存在性定理、连续性定理、可微性定理做了系统的研究. 隐函数定理是高等数学和数学分析中的一个非常重要的定理，它不但是高等数学和数学分析中许多问题的理论基础，并且它也为许多数学分支，如微分几何、常微分方程、泛函分析等

6、的进一步研究提供了坚实的理论依据. 隐函数定理的应用范围十分广泛，在数学分析、几何、优化理论、条件极值中均有重要作用. 对隐函数定理及其应用的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解. 现今国内外很多学者都在研究隐函数定理及其应用这个课题，也把它的有关知识作为一种工具用于证明、计算其它定理. 我国数学家陈文源、范令先教授在1986年出版隐函数定理一书，在书中提出许多独到见解，并由隐函数定理得出许多推论. 法国数学家扎芒斯凯在1989年出版普通数学一书，其中对隐函数定理进行了更深层次的研究. 我国学者史艳维在2010年发表期刊关于隐函数定理和Peano定理的一点注记，其中给出了隐函数定理的另一种证明方法. 我国学者王锋、李蕴洁在2005年发表期刊隐函数定理在经济学比较静态分析中的应用，更好的诠释了隐函数定理在其他领域内的应用. 本文主要论述了隐函数定理及隐函数定理的一些推论，并给出了隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用、条件极值、最优化问题这四个方面上的应用. 第1章 隐函数隐函数与我们以前接触的函数有所不同，它是数学分析中相对于显函数而言的一种函数变现形式. 在这一章里，我们将具体地研

7、究隐函数. 1.1 隐函数以前接触的函数（对应关系）多是用自变量的数学表达式表示的，一般称这样的函数为显函数. 如，=等. 定义1. 11 若自变量与因变量之间的对应关系是由某个方程所确定的，即有两个非空数集与，对任意,通过方程对应唯一一个,这种对应关系称为由方程所确定的隐函数. 记为，则成立恒等式，例如，二元方程在上确定（从中解得）一个隐函数. 隐函数不一定能写成的形式，如，因此隐函数不一定是函数，而是方程. 其实总的来说，函数都是方程，而方程却不一定是函数2. 1.2 隐函数组的概念定义1.23 设和为定义在区域上的两个四元函数，若存在平面区域,对于中每一点，分别在区间和上有唯一一对值,它们与，一起满足方程组 (1-1)则称方程组(1-1)确定了两个定义在区域上，值域分别在和内的函数，称这两个函数为方程组(1-1)所确定的隐函数组. 若分别记这两个函数为，则在上成立恒等式，1.3 反函数组的概念定义1.34 设有函数组， (1-2)如果能从此函数组(1-2)中，把，分别用，的二元函数表示出来，即， (1-3)则称(1-3)为函数组(1-2)的反函数组. 第2章 隐函数定理在第一章中

8、我们已经介绍了隐函数的概念，设有方程，那么在什么条件下，此方程能确定一个隐函数？在本章里，我们将讨论隐函数的存在性、连续性与可微性，不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要，同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础. 2.1 隐函数定理定理2. 15 若函数满足下列条件(1)(2)在点的一个邻域中,函数连续(3)则有下列结论成立：在点的某个邻域内, 方程唯一确定了一个定义在某区间内的隐函数，满足且；在区间内连续；在区间内具有连续的导数，满足证 为了不失一般性，不妨设. 首先证明隐函数的存在性与惟一性. 由，我们知道是连续的，由的连续性与局部保号性可知，存在闭矩形域有所以，对任意的，在上严格单调增加. 因为，所以可得又由于在上是连续的，所以存在，使得所以，对于每一个固定的，在上都是严格单调增加的连续函数，并且有因为零点存在定理，存在惟一的，使得. 因此由与的对应关系就确定了一个函数，其定义域为，值域包含于，记为：从而结论得以证明. 其次证明隐函数的连续性. 任意取，对于任意给定的充分小的，可以得到因为连续函数的保号性可知，存在，当时，有因此，当时，由关于的单调性，相应于的隐函数值满足，于是，即，所以在连续. 最后证明隐函数的可微性. 任取和都属于，它们相对应的隐函数值为和，那么由多元函数微分中值定理，可得在这里， . 因此，当充分小时. 因为和是连续的，取极限可得且在内连续. 相应的，我们能够得出由方程所确定的元隐函数的存在定理：定理2. 26 如果满足下列条件(1)；(2)在点的一个邻域内,函数连续；(3) ，那么则有以下结论成立：在点的某个邻域内, 方程惟一确定了一个定义在点某邻域内的隐函数，满足，且；在邻域内连续；在邻域内具有连续的偏导数，满足. 例2. 1 验证方程在原点的某邻域内确定唯一的连续函数. 证 由于与都在上连续，当然在点的邻域内连续，且由此可知方程在点的某邻域内确定唯一连续的隐函数. 2.2 隐函数组定理 下面我们将给出由方程组所确定的隐函数组的存在定理. 定理2. 37 设以及它们的一阶偏导数在以点为内点的某区域内连续，且满足(1)(2)则方程组在的某邻域内唯一确定两个隐函数，有下列结论成立：，则有在邻域内具有连续的一阶偏导数，且例2. 28 验证方程组在点的邻域内确定隐函数组，并求，. 解 令 ，则：

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