高中数学3.2.3用空间向量求空间角教学设计新人教A版选修21

1、3.2.3立体几何中的向量方法空间“角”问题（后附学案）一、教材分析：立体几何是高中数学教学中的一个重要内容，在整个高中数学学习中占有重要的地位，它不仅能培养学生的辩证唯物主义观点，还能培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，是历年高考的重点考查内容之一。用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算.空间角又是立体几何中的重要知识点，学好了它对其他数学知识的学习及贯穿运用有很大的帮助，因此在首轮复习有必要再对其进行专题复习。二、 学情分析学生虽已学完了立体几何，也对立体几何有了一定的认识，但由于空间角是一个难点，一般的方法是由“作、证、算”三部分组成，学生对作出空间角的方法即如何化空间角为平面角并在可解三角形中来求解有一定的困难，还不能熟练掌握，而空间向量的引入，使立几问题演绎难度降低，相比较来说过关比较容易，因此有必要对此内容通过引入空间向量的方法进行专题训练，使学生能更好地掌握。三、教学目标知识基础：空间向量的数量积公式、夹角公式，坐标表示。认知目标：掌握利用空间向量求空间角（两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角）的方法，并能熟练准确的求解结果

2、及完整合理的表达。能力目标：培养学生观察分析、类比转化的能力；体验从 “定性” 推理到“定量” 计算的转化，提高分析问题、解决问题的能力. 使学生更好的掌握化归和转化的思想。情感目标：激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情. 教学重点：1）向量法求空间角的方法和公式； 2）空间角与向量夹角的区别和联系。教学难点：1)两条异面直线的夹角、二面角的平面角与两个空间向量的夹角之间的区别； 2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标.关 键： 建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标,将几何问题转化为代数问题. 四、教学方法：启发式讲解 互动式讨论 研究式探索 反馈式评价五、教学手段：借助多媒体辅助教学六、教学过程：教师教学活动学生参与活动设计意图教师提出问题：1、异面直线所成的角、线面角、二面角的范围分别是什么？2、两向量夹角的范围是什么？3、向量的有关知识（1）两向量数量积的定义（2）两向量夹角公式（3）什么是直线的方向向量？什么是平面的法向量？（4）如何用直线的方向向量和平面的法向量证明线面间的平行与垂

3、直？提问学生，学生一一作出回答。两条异面直线所成的角（线线角），直线和平面所成的角（线面角）及二面角的平面角（面面角）。 分三步：作证求复习空间角概念及求法以及新学的空间向量知识，为新课做准备教师给出引例：(1) 求二面角M-BC-D的平面角的正切值； (2) 求CN与平面ABCD所成角的正切值；(3) 求CN与BD所成角的余弦值；(4) 求平面SBC与SDC所成角的正弦值1、学生说方法2、方法归纳：求空间角的主要方法是通过平移转化法作出所成角,然后利用三角形边角关系求解以简单的练习题回顾空间角的三种类型,在解题方法上注重引导学生并通过问题让学生对所用知识有较为详细的回顾，基于时间的问题板演省略提出问题：如何用空间向量来求解空间角？1、 线线角多媒体演示两异面直线夹角与向量夹角的区别和联系，得出结论：分别在直线AB、CD上取定向教师板书用向量求线线角结论通过讨论、分析总结得出用空间向量求线线角方法，同时强调量则异面直线AB、CD所成的角等于向量所成的角或其补角如图，则 两者之间的区别和联系，培养学生严谨的学习习惯。例1、 如图所示的正方体中，已知F1与E1为四等分点，求异面直线DF1与

4、BE1的夹角余弦值？教师提问学生回答例1，可以用两种办法，传统法和向量法引导学生悟出用向量求线线角的方法步骤讲练结合使得知识能够及时巩固并找到方法规律，同时通过练习题熟悉线线角的空间向量法，这样的设计符合学生的认知规律 学生练习（回答）2、线面角多媒体演示线面夹角夹角与向量夹角的区别和联系，教师引导，学生类比用向量求线线角的研究方法，通过独立探索、讨论得出结论明确直线方向向量与平面法向量所成角与线面角的关系例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，求A1B与平面A1B1CD所成的角学生回答例题方法（两种）教师板演例题的向量法学生练习，求出答案，点评对错通过教师的板书使学生对证明、求解题的过程书写有个很规范的标准，目的使学生既要会做又要不失分。讲练结合让学生自己动手分析问题解决问题更能激发学生学习的兴趣。有助于学生对知识的掌握2、面面角多媒体演示二面角与向量夹角的区别和联系，观察、分析、理解用向量求二面角的方法和依据通过数形结合，分类讨论分析使学生掌握用法向量求二面角时不要忽略对二面角大小的判断学生思考后回答： 学生写出过程，实物投影展示通过此题主要是培养学生灵活运用所学知识解

5、题能力的迁移通过学生讨论，提问增加了师生间的交流使这堂课变得生动活泼并使学生充分掌握化归和转化的思想课时小结学生回答总结：培养学生回顾、总结的能力和意识，彻底完成今天的教学目标七、作业：课后强化训练八、教学过程设计说明1、这是一节用空间向量求解空间角的专题课，基于学生对空间角的概念和基本的求解方法有一定的基础，所以本节课先从空间各种角的概念、相关图形及取值范围进行复习，再通过一个相对比较综合的题目对普通方法求所有的空间角巩固一下，为新课做好准备。2、整个教学过程采用循序渐进的原则，使学生能更好地掌握所学知识。3、教学过程中充分体现学生的主体作用，激发学生的学习兴趣，以达到良好的教学效果。九、板书设计课题 利用向量解决空间角问题一、线线角公式二、线面角公式三、二面角公式例题2 引例多媒体投影3.2.3立体几何中的向量方法空间“角”问题课程标准能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用学习目标1、使学生学会求异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角的向量方法；2、使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题3、使学生的分析与推理能力和空间想

6、象能力得到提高学习重点线线、线面、面面角的定义、范围及向量解法学习难点利用向量求解空间角的大小导学设计一、复习回顾1、异面直线所成的角、线面角、二面角的范围分别是什么？2、两向量夹角的范围是什么？3、向量的有关知识（1）两向量数量积的定义（2）两向量夹角公式（3）什么是直线的方向向量？什么是平面的法向量？（4）如何用直线的方向向量和平面的法向量证明线面间的平行与垂直？ 二、新知探究探究一 线线角定义：范围：思考：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么关系？设直线AB、CD的方向向量分别为a、b例2、 如图所示的正方体中，已知F1与E1为四等分点，求异面直线DF1与BE1的夹角余弦值？ 利用向量求异面直线所成的角的步骤为：（1）（2）（3）探究二 线面角定义：范围：思考：如何用空间向量的夹角表示线面角呢？设直线AB的方向向量分别为a，平面 的法向量为n例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，求A1B与平面A1B1CD所成的角利用向量法求直线与平面所成角的步骤为：（1）（2）（3）探究三 面面角（二面角）定义：范围：思考：如何用空间向量的夹角表示线面角呢？设两平面的法向量分别为n1、n2利用向量法求直线与平面所成角的步骤为：（1）（2）（3）三、课堂小结1、线线角2、线面角3、面面角解题技巧都掌握了吗？快快记下来吧！四、当堂检测 动起来吧！1直三棱柱A1B1C1ABC中，ACB90，D1，E1分别为A1B1，A1C1的中点，若BCCACC1，则BD1与AE1所成角的余弦值为()A.B. C. D.2已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()A.B. C. D.4已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，则AC1与侧面ABB1A1所成的角的正弦值为_5如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB4cm，AC6cm，BD8cm，CD2cm，则这个二面角的度数为_6如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，ACAA1，ABC60.(1)证明：ABA1C；(2)求二面角AA1CB的大小作业： P58 2、3 +课后强化练习

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