圆锥曲线轨迹问的题目

1、与圆锥曲线有关的点的轨迹问题复习题有关动点的轨迹问题是解析几何中的一类重要的问题，求动点的轨迹和圆锥曲线的定 义、性质有着密切的关系在求解时要先画出相应的草图进行分析，再选择好相应的解题 策略和具体方法探求曲线轨迹的基本方法：直接法(轨迹法) 、定义法、 相关点法(代入法)、 参数法 代入法、待定系数法、点差法。 教学重点：灵活运用题设条件，确定动点所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义确定曲 线的类型。教学难点：理解轨迹的完备性与纯粹性，并能准确地运用。(完备性是指符合条件的点都 要在轨迹上，不能遗漏；纯粹性是指轨迹上的所有点都符合条件，没有“假冒”。) 思考并回答：(1) 已知A(2,3)且I PA 1=7，则点P的轨迹是 圆(2) 已知a ABC的一边BC的长为6,周长为16,则顶点A的轨迹是什么？(椭圆，除去 与BC边共线的两个顶点。3)若A(-1,0),B(5,0)且I MA I - I MB I二4则点M的轨迹是 双曲线右支(4)(5)致是过点(2， 3)且与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹是什么？(抛物线)(2003 北京春)在同一坐标系中，方程a2x2 + b2y2 1 与(

2、 )(a b 0)的曲线大ABCDa 2 x 2 + b 2 y 2 1 与ax + by2 = 0转化为标准方程:解析:将方程T+亍=1，y2=-沪因为a 2 b2a b 0，因此1 1 0，所以有：椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左，得D选项. ba答案: D(6)已知圆C： x2 + y2 + 6x-91 = 0及圆内一点P (3, 0),求过点P且与已知圆内切的圆 的圆心M的轨迹方程。分析：(1 )圆 C 的半径与圆心坐标可定。(2) 两圆内切可得：外圆半径=内圆半径+连心距。(3) 动点M满足的等量关系：| MC | + | MP | = 10| PC |(4) 由定义可确定动点M的轨迹为以P、C为焦点的椭圆。(7)已知动圆与圆C : (x + 5)2 + y2 = 49和圆C: (x 5)2 + y2 = 1都外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。分析：(1)从已知条件可以确定圆C、C的圆心与半径。12(2) 两圆外切可得：两圆半径和=圆心距(3) 动圆半径r,依题意有r + r = | P C | , 11r + r = | P C | 两式相减得： | PC1 | - | P

3、C2 | = r1 -r2 cb,a,c,b成等差数列，|AB|=2, 求顶点C的轨迹方程【解析】|BC| + |CA|=42，由椭圆的定义可知，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长x2y 2+ = 1轴为4,焦距为2,短轴长为2、3 , 椭圆方程为43又ab, .点C在y轴左侧，必有x0,而C点在x轴上时不能构成三角形，故x工一2,x2 y 2+ = 1因此点C的轨迹方程是：43(_2x0)评析：定义法的关键是条件的转化转化成某一基本轨迹的定义条件。3 相关点代入法若轨迹点P (x ,y)依赖于某一已知曲线上的动点Q (x , y),则可先列出关于x、y, x y 的方程组，利用 x、 y 表示出 x 、 y ，把 x 、 y 代入已知曲线方程便得动点 P 的轨迹方程 0 0 0 0 0例4 已知P是以F、F为焦点的双曲线匚-1216程。解设重心G (x, y),点P（x, y ），00一 4 + 4 + X0则有 ,x 一*cn3，故x0 一 3x代入0 + 0 + y o y 一3y0 一 3y因为 F （4，0），F （4，0）1222x0 _ 20 = 11692得所求轨迹

4、方程9x -y2 = 1 (y0)16彳=1上的动点，求存的重心G的轨迹方评析：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。 练习1:如图所示，已知P (4， 0)是圆X2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足ZAPB=90。，求矩形APBQ的顶点Q的轨 迹方程.命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属级题目.知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点的轨迹方程.错解分析：欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题.技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的 轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.解：设AB的中点为R,坐标为(x,y)，则在RtAABP中,|AR| = |PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在RtOAR中，|AR|2=|A0|2 |0R|2=36 g+y”又|AR| = |PR| = (x 4)2 + y 2所以有(x4) 2+y2=36 (x2+y2),即 X2+y2

5、4x 10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.设 Q(x,y) ， R(x,y) ，11因为R是PQ的中点，所以x =1代入方程 x2+y2 4x 10=0, 得(土)2 + (2)2 4 土 10=02 2 2 整理得： x2+y2=56, 这就是所求的轨迹方程.4 点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A (x,y )，11B (x ,y )的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得x+x, y+y, x-x ,2 2 1 2 1 2 1 2 y -y等关系式，由于弦AB的中点P (x, y)的坐标满足2x= x +x 2y= y +y宜直线AB 1 2 1 2, 1 2的斜率为y2 -刃，由此可求得弦AB的中点的轨迹方程。x2y 2+ -x 2 x1=1例5、过椭圆16 4内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。,y2)解：设直线与椭圆的交点为 A(x1, y1)、B(x2M(2,D 为 AB 的中点t + x2 = 4人 + y2 = 2x 2 + 4 y 2 二 162

6、2:又A、B两点在椭圆上，则J + 4yi2二16两式相减得(x12 x22) + 4(y12 y22)二 0于是(Xi+ x2)(Xi - X2)+ 4(人 + IT y2)= 0y y x +x 411 2 = 12 = =x x 4( y + y )4 x 221 2 1 2k 二一-y 1 二一(x 2)2 _0即AB2，故所求直线的方程为2 ，即x + 2y 4二0。x 2 塁=1例6、已知双曲线 2，经过点M (1，1)能否作一条直线1，使1与双曲线交于A、B,且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线1，求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点M平分的弦AB，且A人）、B（x2,打）x + x12Xi2 - 2 = 1X22 - 2 = 1ABy,- y221 2 = 2x -x12两式相减，得1(xi + x 2)( yi 2)一 2( yi + y 2X 人-y 2)二 0故直线 AB:y1 二 2( x1)y -1 - 2( x - Dvy 2X 2 = 1由 I 2消去 y，得 2X2 - 4X + 3 - 0&二(4)2 4 X 2 X 3 = 8 0这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线1。评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M位置非常重要。（1）若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦 一般存在；（2）若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。y 2 x2+ = 1例7、已知椭圆 75 25,求它的斜率为 3的弦中点的轨迹方程解：设弦端点P （X1，y1）、Q（ X2, y 2），弦PQ的中点M （绘y），则x + x = 2 xy + y = 2 y1 2 ， 1 2y12 + x12 = 175 25y 22 + J = 175 25两式相减得25（人+ y2）（y1y )+75(x +x )(x x )=02 1 2 1 23x即 y(y1x x12 y ) + 3 x( x x ) = 0 ，2 1 2 ，3x=3I y - yk = i2 = 3x -x12x + y = 05込T由k+s=

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