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历年高考数学圆锥曲线试题汇总.doc
56页1、圆锥曲线解答题解答题1.(2009年广东卷文)(本小题满分14分)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.(1)求椭圆G的方程(2)求的面积(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.【解析】(1)设椭圆G的方程为: ()半焦距为c; 则 , 解得 , 所求椭圆G的方程为:. (2 )点的坐标为 (3)若,由可知点(6,0)在圆外, 若,由可知点(-6,0)在圆外; 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.2.(2009全国卷理)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) 如图,已知抛物线与圆相交于、四个点。 (I)求得取值范围; (II)当四边形的面积最大时,求对角线、的交点坐标分析:(I)这一问学生易下手。将抛物线与圆的方程联立,消去,整理得()抛物线与圆相交于、四个点的充要条件是:方程()有两个不相等的正根即可.易得.考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以(II)考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法处理本小题是一个较好的切入点 设四个交点的坐标分别为、。
2、则由(I)根据韦达定理有,则 令,则 下面求的最大值。方法一:利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求,但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数,但要注意取等号的条件,这和二次均值类似。 当且仅当,即时取最大值。经检验此时满足题意。方法二:利用求导处理,这是命题人的意图。具体解法略。下面来处理点的坐标。设点的坐标为:由三点共线,则得。以下略。3.(2009浙江理)(本题满分15分)已知椭圆:的右顶点为,过的焦点且垂直长轴的弦长为 (I)求椭圆的方程; (II)设点在抛物线:上,在点处的切线与交于点当线段的中点与的中点的横坐标相等时,求的最小值解析:(I)由题意得所求的椭圆方程为, (II)不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为,直线MN的方程为,将上式代入椭圆的方程中,得,即,因为直线MN与椭圆有两个不同的交点,所以有,设线段MN的中点的横坐标是,则, 设线段PA的中点的横坐标是,则,由题意得,即有,其中的或;当时有,因此不等式不成立;因此,当时代入方程得,将代入不等式成立,因此的最小值为14.(2009浙江文)(本题满分15分)已知抛物线:上一点到其焦点的距离为
3、 (I)求与的值; (II)设抛物线上一点的横坐标为,过的直线交于另一点,交轴于点,过点作的垂线交于另一点若是的切线,求的最小值解析()由抛物线方程得其准线方程:,根据抛物线定义点到焦点的距离等于它到准线的距离,即,解得抛物线方程为:,将代入抛物线方程,解得()由题意知,过点的直线斜率存在且不为0,设其为。则,当 则。联立方程,整理得:即:,解得或,而,直线斜率为 ,联立方程整理得:,即: ,解得:,或,而抛物线在点N处切线斜率:MN是抛物线的切线, 整理得,解得(舍去),或,5.(2009北京文)(本小题共14分) 已知双曲线的离心率为,右准线方程为。()求双曲线C的方程;()已知直线与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆上,求m的值. 【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力()由题意,得,解得, ,所求双曲线的方程为.()设A、B两点的坐标分别为,线段AB的中点为, 由得(判别式), ,点在圆上,.6.(2009北京理)(本小题共14分)已知双曲线的离心率为,右准线方程为()求双曲
4、线的方程;()设直线是圆上动点处的切线,与双曲线交于不同的两点,证明的大小为定值.【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力()由题意,得,解得, ,所求双曲线的方程为.()点在圆上,圆在点处的切线方程为,化简得.由及得,切线与双曲线C交于不同的两点A、B,且,且,设A、B两点的坐标分别为,则,且,. 的大小为.【解法2】()同解法1.()点在圆上,圆在点处的切线方程为,化简得.由及得 切线与双曲线C交于不同的两点A、B,且,设A、B两点的坐标分别为,则, 的大小为.(且,从而当时,方程和方程的判别式均大于零).7.(2009江苏卷)(本题满分10分)在平面直角坐标系中,抛物线C的顶点在原点,经过点A(2,2),其焦点F在轴上。(1)求抛物线C的标准方程;(2)求过点F,且与直线OA垂直的直线的方程;(3)设过点的直线交抛物线C于D、E两点,ME=2DM,记D和E两点间的距离为,求关于的表达式。【解析】 必做题本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识,考查运算求解能力。满分10分。 8.
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