71.圆的切线与圆锥曲线的并轨直达

1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)圆的切线与圆锥曲线的并轨直达圆的切线与圆锥曲线交汇的试题类型 圆的切线不仅具有直观的位置关系、简捷的距离条件,而且具有统一的方程形式,由圆的切线与圆锥曲线的交汇,可生成许多妙趣横生的高考试题;研究由此生成的高考试题类型及其解法是有意义的.母题结构:()(位置关系):若直线l与以点M为圆心的圆M交于点P,则直线l与圆M相切MPl;()(距离条件):直线l与圆M相切圆心M到直线l的距离等于圆的半径;()(切线方程):若点P(x0,y0)在圆M:(x-a)2+(y-b)2=r2上,则圆M在点P处的切线l:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;若点P(x0,y0)在圆M:x2+y2+Dx+Ey+F=0上,则圆M在点P处的切线l:x0x+y0y+D+E+F=0.母题解析:()()略;():由点P(x0,y0)在圆M:(x-a)2+(y-b)2=r2上(x0-a)2+(y0-b)2=r2圆心M(a,b)到直线l:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2,即(x0-a)

2、x+(y0-b)y=a(x0-a)+b(y0-b)+r2的距离d=r直线l是圆M切线;同理可证. 1.位置关系 子题类型:(2006年天津高考试题)如图,以椭圆+=1(ab0)的中心O为圆心,分别以a和b为半径作大圆和小圆.过椭圆右焦点F(c,0)(cb)作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A,连结OA交小圆于点B,设直线BF是小圆的切线.()证明:c2=ab,并求直线BF与y轴的交点M的坐标;()设直线BF交椭圆于P、Q两点,证明:=b2.解析:()由直线BF是小圆的切线OBBFRtOFBRtOAF|OB|:|OF|=|OF|:|OA|b:c=c:ac2=ab;由kOA=kBF=-直线BF:y=-(x-c)点M(0,),即点M(0,a);()设P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=-(x-c)代入+=1得:(b4+a2c2)x2-2a2c3+a2c4-a2b4=0f(x)=(b4+a2c2)x2-2a2c3x+a2c4-a2b4=(b4+a2c2)(x-x1)(x-x2)=x1x2+y1y2=x1x2+(x1-c)(x2-c)=f(0)+f(c)=(a2c4-a2b4)+(b

3、4c2-a2b4)=b2.点评:灵活运用圆的切线位置关系:“圆的切线垂直于过切点的半径”,是解决直线与圆相切的相关问题的基础;由此分析几何条件,充分利用平面几何知识,可获巧解. 2.距离条件 子题类型:(2013年课标高考试题)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.()求C的方程;()l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.解析:()由圆M的圆心M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心N(1,0),半径r2=3;设圆P的圆心为P(x,y),半径为R,由圆P与圆M外切并且与圆N内切|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4,由椭圆的定义知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x-2);()对于曲线C上任意一点P(x,y),由|PM|-|PN|=2R-22R2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4;若l的倾斜角为900,则l与y轴重

4、合,可得|AB|=2;若l的倾斜角不为900,由r1R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则=Q(-4,0),可设l:y=k(x+4),由l与圆M相切=1k=;当k=时,将y=x+代入+=1得:7x2+8x-8=0|AB|=;当k=-时,由对称性可知|AB|=.综上,|AB|=2或|AB|=.点评:灵活运用圆的切线的距离条件:“圆心M到切线l的距离等于圆的半径”,可解决过圆外一点作圆的切线问题,尤其可得到关于切线斜率的一元二次方程,这为妙用韦达定理创造了条件. 3.切线方程 子题类型:(2014年辽宁高考理科试题)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1:-=1过点P且离心率为.()求C1的方程;()椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.解析:()设切点P(x0,y0)(x00,y00),则切线l:x0x+y0y=4三角形面积S=;由4=x02+y022x0y0S8,当且仅当x0=y0=时,S取最小值8,此时,点P(,);由双曲

5、线C1:-=1过点P且离心率为-=1,且e=a2=1,b2=2双曲线C1:x2-=1;()由椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点椭圆C2:+=1;设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:x=my+,将x=my+代入x2+2y2=6得:(m2+2)y2+2my-3=0,令f(y)=(m2+2)y2+2my-3=(m2+2)(y-y1)(y-y2)(x-x1)(x-x2)=(x-my1-)(x-my2-)=m2(-y1)(-y2)=f()=(x-)2+(x-)-;由以线段AB为直径的圆:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,即(x-)2+(x-)-+y2+y-=0过点P2m2-2m+4-11=0m=-1或m=-+1直线l:x=(-1)y+,或x=(-+1)y+.点评:设切点,灵活运用圆的切线方程是解决圆的切线问题的有力工具和解题方法;在高考解答题中,圆的切线方程可直接写出. 4.子题系列:1.(2014年天津高考文科试题)设椭圆+=1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.()求椭圆的离心率;()设P为椭圆上异于其顶点的

6、一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=2,求椭圆的方程.2.(2014年重庆高考试题)如图,设椭圆+=1(ab0)的左右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上,DF1F1F2,=2,DF1F2的面积为.()求该椭圆的标准方程;()是否存在圆心在y轴上的圆,使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在,求圆的方程;若不存在,说明理由.3.(2014年天津高考理科试题)设椭圆+=1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.()求椭圆的离心率;()设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.4.(2012年湖南高考文科试题)在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为C:x2+y2-4x+2=0的圆心.()求椭圆E的方程;()设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1、l2,当直线l1、l2都与圆C相切时,求点P的坐标.5.(2012年湖南高考理科试题)在直角坐

7、标系xOy中,曲线C1的点均在C2:(x-5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.()求曲线C1的方程;()设P(x0,y0)(y03)为圆C2外一点,过P作圆C2的两条切线,分别与曲线C1相交于点A,B和C,D.证明:当P在直线x=-4上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.6.(2014年辽宁高考文科试题)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).()求点P的坐标;()焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+交于A,B两点,若PAB的面积为2,求C的标准方程.7.(2011年北京高考试题)已知椭圆G:+y2=1.过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.()求椭圆G的焦点坐标和离心率; ()将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值. 5.子题详解:1.解:()由|AB|=|F1F2|AB|2=|F1F2|2a2+b2=3c2a2=2c2e=;()由a2=2c2b2=c2椭圆:x2+2y2=2c2,B(0,c),F1(-c,

8、0);设点P(ccos,csin),由以线段PB为直径的圆:x(x-ccos)+(y-c)(y-csin)=0,由圆经过点F1(-c,0)(c+ccos)c+c2sin=0sin+cos+1=0sin=,cos=-点P(-c,c)圆心N(-c,c)半经r=|NB|=c,|NF2|2=c2|MF2|=c=2c=椭圆:x2+2y2=6.2.解:()由DF1F1F2|DF1|=;由=2,DF1F2的面积为ac=b2,a=b2cc=1,b=1,a2=2椭圆:+y2=1;()设圆心为C(0,m),半径为r,圆与椭圆的两个交点分别为A,B,两条切线交于点P;由两条切线相互垂直四边形ACBP是正方形|CP|=rP(0,m-r);由|OP|=|OF1|=1r-m=1;由|BF2|=|BP|-|PF2|=r-,|BF1|=|BF1|+|BF2|=+r-=2a=2r=m=圆C:x2+(y-)2=.3.解:()由|AB|=|F1F2|AB|2=|F1F2|2a2+b2=3c2a2=2c2e=;()由a2=2c2b2=c2椭圆:x2+2y2=2c2,B(0,c),F1(-c,0);设点P(ccos,csin)

9、,由以线段PB为直径的圆:x(x-ccos)+(y-c)(y-csin)=0,由圆经过点F1(-c,0)(c+ccos)c+c2sin=0sin+cos+1=0sin=,cos=-点P(-c,c)圆心N(-c,c)半经r=|NB|=c;设直线l:y=kx,由直线l与该圆相切=ck=4.4.解:()设椭圆E:+=1(ab0),则e=,c=2a2=16,b2=12椭圆E:+=1;()设点P(x0,y0),直线l:y-y0=k(x-x0),则+=1;由直线l:kx-y+y0-kx0=0与圆C相切=(2-x0)2-2k2+2(2-x0)y0k+y02-2=0直线l1、l2的斜率k1、k2是该方程的两根,由k1k2=2y02=(x0-2)2+25x02-8x0-36=0x0=-2,或x0=y0=3,或y0=点P(-2,3),或P(,).5.解:()由点M到圆心C2(5,0)的距离=点M到直线x=-5的距离曲线C1是以C2(5,0)为焦点,直线x=-5为准线的抛物线曲线C1:y2=20x;()由y03过P且与圆C2相切的直线斜率都存在,设切线:y-y0=k(x+4),即kx-y+y0+4k=0=372k2+18y0k+y02-9=0;设切线AB,CD的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=-;将k1x-y+y0+4k1=0代入y2=20x得:k1y2-20y+20(y0+4k1)=0yAyB=,同理可得yCyD=yAyByCyD=400=400=6400.6.解:()设切点P(x0,y0)(x0

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