统计学教案习题05方差分析

1、第五章方差分析一、教学大纲要求（一）掌握内容1 .方差分析基本思想（1）多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。（2）多组均数比较的检验假设与 F值的意义。（3）方差分析的应用条件。2. 常见实验设计资料的方差分析（1 ）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。（2） 随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计 算、方差分析表。（3） 多个样本均数间的多重比较方法：LSD-t检验法；Dunnett-t检验法；SNK-q检验法。（二）熟悉内容多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。（三）了解内容两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。、教学内容精要（一）方差分析的基本思想1. 基本思想方差分析（analysis of varianee, ANOVA）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值 总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean, SS）和自由度分解为两个或多个部分，除随机

2、误差外，其余 每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS组间可由处理因素的作用加以解释。通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。2. 分析三种变异（1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups）,组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时）,也包括了随机误差（包括个体差异及测定误差），其大小可用组间均方（MS组k间）表示，即 MS组间=SS.间b组间，其中，SS组间=二.ni （xi - x），组间=k-1为组间自由度。k表示处理组数。i =1（2） 组内变异：各处理组内部观察值之间不尽相同，这种变异叫做组内变异（variation within groups），组内变异反k - ni1映了随机误差的作用，其大小可用组内均方（MS组内）表示，MS组内=SS且内/v组内，其中SS且内|E（XjjXj2 ,；组内二N -k，为组内均方自由度。（3） 总变异：所有观察值之间的变异（不分组），这种变异叫做总变异（total var

3、iation）。其大小可用全体数据的方k ni差表示，也称总均方（MS总）。按方差的计算方法，ms总=SS、卜总，其中ss总=；二（为-X）2, k为处理组数，ni im jm为第i组例数，总=N-1为总的自由度， N表示总例数。（二）方差分析的应用条件（1）各样本是相互独立的随机样本，且来自正态分布总体。（2）各样本的总体方差相等，即方差齐性（homoseedastieity）。(三) 不同设计资料的方差分析1 .完全随机设计的单因素方差分析(1) 资料类型：完全随机设计 (completely random design)是将受试对象完全随机地分配到各个处理组。设计因素 中只考虑一个处理因素，目的是比较各组平均值之间的差别是否由处理因素造成。(2) 方差分析表：见表 5-1。F LF.j时，拒绝Ho：匕= =k。表5-1完全随机设计方差分析计算表来源SSVMSF值组间SS组间组间=k -1SS且间MS&间=组间MS组间FMS组内组内(误差)SS组内=ss总SS组间、组内= 总八,组内=2 kSS且内MS”内-组内总计SS总-总=N 12随机区组设计的两因素方差分析(1)资料类型：随

4、机区组设计(ran domized block desig n)是将受试对象按自然属性(如实验动物的窝别、体重，病人的性别、年龄及病情等)相同或相近者组成单位组(区组)，然后把每个组中的受试对象随机地分配给不同处理。设计中有两个因素，一个是处理因素，另一个是按自然属性形成的单位组。单位组的选择原则是“单位 组间差别越大越好，单位组内差别越小越好”。(2)方差分析表：见表 5-2。F处理一 F 时，拒绝H0：亠=J? = =k。表5-2随机区组设计方差分析计算表变异来源SS-MSF值如果方差分析结果表明各组间有显著差别，则需要进一步进行两两比较，也称均数间的多重比较( comparison )。进行两两比较的方法主要有：LSD-t检验：称为最小显著差异 t检验。适用于k组中某一对或某几对在专业上有特殊意义的均数间差 检验统计量为t值，自由度为方差分析表中的误差自由度，查(1) 异的比较。t界值表。multiple(2),Xa-Xb tSdABDunn ett-t检验：它适用于k-1个试验组与一个对照组均数差别的多重比较，检验统计量为其中 SdABMS误差(n； nJ(5-1 )t值，自由

5、处理组间SS处理-处理=k-1SS处理ms 处理F处理MS处理MS误差单位组间SS单位-单位b-1SS|i位MS位F单位MS单位单位MS误差误差SS吴差-SS总-SS处理-SS单位误差= 总-处理 八单位SS吴差MS差 N-k -n+1误差总计SS总 总N-1心、3.多个样本均数的多重比较度为方差分析表中的误差自由度，查Dunnet-t界值表。(5-2 )（3） SNK-q检验：在方差分析结果拒绝 HH时采用。适用于所有组均数的两两比较。检验统计量为q,自由度为比较组数a和方差分析表中的误差自由度，查 q界值表。(XA XB)cqA其中，Sd二Sd耸差（I Q(5-3)4. 多组资料方差起行检验当各组标准差相差较大（如1.5倍）时，需检验资料是否满足方差齐性的条件。5. 变量变换当资料不能满足方差分析的条件时，如果进行方差分析，可能造成错误的判断。因此对于明显偏离上述应用条件的资料，可以通过变量变换的方法来加以改善。常用的变量变换方法有：（1） 对数变换 对数变换不仅可以将对数正态分布的数据正态化，还能使数据方差达到齐性，特别是各样本的标准差与均数成比例或变异系数接近于一个常数时。变换

6、公式为：X =lg X当原始数据中有小值或零时，可用X=lg（X 1）（2） 平方根变换常用于使服从Possion分布的计数资料或轻度偏态的资料正态化；当各样本的方差与均数呈正 相关时，可使资料达到方差齐性。变换公式为：(5-4)(5-5)当原始数据中有小值或零时，可用X 0.5（3 ）倒数变换 常用于数据两端波动较大的资料，可使极端值的影响减小。变换公式为:X =1/X（5-6）（4） 平方根反正弦变换常用于服从二项分布的率或百分比资料。一般地，当总体率较小（30%）或较大（70%）时，通过平方根反正弦变换，可使资料接近正态，且达到方差齐性的要求。变换公式为：X =si nX（5）秩转换后，采用秩和检验比较组间差别（祥见第九章）6.两因素析因设计方差分析处理含有两因素两水平的全面组合。例如治疗肿瘤术后病人，可采用4种方法：既不放疗也不化疗（比“）；放疗不化疗（ao）；不放疗化疗（a）bi）；既放疗又化疗（dbi）。设放疗为A因素（两水平），化疗为B因素（两水平）， 则构成2 2析因设计，目的是分析 A的主效应，B的主效应及AB的交互作用。7重复测量资料的方差分析受试对象随机分组后，多

7、次测量某一观察指标，以比较处理效应在不同时间点有无变化。如试验组和对照组的轻 度高血压病人入院前、治疗后1天、2天、3天、4天的血压变化。设处理分组为 A因素，重复测量的时间点为 B因素，目的是分析 A的主效应和AB的交互作用。(5-7)三、典型试题分析1.完全随机设计资料的方差分析中，必然有（）A . SS组内SS组间B . MS组间MS组内C . MS =MS组间+MS组内D. SS总=SS组间+SS组内答案：D评析本题考点：方差分析过程中离均差平方和的分解、离均差平方和与均方的关系。方差分析时总变异的来源有：组间变异和组内变异，总离均差平方和等于组间离均差平方和与组内离均差平方差之和，因此，等式 SS总=SS组间+SS组内是成立的。离均差平方和除以自由度之后的均方就不再有等式关系，因此C选项不成立。A、B选项不一定成立。D选项为正确答案。2 单因素方差分析中，当 P0.05时，可认为（）。A. 各样本均数都不相等B 各总体均数不等或不全相等C.各总体均数都不相等D .各总体均数相等答案：B评析本题考点：方差分析的检验假设及统计推断。方差分析用于多个样本均数的比较，它的备择假设（H

8、J是各总体均数不等或不全相等，当P0.05时，接受Hi,即认为总体均数不等或不全相等。因此答案选B。3. 以下说法中不正确的是（）A. 方差除以其自由度就是均方B. 方差分析时要求各样本来自相互独立的正态总体C. 方差分析时要求各样本所在总体的方差相等D. 完全随机设计的方差分析时，组内均方就是误差均方答案：A评析本题考点：方差分析的应用条件及均方的概念。方差就是标准差的平方，也就是均方，因此选项A是错误的。选项和C都是正确的。在完全随机设计的方差分析中，组内均方就是误差均方， t检验结果（C是方差分析对资料的要求，因此选项BD选项也是正确的。4.当组数等于2时，对于同一资料，方差分析结果与A.完全等价且F = tB.5.C. t检验结果更准确答案：D评析本题考点：方差分析与D.方差分析结果更准确 完全等价且Ft检验的区别与联系。对于同一资料，当处理组数为 完全随机设计与随机单位组设计相比较（2时，t检验和方差分析的结果一致且）。- F，因此，正确答案为DoA. 两种设计试验效率一样B. 随机单位组设计的误差一定小于完全随机设计C. 随机单位组设计的变异来源比完全随机设计分得更细D. 以上说法都不对答案：Co评析:本题考点：两种设计及其方差分析的区别。两种设计不同，随机区组设计除处理因素外，还考虑了单位组因素。进行方差分析时，变异来源多分解出一 项：单位组间变异。因此 C选项为正确答案。四、习题（一）名词解释1. 均方2 .方差分析基本思想3 .总变异 4 .组间变异 5 .组内变异6. 完全随机设计 7.随机区组设计（二）单项选择题1 .两样本均数的比较，可用（ ）oA .方差分析B. t检验C .两者均可2.配伍组设计的方差分析中,A. V总误差D .方差齐性检验7配伍等于（）。B. v总-v处理3.在均数为,标准差为b的正态总体中随机抽样,的概率为5%。D. v总-十处理-+误差A. 1.96 b B . 1.96；x C. to.o5 2,、S D. to.o5 2 S

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