高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总

1、高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总编者：邬小军【知识汇编】参数方程：直线参数方程：X = x0 +1cos0 （t为参数）（X0，*）为直线上的定点，为直线上任一点（x,刃 y = y +1 sin 0到定点（Xo, yo）的数量;圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：Jx = a + rcos0 （0为参数）（a,b）为圆心，r为半径;（u55X）y = b + r sin 0椭圆 X 2 + 旦=1 的参数方程是I x = a cos0 0为矣数 ；a2 b2 ：y = bsin0 （数双曲线-21 = 1的参数方程是Jx = asec。（0为参数）；a2 b2 y = b tan。抛物线y2 = 2px的参数方程是Jx = 2pt2（1为参数）、y = 2 pt力极坐标与直角坐标互化公式：若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，点P的极坐标为（p,0），直角坐标为(x, y)，则 x = p cos 0 , y = p sin 0 , p 2 = x2 + y2, tan 0 = y。【题型1】参数方程和极坐标基本概念1.点M的直角坐标是（-1八3），则点M的

2、极坐标为（C ）A(2，耳)B- (2，-3) C- (23)D- (2,2化兀 + 3),(k e Z)2. 圆p= 5cos 0-5sin 0的圆心坐标是D(-5，点A的坐标为（1,0），A. (-5,-箜)B. (-5,-)C. (5,-)3333. 已知P为半圆C： （0为参数，0 V0V兀）上的点，I 土的长度均为T。1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标;2）求直线AM的参数方程。兀兀解：1）由已知，M点的极角为?，且M点的极径等于7，兀 兀故点M的极坐标为（T，T）.2) M点的直角坐标为(。丁)，A (0,1)，故直线AM的参数方程为1 +咛-).尸詈(t为参数)x = 2 + *5 cos a1r4.已知曲线C的参数方程为 y = 1 + *5 sin a (a为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。1)求曲线c的极坐标方程2)若直线1的极坐标方程为P (sine+cose)=1,求直线I被曲线c截得的弦长。x = 2 + J5 cos a解：(1)v曲线c的参数方程为b =1 i5sina (a为参数)二曲线c的普通

3、方程为(x-2) 2+(y-1) 2=5fx = P cos0将b = psin0代入并化简得：P =4cose+2sine即曲线c的极坐标方程为P =4cose+2sine(2)V /的直角坐标方程为x+y-1=0二圆心c到直线I的距离为d二克二2 弦长为2 %5彰=2 *.5.极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴.已知曲线C1的极坐标方程为p=22 sin (e+ %),曲线C2的极坐标方程为psine=a (a0),4E_射线e=中,e=甲+ 4 , e=甲4 , e = 2 +甲与曲线ci分别父异于极点o的四点a, b,C, D.(1)若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；(2)求 | OA |-| OC | + | OB |-| OD | 的值.解：(1) C :(x T)2+(y T)2 = 2 , C2 : y = a,因为曲线C1关于曲线对称，a =1, C2: y=1I OA 1= 2 应 sin(q + 4)(2)4 ；I OC I= 2、；2 sin中【题型2】直线参数方程几何意义的应用

4、1 .已知直线T + 3(t为参数)与直线I2：2x - 4 y = 5相交于点们 又点A(1,2)，则| = 5_2 .直线I x = 2 +1( 为参数) 被圆(x 3)2 + (y +1)2 = 25所截得的弦长为(C ) 、y =1 t力A.98B. 404 C.侦蕊D. 93 + 4*3C 1,x =- 2 + 工3.在平面直角坐标系xOy中，直线1的参数方程为I y = 2 + 3t (t为参数)，直线1与曲线C :(y 2)2 x2 =交于 a , b 两点.(1) 求AB的长；(2) 在以0为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为22驾，求点P 到线段AB中点M的距离._ C 1/ = 2 + 2解：(1)直线l的参数方程为Iy = 2 + 2 t (t为参数)，代入曲线C的方程得，2 + 4t-10 = 0 .设占a B对应的参数分别为t t 则t +1 =4 tt =-10设A, B对翌口参数 分力/为12，则12，1 2，所以1 AB |=| t1 t2|= 2、14 .(2)由极坐标与直角坐标互化公式得点P的直角坐标为(2 2),t1+t =

5、 2所以点P在直线l上，中点M对应参数为2,由参数t的几何意义，所以点P到线段AB中点M的距离IPM 1= 2 .4. 已知直线l经过点P(1,1),倾斜角危,以6(1)写出直线l的参数方程。解：(1)直线的参数方程为(2)设l与圆x2 + y2 = 4相交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积。x = 1 +t2y = 1 +112x = 1 +1 cos 气即6里y = 1 +1 sin6（2）把直线X = 1+* 丁代入 x 2 + y2 = 4 得 旦 12(1+t )2 + (1+ _ t )2 = 4,12 + 0 3 + 1)t - 2 = 022y = 1 + t2t1t2 = -2，则点P到A,B两点的距离之积为2x = 2cos 0y = /sin0 (0为参数)于A、B两点.(1)写出曲线C的普通方程；(2)当直线1的倾斜角a= 60时，求1PA 1 + IPBI与1PA 1 -1 PB 1的值.X 2 y 2-_L 上一1解：(1) c : 4 + 3 =1.1x = - 1 + 2 y = 2 (t为参数)5t 2 4t -12 = 0州 + 七-4=?

6、I PA I -1 PB I=I 丫21=与5.设经过点P（-1，0）的直线I交曲线C：设1:联立得:I PA I +1 PB 1=11 -1 1= 126.以直角坐标系的原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1，2）,兀（3.）点M的极坐标为（，2），若直线l过点P，且倾斜角为6，圆C以M为圆心，3为半径.（1）求直线i的参数方程和圆c的极坐标方程;（2）设直线l与圆c相交于A，B两点，求pA - pB .解：（1）直线1的参数方程为X = 1 + t,2y=2+2t，（t为参数），（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为P= 6sin 0x = 1 + 项t，把、y =2 + 2，代入x2+ (y 3)2 =9,得12+-1)t-7=0, tt =-7 设占 A，B 对应的参数分别为 t，t则 lpAl = t |，pB = k | . IpaI . IpbI = 71 2,1 2 ,12 ，7.以平面直角坐标系的坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度 x = 2 3t为长度单位建立极坐标系.已知直线/的参数方程为L = T

7、+ 2t （ t为参数），曲线C的极坐标方程sin2 0 = 4cos 0（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线/与曲线C相交于A、B两点，求AB.解：（1Z 由Psin20 = 4cos0，既P2sin20 = 4pcos0.曲线C的直角坐标方程为y2 = 4x.7(2)，l的参数方程为代入y 2 = 4 x,整理的4t2 + 8t 7 = 0所以t1 +气=2 七，/12，所以 AB = (3)2 + 22t t 12【题型3】两类最值问题=13 xpq+t2)2 - 4t 2 = 43 /4 + 7 =，用X21 .已知曲线C : 9 +产=七以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为P侦0 =2 .（1）写出曲线C的参数方程，直线1的直角坐标方程；（2）设P是曲线C上任一点，求P到直线1的距离的最大值.x = 3cos a解：（1）曲线C的参数方程为1y =sina（a为参数），直线1的直角坐标方程为x y + 2 = 0（2）设 P（3cos a ,sin a）|3cos a sin a + 2 |10cos（a +甲）+ 21P到直线l的距离

8、d = 彰 = 至（其中中为锐角，且tan9= 3 ） 当cos（a +里）=1时，P到直线1的距离的最大值、axf5 + &)x = 3cosay = 2sin a ( a 为参数).（1）求曲线C1的普通方程;（2）若点M在曲线C1上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值.栏+y2 =解：（1）曲线C1的普通方程是：9 + 4 = 1（2）曲线。的普通方程是：x + 2y 10 = 0|3cos a + 4sin a -10| d =Lv5设点M(3cos以,2sin以)，由点到直线的距离公式得:=土 |5cos(a-9) -10 苴中 cos中=3 ,sin 中=4/、 I559 8、a-9 = 时，dmin=5，此时 5,53.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t为参数)，以原点O为极点，以xp = 4、2cos(0 +)轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为4(1) 将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；111 + (2) 若直线l与圆C交于A, B两点，点P的坐标为(2，0)，试求眼 网的值.解：(1)由= ；2cos(0 + 4)，展开化为p 2 = 4 克斗 p cos 0-p sin 0)= 4( p cos 0-psin 0) 匕，x = p cos 0将 1 y = p sin 0 代入，得 x2 + y2 - 4x + 4y - 0，所以，圆C的直角坐标方程是x2 + y2-4x+ 4y -0r 耳x = 2 + ti(2)把直线I的参数方程1y = 2 t(t为参数)代入圆的方程并整理,可得：12 + 2 克t - 4 = 0设A，B两点对应的参数分别为11,12t +1 = -2 *21 t = -4 0则 121 2，所以 L -t J = JL21 12 = 2

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