大学物理第一章答案

1、1.5 一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示： = 2 + 4t3求：（1）t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，为何值？（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？解答（1）角速度为 = d/dt = 12t2 = 48(rads-1)，法向加速度为 an = r2 = 230.4(ms-2)；角加速度为 = d/dt = 24t = 48(rads-2)，切向加速度为 at = r = 4.8(ms-2)（2）总加速度为a = (at2 + an2)1/2，当at = a/2时，有4at2 = at2 + an2，即 由此得，即 ，解得 所以 =3.154(rad)（3）当at = an时，可得r = r2，即 24t = (12t2)2，解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)1.7 一个半径为R = 1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在t = 2.0s内下降的距离h = 0.4m求物体

2、开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度解答圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度由于，所以 at = 2h/t2 = 0.2(ms-2)物体下降3s末的速度为v = att = 0.6(ms-1)，这也是边缘的线速度，因此法向加速度为= 0.36(ms-2)1.8 一升降机以加速度1.22ms-2上升，当上升速度为2.44ms-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m计算：（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离解答在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为 ；螺帽做竖直上抛运动，位移为 由题意得h = h1 - h2，所以 ，解得时间为 = 0.705(s)算得h2 = -0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m注意以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g，而初速度为零，可列方程 h = (a + g)t2/2，由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离第一章 质点运动学1.1 一质点沿直线运动，运动方程为x(t) = 6t2 - 2t3试求：（1）

3、第2s内的位移和平均速度；（2）1s末及2s末的瞬时速度，第2s内的路程；（3）1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度解答（1）质点在第1s末的位移大小为x(1) = 612 - 213 = 4(m)在第2s末的位移大小为x(2) = 622 - 223 = 8(m)在第2s内的位移大小为x = x(2) x(1) = 4(m)，经过的时间为t = 1s，所以平均速度大小为=x/t = 4(ms-1)（2）质点的瞬时速度大小为v(t) = dx/dt = 12t - 6t2，因此v(1) = 121 - 612 = 6(ms-1)， v(2) = 122 - 622 = 0，质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即s = x = 4m（3）质点的瞬时加速度大小为a(t) = dv/dt = 12 - 12t，因此1s末的瞬时加速度为a(1) = 12 - 121 = 0， 第2s内的平均加速度为= v(2) - v(1)/t = 0 6/1 = -6(ms-2) 注意第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒1.2 一质点作匀加速直线运动，在t = 10s内走过路程s = 30

4、m，而其速度增为n = 5倍试证加速度为并由上述数据求出量值证明依题意得vt = nvo，根据速度公式vt = vo + at，得a = (n 1)vo/t， (1)根据速度与位移的关系式vt2 = vo2 + 2as，得 a = (n2 1)vo2/2s，(2)（1）平方之后除以（2）式证得计算得加速度为= 0.4(ms-2)1.3一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5的夹角的初速度65ms-1从西边起跳，准确地落在坑的东边已知东边比西边低70m，忽略空气阻力，且取g = 10ms-2问：（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？解答方法一：分步法（1）夹角用表示，人和车（他）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为vy0 = v0sin = 24.87(ms-1)取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式 vt - v0 = at，这里的v0就是vy0，a = -g；当他达到最高点时，vt = 0，所以上升到最高点的时间为t1 = vy0/g = 2.49(s)再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式vt2 - v02 =

5、 2as，可得上升的最大高度为h1 = vy02/2g = 30.94(m)他从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为h2 = h1 + h = 100.94(m)根据自由落体运动公式s = gt2/2，得下落的时间为 = 4.49(s)因此他飞越的时间为 t = t1 + t2 = 6.98(s)他飞越的水平速度为vx0 = v0cos = 60.05(ms-1)，所以矿坑的宽度为x = vx0t = 419.19(m)（2）根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为 vy = gt = 69.8(ms-1)，落地速度为v = (vx2 + vy2)1/2 = 92.08(ms-1)，与水平方向的夹角为 = arctan(vy/vx) = 49.30?，方向斜向下 方法二：一步法取向上的方向为正，他在竖直方向的位移为y = vy0t - gt2/2，移项得时间的一元二次方程，解得 这里y = -70m，根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为t = 6.98(s)由此可以求解其他问题1.4一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于

6、阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即dv/dt = -kv2，k为常数（1）试证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为；（2）试证在时间t内，船行驶的距离为证明（1）分离变量得，积分 ，可得 （2）公式可化为，由于v = dx/dt，所以 积分 因此 证毕讨论当力是速度的函数时，即f = f(v)，根据牛顿第二定律得f = ma由于a = d2x/dt2，而 dx/dt = v，所以 a = dv/dt，分离变量得方程，解方程即可求解在本题中，k已经包括了质点的质量如果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成正比，则dv/dt = -kvn（1）如果n = 1，则得，积分得lnv = -kt + C当t = 0时，v = v0，所以C = lnv0，因此lnv/v0 = -kt，得速度为 v = v0e-kt而dv = v0e-ktdt，积分得 当t = 0时，x = 0，所以C = v0/k，因此（2）如果n1，则得，积分得 当t = 0时，v = v0，所以，因此 如果n = 2，就是本题的结果如果n2，可得，读者不妨自证1.5 一质点沿半径为0.10m的圆周运动

7、，其角位置（以弧度表示）可用公式表示： = 2 + 4t3求：（1）t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，为何值？（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？解答（1）角速度为 = d/dt = 12t2 = 48(rads-1)，法向加速度为 an = r2 = 230.4(ms-2)；角加速度为 = d/dt = 24t = 48(rads-2)，切向加速度为 at = r = 4.8(ms-2)（2）总加速度为a = (at2 + an2)1/2，当at = a/2时，有4at2 = at2 + an2，即 由此得，即 ，解得 所以 =3.154(rad)（3）当at = an时，可得r = r2，即 24t = (12t2)2，解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)1.6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v = 300ms-1，方向与水平线夹角为30而斜向下，此后飞机的加速度为a = 20ms-2，方向与水平前进方向夹角为30而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？解答建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为v0x = v0cos， v0y = v0sin加速度的大小为ax = acos， ay = asin 运动方程为，即 ， 令y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为t = 0（舍去）；(s)将t代入x的方程求得x = 9000m 注意选择不同的坐标系，例如x方向沿着a的方向或者沿着v0的方向，也能求出相同的结果1.7 一个半径为R = 1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在t = 2.0s内下降的距离h = 0.4m求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度解答圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度由于，所

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