极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解

1、极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即,x二f（t）y二f（t）并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数.（二）常见曲线的参数方程如下：1. 过定点（x0，y0），倾角为a的直线：rx二x+tCOS0（t为参数）1y二y+1sin0其中参数t是以定点P（x0,y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离.根据t的几何意义，有以下结论.Q.设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则|AB|=tBtA=（t-1）2一4t-1.BAABt+1.线段AB的中点所对应的参数值等于A2B.2. 中心在（x0，y0），半径等于r的圆：x二x+rcos0门0.o（0为参数）y二y+rsin003. 中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆:.x=acos0-y=bsin00为参数）x=bcos0（或y二asin0）中心

2、在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程x二x+acos,斗仝蚪、0.（为参数）y二y+bsin.04. 中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线:x=asecy二btg（为参数）（或兀塚：）y=asec5. 顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线:x二2pt22t（t为参数，p0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P（x0,y0）,倾斜角为，的直线的参数方程是|X二XIVSiOS，（?为参数）（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M,用P表示线段0M的长度，e表示从Ox到0M的角，P叫做点M的极径，e叫做点M的极角，有序数对（P,9）就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。M2、极坐标有四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向.极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数P、对应惟一点P（P，），但平面内任一个点P的极坐标不惟一.一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P（P，）（极点除外）

3、的全部坐标为（P,+2kK）或（-p，0+（2k+1）冗），（keZ）.极点的极径为0，而极角任意取.若对P、0的取值范围加以限制.则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定P0,0WV2兀或P0，-兀v0w兀等.极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中点与坐标是一多对应的.即一个点的极坐标是不惟一的.3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：aCOS0asin0asin0aP=cos（e-）MP,o)MaOaMasin0aP=一sin0a4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为(a0):,=2acosB,=2acose,=2asine,=2asine图1,=2acos（9一）p=2asine图6p=2asinep=2acos（e一）5、极坐标与直角坐标互化公式：,x=Pcos0。Hx2+y2=p2ypsin0tan0=丄（x0）x直极互化图）基础训练A组一、选择题1Ix=1+2t“若直线的参数方程为y=2-3t（t为参数），则直线的斜率为2B.-3D.-32F列在曲线,;:s0+sin0（0为参数）上的点是（1_A.(2,

4、2)31B.(-42c.(2,3)D(1,J3)3.3.将参数方程Jx=2+0（0为参数）化为普通方程为（y=sin20A.yx-2B.y=x+2C.y=x-2(2x3)D.:x+2(0y1)3.3.4.化极坐标方程P2cos0-p=0为直角坐标方程为（）3.A.2y2二0或y二1B.x=1C.2y2=0或=1D.y=15. 点M的直角坐标是(-1,3),则点M的极坐标为()兀兀2兀兀A.(2,-)B.(2,-)C.(2,丁)D.(2,25+-),(kZ)6. 极坐标方程cos0=2sin20表示的曲线为()A.条射线和一个圆B.两条直线C.一条直线和一个圆D.个圆二、填空题1.直线I：*f(t为参数)的斜率为。卜=4，5t2参数方程r=e+(丫为参数)的普通方程为。y=2(et-e-t)3已知直线l:K=1+3t(t为参数)与直线/:2x-4y=5相交于点B，又点A(l,2),1Iy=24t2则|AB|=4.直线x=2-丄t21y=，1+_t2(t为参数)被圆x2+y2=4截得的弦长为5.直线xcos+ysin0恒成立，求实数a的取值范围。2-求直线TI；二择数)和直线Ix-y，2、

5、疗=0的交点P的坐标，及点P与Q（1,5）的距离。x2y23在椭圆p+二，1上找一点，使这一点到直线x-2y-12，0的距离的最小值。1612一、选择题1. 直线1的参数方程为+（t为参数），1上的点P对应的参数是t，则点P与P（a,b）y，b+1111之间的距离是（）A.|B.2|Z|C.72|tjd.,12. 参数方程为r,t+t（t为参数）表示的曲线是（）y,2A.条直线B.两条直线C.一条射线D.两条射线11x，1+t3. 直线厂（t为参数）和圆x2+y2，16交于A,B两点，则AB的中点坐标y=-3j3+空tr2为（）A.（3,3）B.（73,3）C.G.-3,3）D.（3,J3）4. 圆p，5cos05j3sin0的圆心坐标是（）4兀兀兀5兀A.（-5，-丁）B.（-5,-）C.（5,-）D.（-5,丁）X，Ji、“，5. 与参数方程为0为参数）等价的普通方程为（）y，tAB.+T，1(0x1)y2y2C.+，1(0y2)D.+，1(0x1,0y2)446.直线FJ+(t为参数)被圆(x-3)2+(y+1)2，25所截得的弦长为()y，1-11A.B.404C.短D.弋93

6、+4寿、填空题1.曲线的参数方程是x:1t（t为参数，），则它的普通方程为.y，1t22直线|:；：；（t为参数）过定点3是椭圆2x23y2，12上的一个动点，则x+2y的最大值为41曲线的极坐标方程为P，tan0-，则曲线的直角坐标方程为cos05设y，tx（t为参数）则圆x2y24y，0的参数方程为三、解答题fx:cos0（sin0+cos0）小、厶、”参数方程00、（0为参数）表示什么曲线?Iy:sin0（sin0+cos0）12x2y2点在椭圆弋+2,1上，求点至I直线3x-4y，24的最大距离和最小距离。1693已知直线l经过点P（1,1）,倾斜角a，-,6（1）写出直线l的参数方程。（2）设l与圆X2y2，4相交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积。一、选择题11x，sintx:costx:12B.彳1C.1D.1y.yIy，t2sintcostIA)把方程xy，1化为以t参数的参数方程是（）曲线:;:（为参数）与坐标轴的交点是（x，tant1y,tant22111A.(0,5)、2,0)B.(0,5)、2,0)C.(0,4)、8,0)D.(0,9)、8,0)3.直线

7、；,2：（站参数）被圆x2+y2，9截得的弦长为（121299A.B.5C.5D.105555厂x=4t24若点P（3,m）在以点F为焦点的抛物线,（t为参数）上，则PF等于（）卜二4tA.2B.3C.4D.55. 极坐标方程cos2二0表示的曲线为（）A.极点B.极轴C.一条直线D.两条相交直线6. 在极坐标系中与圆p=4sin相切的一条直线的方程为（）A.pcos=2B.psin二2C.P=4sin(+)D.p=4sin(一葺)1.、填空题已知曲线,XPpt（t为参数，为正常数）上的两点M,N对应的参数分别为t和t,、y二2pt12,x_2一匝t2直线,-二（t为参数）上与点A（-2,3）的距离等于Q的点的坐标是y3+yj2tx3sin+4cos小厶、”3圆的参数方程为,y4sin一3cos（为参数），则此圆的半径为4.极坐标方程分别为Pcos与psin的两个圆的圆心距为5.xtcosx4+2cosa八直线,y-1sin与圆y-2sina相切，则三、解答题1.分别在下列两种情况下，把参数方程,x-(et+e-t)cos21化为普通方程y(et-e-t)sin（1）为参数，t为常数；（2）t为参数，为常数;2.过点P（七,0）作倾斜角为Q的直线与曲线x2+12y21交于点M,N,求|PM|PN|的值及相应的a的值。新课程高中数学训练题组参考答案数学选修4-4坐标系与参数方程基础训练A组一、选择题1k=二=!x一12t2转化为普通方程：31y2=1+x，当x=一4时，y=23转化为普通方程：y=X一2，但是xe2,3,ye0,1数学选修4-4坐标系与参数方程基础训练A组数学选修4-4坐标系与参数方程基础训练A组4p(pcos一1)=0,p=Qx2+y2=0,或pcos=x=15

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