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高考数学复习点拨 3.4教材解读

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常见问题

1、高中数学3.4教材解读基本不等式是不等式变形的一个重要依据，是每年高考中不可缺少的解题工具，常应用于证明不等式、判断不等式是否成立、求函数的值域或最值、求字母或参数的变化范围、求解实际问题等，在各类题型中我们几乎都能够找到它的身影一、学习目标能正确表述和推导基本不等式；能应用基本不等式证明一些相关的不等式和求与之相关的函数最大值或最小值问题二、知识要点精析1尽管基本不等式的应用范围极广，推论和相关结论也很多，但其本身终究是由不等式的意义、性质推导出来的凡是用它可以获证的不等式，均可以直接根据不等式的意义、性质证得因此，在基本不等式的应用中，不可忽视不等式的意义、性质等概念在处理有关不等式论证方面的根本作用2用基本不等式不但可以处理两个正数的和与积结构的不等式，结合不等式的性质还可以处理两个正数的平方和、倒数和及其它形式的不等式，由公式和可以得到以下几个重要结论：（1）（当且仅当时，等号成立）；（2）（当且仅当时，等号成立）；（3）（当且仅当时，等号成立）；（4）（都是正数，当且仅当时，等号成立）3在使用公式和时，要注意这两者成立的条件是不相同的，前者只要求都是实数，而后者要求都是正数4

2、利用基本不等式可以求函数或代数式的最值问题：（1）当都为正数，且为定值时，有（定值），当且仅当时，等号成立，此时有最小值；（2）当都为正数，且为定值时，有（定值），当且仅当时，等号成立，此时有最大值以上两类问题可简称为“积大和小”问题5创设基本不等式使用的条件，合理拆分项或配凑因式是经常用的解题技巧，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件（两数都为正）；二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件（当且仅当a=b时，等号成立），它具有一定的灵活性和变形技巧，高考中常被设计为一个难点6基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能若所证不等式可变形成一边为和，另一边为积的形式，则可以考虑使用基本不等式把问题转化其中“一正、二定、三相等”在解题中具有双重功能，既有对条件的制约作用，又有解题的导向作用三、基本不等式的应用应用基本不等式解决实际问题的步骤：（1）理解题意，设变量设变量时一般把要求最值的变量定为函数；（2）建立函数模型，把实际问题抽象为函数最值问题；（3）在定义域内，求出函数的最值；（4）写出正确答案四、特别提示1在使用基本不等式求最值时，必须具备三个条件：在所求最值的代数式中，各变量均应是正数（如不是，则进行变号转换）；各变量的和或积必须为常数，以确保不等式一边为定值（如不是，则进行拆项或分解，务必使不等式的一端的和或积为常数）；各变量有相等的可能（即相等时，变量字母有实数解，且在定义域内若无，则说明拆项或者分解不当，此时，应重新拆项或分解或改用其它方法比如，已知，求函数的最小值，从形式上看可以使用基本不等式，但等号成立的条件不具备，因此，要考虑使用函数的单调性来解决问题）2在使用基本不等式证明问题时，要注意它们反复使用后，再相加相乘时字母应满足的条件及多次使用后等号成立的条件是否一致，若不一致，则不等式中的等号不能成立3基本不等式是带有等号的不等式其中“当且仅当时，取等号”的含义为：一方面，当时取等号，即；另一方面，仅当时取等号，即综合起来，其含义是：

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