数学建模荒山种树
6页1、【针对问题】为了比较人们投资荒山种树经济收益与银行储蓄收益多少,今儿找出最优化的方案,使得相同的投资得到最高的收益。【问题背景】由于荒山闲置浪费,投资荒山开发种树,以可再生资源的开发以适度为原则,就是在实现可持续收获的前提下,追求最大产量或最大效益,树木成长之后,砍伐过多会造成资源破坏,砍伐太少又得不到满意的经济效益,下面通过模型试图寻找二者平衡点。【模型一】1. 模型的假设 *假设荒山上没有树,栽种Y棵树。 *忽略树木自身的繁殖,新增树木就是年初植树的量2. 初步模型建立 设x(t)为树木t时刻的数量,此时的增长率r=B+G-D其中B为t时刻的出生率,可以忽略,G为种植率,D为自然死亡率,x(t)表示t时刻某范围内树木的数量,当数量较大时,可以将x(t)看作t的连续函数。X(t)的变化仅与r有关。 考虑到环境约束的制约作用,一定存在一个环境容量Xm定义为该树木在该森林种的可容纳最大数量。即 增长率r应该受Xm的制约,近似假设: R=a(1-X/) 其中 X/可解释为已消耗资源比例,剩余资源 1-X/体现环境阻力的大小,a 为比例系数有经验值及大量数据确定。此时,数字模型可如下建立 在
2、森林模型里,需要进一步考虑人工砍伐的情况。假设砍伐率为H(x)的图像,两图形的交点就是平衡点。首先考虑一种简单情况,就是不考虑剩余树木的多少,砍伐率为常数,即H(x)=H。下图横坐标x为树木总量,纵坐标代表树木的变化率dx/dt 二次函数g(x)与H(X)的交点设为,()(1) .当0x时,所以,这时候随着时间的延续,树木总量x会减少。这时候需要适当下调H(x),使得左移,保证x(2) .当x0,随着时间的延续,树木总量会增加。(3) .当x0,随着时间的延续,树木总量会减少,但是如果减少到以下,又会符合(2)条件,树木总量又会增加。综合(2),(3)可以得到,树木总量如果满足一定初试条件会稳定在附近。最终达到稳定。显然,二次函数最大值为,H(x)不能超过,否则,树木总量会不断减少,过度砍伐最终树林会被砍光。所以H(x)有极限值=事实上,树木砍伐量不会不变,比较直观的想,数多的时候多砍伐一些,树少的时候少砍伐一些。我们可以假设砍伐率H(x)=Ex这时,在做总量与变化率的关系的曲线得到 相对来说比较合理,两曲线除零点以外,只有一个交点。当x0,树木总量会增加。当x时都有0,树木总量会减少
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