条件概率知识点例题练习题共16页

1、 条件概率专题一、知识点 只须将无条件概率替换为条件概率，即可类比套用概率满足的三条公理及其它性质 在古典概型中 - 在几何概型中 -条件概率及全概率公式3.1.对任意两个事件A、B, 是否恒有P(A)P(A|B).答：不是. 有人以为附加了一个B已发生的条件, 就必然缩小了样本空间, 也就缩小了概率, 从而就一定有P(A)P(A|B), 这种猜测是错误的. 事实上,可能P(A)P(A|B), 也可能P(A)P(A|B), 下面举例说明.在0,1,9这十个数字中, 任意抽取一个数字,令 A=抽到一数字是3的倍数; B1=抽到一数字是偶数; B2=抽到一数字大于8, 那么 P(A)=3/10, P(A|B1)=1/5, P(A|B2)=1. 因此有 P(A)P(A|B1), P(A)P(A|B2).3.2.以下两个定义是否是等价的. 定义1. 若事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B), 则称A、B相互独立. 定义2. 若事件A、B满足P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B), 则称A、B相互独立.答：不是的.因为条件概率的定义为 P(A|B)=P(AB)/P(B) 或 P(B|

2、A)=P(AB)/P(A)自然要求P(A)0, P(B)0, 而定义1不存在这个附加条件, 也就是说,P(AB)=P(A)P(B)对于P(A)=0或P(B)=0也是成立的. 事实上, 若P(A)=0由0P(AB)P(A)=0可知P(AB)=0故 P(AB)=P(A)P(B).因此定义1与定义2不等价, 更确切地说由定义2可推出定义1, 但定义1不能推出定义2, 因此一般采用定义1更一般化.3.3.对任意事件A、B, 是否都有 P(AB)P(A)P(A+B)P(A)+P(B).答：是的.由于 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) (*)因为 P(AB)0, 故 P(A+B)P(A)+P(B).由P(AB)=P(A)P(B|A), 因为0P(B|A)1,故 P(AB)P(A);同理P(AB)P(B), 从而 P(B)-P(AB)0, 由(*)知 P(A+B)P(A).原命题得证.3.4.在引入条件概率的讨论中, 曾出现过三个概率: P(A|B), P(B|A), P(AB). 从事件的角度去考察, 在A、B相容的情况下, 它们都是下图中标有阴影的部分, 然而从概率计算的角度看, 它

3、们却是不同的. 这究竟是为什么?答：概率的不同主要在于计算时所取的样本空间的差别:P(A|B)的计算基于附加样本空间B;P(B|A)的计算基于附加样本空间A;P(AB)的计算基于原有样本空间. 3.5.在n个事件的乘法公式： P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1)中,涉及那么多条件概率, 为什么在给出上述乘法公式时只提及P(A1A2An-1)0呢? 答：按条件概率的本意, 应要求P(A1)0, P(A1A2)0, , P(A1A2An-2)0, P(A1A2An-1)0.事实上, 由于A1A2A3An-2 A1A2A3An-2An-1, 从而便有P(A1A2An-2) P(A1A2An-1)0. 这样, 除P(A1A2An-1)0作为题设外, 其余条件概率所要求的正概率, 如P(A1A2An-2) 0, , P(A1A2) 0, P(A1)0便是题设条件P(A1A2An-1)0的自然结论了.3.6.计算P(B)时, 如果事件B的表达式中有积又有和, 是否就必定要用全概率公式.答：不是. 这是对全概率公式的形式主义的认识, 完全把它

4、作为一个”公式”来理解是不对的. 其实, 我们没有必要去背这个公式, 应着眼于A1,A2,An的结构. 事实上, 对于具体问题, 若能设出n个事件Ai, 使之满足 (*)就可得 . (*)这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式.因此, 能否使用全概率公式, 关键在于(*)式, 而要有(*)式, 关键又在于适当地对进行一个分割, 即有(*)式.3.7.设P(A)0, P(B)0, 因为有(1)若A、B互不相容, 则A、B一定不独立.(2)若A、B独立, 则A、B一定不互不相容.故既不互不相容又不独立的事件是不存在的. 上述结论是否正确.答：不正确. 原命题中的结论(1)(2)都是正确的. 但是由(1)(2)(它们互为逆否命题, 有其一就可以了)只能推出在P(A)0, P(B)0的前提下, 事件A、B既互不相容又独立是不存在的, 并不能推出“A、B既不独立又不互不相容是不存在的”. 事实上, 恰恰相反, 既不互不相容又不独立的事件组是存在的, 下面举一例.5个乒乓球(4新1旧), 每次取一个, 无放回抽取三次, 记Ai=第i次取到新球, i=1, 2, 3. 因为是无放回抽取, 故A1、A

5、2、A3互相不独立, 又A1A2A3=三次都取到新球, 显然是可能发生的, 即A1、A2、A3可能同时发生, 因此A1、A2、A3不互不相容.3.8.事件A、B的“对立”与“互不相容”有什么区别和联系? 事件A、B “独立”与“互不相容”又有什么区别和联系?答：“对立”与“互不相容”区别和联系, 从它们的定义看是十分清楚的, 大体上可由如下的命题概括: “对立” “互不相容”, 反之未必成立.至于“独立”与“互不相容”的区别和联系, 并非一目了然.事件的互不相容性只考虑它们是否同时发生，是纯粹的事件的关系, 丝毫未涉及它们的概率, 其关系可借助图直观显示.事件的独立性是由概率表述的, 即当存在概率关系P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)时, 称A、B是相互独立的.它们的联系可由下述命题概括: 对于两个非不可能事件A、B, 则有“A、B互不相容” “A、B不独立”. 其等价命题是: 在P(A)0与P(B)0下, 则有“A、B独立” “A、B不互不相容”(相容). 注意, 上述命题的逆命题不成立.3.9.设A、B为两个事件,若 0P(A)1, 0P(B)1. (*)则A、B相互独

6、立, A、B互不相容, , 这三种情形中的任何两种不能同时成立.答：在条件(*)下当A、B相互独立时, 有 P(AB)=P(A)P(B);当A、B互不相容时, 有 P(AB)P(A)P(B). 在条件(*)下, 上述三式中的任何两个不能同时成立. 因此, A、B相互独立, A、B互不相容, 这三种情形中的任何两种不能同时成立.此结论表明: 在条件(*)下,若两个事件相互独立时, 必不互不相容，也不一个包含另一个,而只能是相容了.3.10.证明: 若P(A)=0或P(A)=1, 则A与任何事件B相互独立.答：若P(A)=0, 又, 故0P(AB)P(A)=0.于是P(AB)=0=P(A)P(B),所以A与任何事件B相互独立.若P(A)=1, 则 .由前面所证知, 与任何事件B相互独立. 再由事件独立性的性质知, 与B相互独立, 即A与B相互独立.另种方法证明: 由P(A)=1知 , 进而有. 又 且AB与互不相容, 故 . 即A与B相互独立.3.11.设A、B是两个基本事件, 且0P(A)0, , 问事件A与B是什么关系?解1由已知条件 可得 .由比例性质, 得 .所以 P(AB)=P(

7、A)P(B).因此事件A与B相互独立.解2由 得 .因而 .又 ,所以 P(B|A)=P(B).因此事件A与B相互独立.3.12.是不是无论什么情况, 小概率事件决不会成为必然事件.答：不是的. 我们可以证明, 随机试验中, 若A为小概率事件, 不妨设P(A)=(01为不论多么小的实数 ), 只要不断地独立地重复做此试验, 则A迟早要发生的概率为1. 事实上, 设Ak=A在第k次试验中发生, 则P(Ak)=, , 在前n次试验中A都不发生的概率为: . 于是在前n次试验中, A至少发生一次的概率为 . 如果把试验一次接一次地做下去, 即让n, 由于01, 则当n时, 有pn1.以上事实在生活中是常见的, 例如在森林中吸烟, 一次引起火灾的可能性是很小的, 但如果很多人这样做, 则迟早会引起火灾.3.13.只要不是重复试验, 小概率事件就可以忽视.答：不正确. 小概率事件可不可以忽视, 要由事件的性质来决定, 例如在森林中擦火柴有1%的可能性将导致火灾是不能忽视的, 但火柴有1%的可能性擦不燃是不必在意的.3.14.重复试验一定是独立试验, 理由是: 既然是重复试验就是说每次试验的条件完

8、全相同, 从而试验的结果就不会互相影响, 上述说法对吗?答：不对. 我们举一个反例就可以证明上述结论是错误的.一个罐子中装有4个黑球和3个红球, 随机地抽取一个之后, 再加进2个与抽出的球具有相同颜色的球, 这种手续反复进行, 显然每次试验的条件是相同的. 每抽取一次以后, 这时与取出球有相同颜色的球的数目增加，而与取出球颜色不同的球的数目保持不变，从效果上看，每一次取出的球是什么颜色增加了下一次也取到这种颜色球的概率，因此这不是独立试验,此例是一个如同传染病现象的模型，每一次传染后都增加再传染的概率.3.15.伯努利概型的随机变量是不是都服从二项分布.答：不一定. 例如某射手每次击中目标的概率是p，现在连续向一目标进行射击，直到射中为止. 此试验只有两个可能的结果：A=命中； =未命中，且P(A)=p. 并且是重复独立试验，因此它是伯努利试验（伯努利概型），设Xk=第k次射中，Xk显然是一个随机变量，但 P(Xk=k)=qk-1p，k=1,2,，其中q=p-1，可见Xk是服从参数为p的几何分布，而不是二项分布.3.16.某人想买某本书, 决定到3个新华书店去买, 每个书店有无此书是等可能的. 如有, 是否卖完也是等可能的. 设3个书店有无此书, 是否卖完是相互独立的. 求此人买到此本书的概率.答：(37/64).3.17.在空战中, 甲机先向乙机开火, 击落乙机的概率是0.2; 若乙机未被击落, 就进行还击, 击落甲机的概率是0.3, 则再进攻乙机, 击落乙机的概率是0.4. 在这几个回合中,(1)甲机被击落的概率是多少?(2)乙机被击落的概率是多少?答：以A表示事件“第一次攻击中甲击落乙”, 以B表示事件“第二次攻击中乙击落甲”, 以C表示事件“第三次攻击中甲击落乙”.(1)甲机被击落只有在第一次攻击中甲未击落乙才有可能, 故甲机被击落的概率为 . (2)乙机被击落有两

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