微积分与数学建模知识总结

1、 微积分与数学模型（上册）任课教师：陈骑兵小组成员 张程 1440610405 王子尧 1440610402 李昊奇 1440610403 梅良玉 1440610426 方旭建 1440610406 李柏睿 1440610428 第1章 函数，极限与连续 1.1 函数的基本概念 准备知识（掌握集合与区间的相关知识） 函数定义：设x和y是两个变量，D是一个给定的数集。如果对于任意xD， 按照某一法则f，变量y都有确定的值和它对应，则称f为定义在D上的函数，数集D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量。与x对应的y的值记做f(x)，称为函数f 在x处的函数值。D上所有的数值对应的全体函数值的集合称为值域 函数特性： 1：函数的有界性设f(x)在集合X上有定义，若存在M=0,使得对任意x属于X都有f(x的绝 对值0且a1；对数函数 如：y=,a0且a1；三角函数 如：y=sinx,y=cosx,y=tanx；反三角函数 如：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx；以及双曲函数1.3 极限的概念 （1) .极限的直观定义：当x接近于某个常数x0但不等于x0时，若f(x

2、)趋向于常数A，则 称A为f(x)当x趋向于x0时的极限。(2) .极限的精确定义：给定函数f(x)和常数A，若对于0（无论多么小），总彐0,使得当0|x-x0|0以及0，使得当0|x-x0|0(或A0，使得当0|x-x0|0(或f(x)0，彐0，使得当0|x-x0|时，有|f(x)|0，彐0，使得当0|x-x0|M,则称f(x)为xx0时的无穷大量定理： (1)若f(x)为无穷大量，则1/f(x)为无穷小量； (2)若f(x)为无穷小量，且f(x)0，则1/f(x)为无穷大量。无穷小量的运算性质： a 两个无穷小量的和或差仍为无穷小量； b 有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量； C 常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量； d 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。无穷小量的比较： a若lim(/)=0,则称是的高阶无穷小，F b若lim(/)=,则称是的低阶无穷小， c若lim(/)=C0,则称是的同阶无穷小， d若lim(/)=1,则称与是等阶无穷小，记做。1.6函数的连续性连续函数的定义： i 若函数f(x)在包含x0的某个领域U(x0,)内有定义，且limxx0 f(x)=f(x0)

3、，则称f(x)在点x连续 ii 若函数f(x)在包含x0的某个领域U(x0,)内有定义，且limx0 y=0,其中y表示对应于自)在包含x0的某个右(左)领域内有定义，且左右极限相等，则称f(x)在点x右（左）连续。间断点及其分类满足条件：f(x)x=x limf(x)存在 limf(x)=f(x)三者有一个不成立，则称f(x)在点x间断,称x为间断点第一类间断点：可去间断点 跳跃间断点第二类间断点：跳跃间断点 振荡型间断点连续函数的运算性质与初等函数的连续性 连续函数的四则运算法则：若f(x),g(x)均在x0连续，则f(x)g(x),f(x)g(x)及f(x)/g(x) (g(x0)0)都在x0连续； 反函数的连续性 若y=f(x)在区间Ix上单值，单增(减)，且连续，则其反函数x=(y)也在对应的区间Ix=y|y=f(x),xIx上单值，单增(减),且连续； 复合函数的连续性 函数u=(x)在点x=x0连续，且(x0)=u0，函数y=f(u)在点u0连续，则复合函数y=f(x)在点x0处连续。 结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。1.7闭区间上连续函数的性质 最值定理：

4、i 闭区间上的连续函数在该区间一定有界 ii 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值 介值定理： 设f(x)在a,b上连续，且f(a)f(b)，则对于f(a)f与f(b)之间的任意常数C， 在(a,b)内至少存在一点x,使得f(x)=C(axb) 推论： 设f(x)在a,b上连续，则对于C（m,M)，必存在x(a,b)，使得f(x)=C 零点存在定理：设f(x)在a,b上连续，且f(a)f(b)0,则在开区间(a,b)内，至少存在一点， 使得f()=0，即f(x)在（a,b)内至少有一个零点。重点：i 理解并掌握初等函数的特性以及分段函数和复合函数。 ii. 理解并掌握极限的定义；性质和四则运算 iii 掌握夹逼准则的定理及应用 iv 掌握无穷小量的实质和性质 v 理解连续函数的定义难点：I 掌握极限与连续函数间的内在联系 II 掌握两个重要极限的形式并且能熟练运用 III 能熟练运用等价无穷小之间的转换求极限 IV 能牢记并准确判断出函数间断点的类型 V 能运用数学建模解决实际问题 第二章 导数与微分2.1导数的定义设函数=()在点及其某领域内有定义，当自变量在处取得增量(+)()，

5、如果=存在，则称函数在点处可导，并称此极限值为函数在点处的导数，记为。常见的导数表达式还有：和。2.1.3单侧倒数如果极限存在，则称此极限值为函数在的左导数，记做，如果极限存在，则称此极限值为函数的右导数，记做。2.2函数的运算法则（1） ；（2） （2）；（3） ； （4） 基本初等函数的导数公式（1） ；（2）；（3） ； （4）；（5） ； （6）； （7） ； (8)；（9）； （10）；（11）； （12） ； （13）；（14）；（15）；（16）；2.3 隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的导数若因变量表示为自变量的明确表达式，则称为显函数而有时变量和的关系不用显式给出，甚至某些情况下不能用显式给出，就产生了隐函数。一般地，称由方程F(，)所确定的函数为隐函数。隐函数的求导发设由方程，确定了隐函数，于是对方程两端关于求导，遇到直接求导，遇到就将看成的函数，再乘以对的导数，得到一个含有的方程，然后从中解除即可。 2.4 高阶导数一般地，函数的导数任然是的函数，它称为的一阶导数，如果的导数存在，就称其为函数的二阶导数，记做，或，根据导数的定义，类似的，函数的三阶导数，.，阶

6、导数的导数就称为阶导数，分别记做 . ，或，. ，或 .2.5 微 分设函数在点及其领域有定义，若在点处的增量与自变量增量满足如下关系，其中A是与无关的常数，是0时的高阶无穷小，则称函数在点处可微，称为函数在点处的微分，并记为丨，称为的线性主部。2.5.2微分的运算法则（1） （C为常数）；（2）；（3) ；(4 (5)；(6) (7) ；(8)； (9)；(10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；2.微分的四则运算法则由函数的和，差，积，商的求导法则，可得到微分的四则运算法则，设函数，在点处可微，则有（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理一、 费马引理：设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有（或），那么。证：不妨设时，对于，有，故当时，；当时，由保号性，故。罗尔定理（Rolle）如果函数满足：（1）在闭区间上连续 （2）在开区间内可导，（3），则至少存在一点，使得在该点的导数等于零：=0二、拉格朗日中值定理1）Lagrange中值定理（或有限增量定理，微分中值定理）：如果函数满足：（1）在闭区间上连续，（2）在开区间内可导。则至少存在一点，使

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