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高中数学第1章直线多边形圆1.2.4切割线定理学案北师大版选修4_.doc
12页1、2.4切割线定理1.掌握切割线定理及其推论.2.会用切割线定理及推论解决问题.基础初探教材整理1切割线定理(1)文字叙述过圆外一点作圆的一条切线和一条割线,切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项.(2)图形表示如图1276,O的切线PA,切点为A,割线PBC,则有PA2PBPC.图12761.PA为O的切线,A为切点,PO交O于B,PB4,PO8.5,则PA_.【解析】PB4,PO8.5,OB4.5.由切割线定理知,PA241352,PA2.【答案】2教材整理2切割线定理的推论(1)文字叙述过圆外一点作圆的两条割线,在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积,等于另一条割线上对应线段长的积.(2)图形表示如图1277,PAB与PCD是O的两条割线,则有PAPBPCPD.图12772.PAB为过圆心O的割线,且PAOA4,PCD为O的另一条割线,且PCCD,则PC长为()A.4B.C.24D.2【解析】由题意知PAPBPCPD,设PCx,则PD2x,2xx412,x2,即PC2.【答案】D教材整理3切割线定理的逆定理(1)文字叙述给定O外一点P,若割线PAB交O于A,B两点,点T
2、在O上,且PT2PAPB,则PT是O的切线.(2)图形表示如图1278,PAB是O的割线,点T在O上,若PT2PAPB,则PT是O的切线.图12783.如图1279所示,P是O外一点,PMN是O的割线,Q是O上一点,且PQ4,PM3,PN,则PQ与O的位置关系是()图1279A.相交 B.相切C.相离D.无法确定【解析】PQ24216,PMPN316PQ2PMPN.由切割线定理的逆定理知,PQ是O的切线.【答案】B质疑手记预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1: 解惑: 疑问2: 解惑: 疑问3: 解惑: 小组合作型切割线定理如图1280,设ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E,BAC的平分线与BC交于点D.图1280求证:ED2ECEB.【精彩点拨】由于EA2ECEB,故只需证EDEA.【自主解答】如题图,AE是圆的切线,ABCCAE.又AD是BAC的平分线,BADCAD,从而ABCBADCAECAD.ADEABCBAD,DAECAECAD,ADEDAE,故EAED.EA是圆的切线,由切割线定理知,EA2ECEB.而EAED,ED2ECEB.切割线定
3、理给出线段之间的关系,在计算与证明有关线段关系时,应注意灵活运用.再练一题1.如图1281,圆O是ABC的外接圆,过点C的切线交AB的延长线于点D,CD2,ABBC3,则AC的长为_. 【导学号:96990029】图1281【解析】由切割线定理知CD2BDADBD(3BD),即(2)2BD23BD,解得BD4或BD7(舍去).BDCADC,DCBCAD,CADBCD,即,解得AC.【答案】切割线定理的推论如图1282,PAB和PCD为圆的两条割线,交圆于A,B和C,D各点,若PA5,AB7,CD11.求ACBD.图1282【精彩点拨】线段AC,BD分别在PAC和PBD中,可考虑它们的相似关系.【自主解答】由切割线定理的推论知,PAPBPCPD即,又P为公共角,PACPDB.又PA5,AB7,CD11,PB12.由知512PC(PC11),PC4或PC15(舍去),PDPCCD41115.由得,即ACBD13.1.本题求解的关键是证明PACPDB,而证明的依据是切割线定理的推论.2.切割线定理的推论在证明、求值等方面有着广泛的应用,在证明三角形相似以及利用相似解决问题中起重要作用.再练一
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