新编高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算导学案 新人教A版必修1

1、新编人教版精品教学资料2.1.1指数与指数幂的运算班级:_姓名:_设计人_日期_课前预习 预习案【温馨寄语】废铁之所以能成为有用的钢材，是因为它经得起痛苦的磨练。愿你是永远奔腾的千里马。【学习目标】1理解次方根的定义及性质.2理解根式的概念、性质，并能利用根式的性质对根式进行化简与求值.3理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化.4掌握有理数指数幂的运算性质.5了解无理数指数幂的含义及运算性质.【学习重点】1指数函数的概念和性质2指数函数性质的应用【学习难点】1用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质2指数函数性质的应用【自主学习】1次方根定义表示两个结论2根式的概念及性质(1)概念：式子叫做根式，其中根指数为： ；被开方数为： .(2)性质： (且)；3分数指数幂的概念分数指数幂 4无理数指数幂(1)无理数指数幂，是无理数)是一个确定的 .(2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.5有理数指数幂的运算性质(1) (，).(2) (，).(3) (，).【预习评价】19的平方根为A.3 B.9 C.3 D.92是实数，则下列式子中可能没有意义的是A. B

2、. C. D.3化为分数指数幂为A. B. C. D.4已知，则 .5计算： .6计算： .知识拓展 探究案【合作探究】1次方根的定义 定义中的取值范围是 .2次方根的定义 当为奇数时，在“且)”中，的实数值有几个？3次方根的定义 当为偶数时，在“且，)”中，的实数值有几个？4根式的性质求值与化简中常用到与，那么它们的含义是什么？5根式的性质成立吗？呢？6根式的性质成立的条件是什么？7根式与分数指数幂的互化根据公式，且)观察互化公式，指出根式的根指数与被开方数分别对应分数指数幂的什么位置？8根式与分数指数幂的互化根据公式，且)请你根据所学知识思考上述互化公式是否适用于或?9根式与分数指数幂的互化根据公式，且)任何根式都能化成分数指数幂的形式吗？10有理数指数幂的运算性质有理数指数幂的运算性质是否适用于或?11有理数指数幂的运算性质公式，)成立吗？请用有理数指数幂的运算性质加以证明，并说明是否要限制?【教师点拨】1对与的两点说明(1)已暗含有意义，根据是奇数还是偶数可知的取值范围.(2)中的可以是全体实数，的值取决于是奇数还是偶数.2对次方根的两点说明(l)次方根的存在：任何实数都存在奇

3、次方根；负数没有偶次方根，非负数才存在偶次方根.(2)次方根的个数：任何实数的奇次方根只有一个；正数的偶次方根有两个，且互为相反数；零的次方根只有一个零.3对有理数指数幂运算性质的两点说明(1)用分数指数幂进行根式运算，顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质计算.(2)结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.4对分数指数幂与根式互化的两点说明(1)分数指数幂是指数概念的推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新写法.(2)根式与分数指数幂本质上是具有相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算.【交流展示】1已知，则的四次方根可表示为 .2-2013的五次方根是 .3若，则化简的结果是 .4化简：.5设，将表示成分数指数幂，其结果是 .6下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式：(1). (2).7化简的结果是A.B.C.D.8化简： .【学习小结】1求解次方根的注意事项(l)当为大于1的奇数时，对任意有意义，它表示在实数范围内唯一的一个次方根.(2)当为大于1的偶数时，只有当时有意义，当时无意义，表示在实数范围内的一

4、个次方根，另一个是.2根式化简的依据及应遵循的三个原则(1)化简依据：且)；(2)遵循原则：被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式.被开方数是带分数的要化成假分数.被开方数中不能含有分母；使用化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式.3有条件根式化简的两个关注点(1)条件的运用：充分利用已知条件，确定所要化简的代数式中根式的根指数是奇数还是偶数，确定被开方数是正数还是负数.(2)讨论的标准：如果根式的被开方数不确定时，可依据题设条件对被开方数取正值、负值、零进行分类讨论，得出结论.4根式与分数指数幂互化的关键与技巧(1)关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用公式，).(2)技巧：当表达武中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简，提醒：对含有多个根式的化简，要注意每一步的等价性，特别要注意字母的取值范围.5利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧(1)有括号先算括号里的.(2)无括号先做指数运算.(3)负指数幂化为正指数幂的倒数.(4)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假

5、分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.【当堂检测】1设，,，则，的大小关系是A.B.C.D.2若，则是 .3计算下列各式：(1) .(2) .(3) .4下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式(式中字母都是正数)：(1).(2).(3).(4).5已知，求的值.2.1.1指数与指数幂的运算详细答案课前预习 预习案【自主学习】1x(1)R(2)a0(1)负数(2)02（1）na(2)aa|a|3(2)(3)0负4(1)实数5(1)ar+s(2)ars(3)arbr【预习评价】1A2C3A4561知识拓展 探究案【合作探究】1定义中的n必须是大于1的正整数，即n1且nN*.答案n1且nN*2因为一个正数的奇次方是正数，一个负数的奇次方是负数，且不同实数的奇次方不同，所以当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，故x的实数值只有一个.3因为两个相反数的偶次方相等，所以当n为偶数时，正数的n次方根有两个，故x的实数值有两个.4(1)表示实数的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n是奇数还是偶数的限制，aR.(2)表示实数a的n次方根的n次幂，其中a的取值范围由n是奇数还是偶数来定.5不一定成立，如，而成立.6等式成立的条件是n为奇数，或n为偶数且a0.7根式的根指数与被开方数指数分别对应分数指数幂的分母与分子.8均不适用，原因如下：(1)若a0，0的正分数指数幂恒等于0，即无研究的价值.(2)若a0，不一定成立.如意义，故为了避免上述情况规定了a0.9引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都能化成分数指数幂，即(a0，m，nN*且n1).10(1)若a0，因为0的负数指数幂无意义，所以a0.(2)若a0，(ar)sars，也不一定成立，如，所以a0不成立.因此不适用于a0或a0的情况.11成立，且不需要限制mn.证明如下：.【交流展示】12312a42+.56(1).(2).7C8xz2【当堂检测】1D23(1)3(2)3(3)2.44(1).(2).(3).(4)5因为，所以

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